平面向量内积及其运算

平面向量内积及其运算 一 .教学分析: 本课内容选自中等职业教育课改新教材(人教版基础模块，下册)?7.4 平面向量的内积及其运算。本课主要内容是向量内积的定义及其运算,本节课是让学生了解从特殊到一般再由一般到特殊的这种认识规律和体会概念法则的学习过程. 二.学生学习情况分析: 本节以力对物体做功作为背景，研究平面向量的内积。但是，对职业学校的学生来说，他们基础差，作为初学者不清楚向量内积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然，以及对运算律的理解和平面向量内积的灵活应用。通过情景创设、探究和思考引导学生认知、理解并掌握相关的内容。利用向量内积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量学生容易混淆。利用内积运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系解决问题，是学生学习本节内容的重点又是难点。通过物体做功研究向量的内积，深入浅出、符合学生的认知规律，易激发学生的学习兴趣和求知欲望。 三.设计思想: 以启发式教学思想和简练结合的教学方法为指导，采用探究式教学，以物理背景入手，建立起学习向量概念及其表示方法的基础，利用问题让学生自主地参与探究，在探究过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系。 1 四.教学目标: 1、理解并掌握平面向量内积的基本概念，会用已知条件去求向量的内积。 2、理解掌握内积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算; 3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。 五.教学重点和难点: 重点是平面向量内积的概念，平面向量内积基本性质及运算律;难点是平面向量内积的定义及运算律的理解，平面向量内积的应用。 六.教学过程设计: 活动一:设置问题，引出新课 1、提出问题1:请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算,这些运算的结果是什么, 答:向量的加法、减法及数乘运算。这些运算的结果是向量。 2、提出问题2:请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的,我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的, 答:物理模型?概念?性质?运算律?应用 3、新课引入:本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算。导入课题:平面向量内积及其运算。 F ,设计意图,:1.复习旧知识引出新知识。2.明确研究向量的内积这种运算的途径。 活动二:探究内积的概念 α S 1、提出问题3: (1)如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S， 2 ,那么力F所做的功:W= |F| |S| cos。 (2)如果我们将中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述, 答:两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。 2.明晰内积的定义 (1)两个非零向量夹角的概念 bbOAOBaaa 已知两个非零向量与，作 =,=,则?AOB叫向量 bbbaa与的夹角。记作,，,，规定0?? ,，, ?180?。 bbaa说明:当,，,=0?时， 与 同向; bbaa 当,，,=180?时， 与 反向; bbaa 当,，,=90?时， 与 垂直; 在两向量夹角定义中，两向量必须是同起点的。 (2)内积的定义: bbaa 已知两个非零向量与，它们的夹角,，,为θ，我们把 bbbbaaaa数量,,?,,cosθ叫做与的内积，记作:?，即:?= ba,,?,,cosθ (3)定义说明: ba， ?记法“?”中间的“?”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 ? “规定”:零向量与任何向量的内积为零。 ,设计意图,:1.认识向量内积的实际背景。2.使学生在形式上认识内积的定义。 3、提出问题4:影响内积大小的因素有哪些, ba 答:内积的结果是数量，这个数量的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。 4、学生讨论，并完成下表: 90?<θ? θ的范围 0??θ<90? θ=90? 180? b?的符号 a 5、内积的性质: 3 eb 设和都是非零向量，单位向量～则: a bb 1、? ?=0 aa 设计意图,:引导学生通过自主研究，明确两个向量的夹角决定 bbbb 2、当与同向时～,?,=,,,,,当与反向时～ aaaa它们的内积的符号，进一步理解向量内积的定义。 活动三:探究内积的运算律 2bb,?,= -,,,,～ 特别地～?=,,或,,= a,aaaaaaa 1、提出问题5:我们学过了实数乘法的哪些运算律,这些运算律 aebbeab 3、,?,?,,,,; 4、? =?=,,cos,，,, aaaa对向量是否也适用, 答:?交换律:ab=ba ?结合律:(ab)c=a(bc) ?分配律: (a+b)c=ac+bc bbbb猜想:?= ? ? (?)= (?) aaacac bb ?( + )? =?+? acacc 2、分析猜想: 猜想?的正确性是显而易见的。 关于猜想?的正确性，请同学们先讨论:猜测?的左右两边的结果各是什么,它们一定相等吗, ca答:左边是与向量共线的向量，而右边则是与向量共线的向 ca量，显然在向量与向量不共线的情况下猜测?是不正确的。 ,设计意图,:要求学生通过对过去所学过的运算律的回顾类比得出内积的运算律。通过讨论纠错来理解不同运算的运算律不尽相同，看到数学的法则与法则间的相互联系与区别，体会法则，学习研究的重要性。 3、内积的运算律: b已知向量、 、和实数λ～则: ac bbbbb,1,?= ? ,2,,λ,?=λ,?)= ?,λ, aaaaa bb,3,, + ,?=? + ? acacc 4 活动五:应用与提高 bb1、学生独立完成:已知,,=3,,,=4, 与的夹角θaa b=120?，求?。 a ,设计意图,:通过计算巩固对定义的理解。 ,设计意图,:让学生体会解题中运算律的作用，比较向量运算 与数运算的异同。 bb2、师生共同完成:已知,,=3，,,=4, 且 与不共线，kaa bb为何值时，向量+k与-k互相垂直,并讨论:通过本题，aa 你有什么体会, ,设计意图,:学会利用内积来解决垂直问题，体会用内积将几何问题转化为方程求解，体现向量的工具性。 3、反馈练习 (1)判断下列各题正确与否: bbaa?、若?0，则对任一非零向量，有??0( bbaaacc?、若?0，?,?，则,( ,设计意图,:1.加强学生的练习。2.通过观察、问答等方式对学生的掌握情况有了进一步的了解和把握。 活动六:小结 本节课主要学习了平面向量的内积，常见的主要题型 有: (1)直接计算内积; (2)由内积求向量的模; (3)运用内积的性质判断两向量是否垂直; (4)性质和运算律的简单应用。 ,设计意图,:通过，加强了学生概念法则的理解和掌握，体会整个内容的研究过程，明白了为什么要学这些内容，学了这些内容可以做什么，这对以后的学习有什么指导意义。 活动七:布置作业 1、教材P54练习A组第2题(1)(3),第3题(1)(2)。 2、教材P54练习B组第1题(供有余力的学生)。 ,设计意图,:通过设计不同层次的作业既使学生掌握基础知识， 5 又使学有余力的学生有所提高，从而达到激发兴趣和“减负” 的目的。 七.教学反思:本节课从总体上说是一节概念教学，从数学和物理两个角度创设问题情景来引入内积概念能激发学生的学习兴趣。通过安排学生讨论影响内积结果的因素并完成表格。内积的性质和运算律是内积概念的延伸，这两方面的内容按照创设一定的情景，让学生自己去探究、去发现结论,教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明。这样能更清楚地看到数学法则与法则间的联系与区别,体会法则学习研究的重要性,例题和练习的选择都是围绕内积的概念和运算律展开的,这能使学生更好在掌握概念法则. 6