空间解析几何与线性代数2-1n 阶行列式的定义

第二节n阶行列式的定义为给出n阶行列式的定义，让我们来前面所讲的三阶行列式的定义。在§1中的（6）我们定义对行列式中元素,第一个下标i示元素所在的行，称为行标；第二个下标j表示元素所在的列，称为列标。从上述表达式可以发现三阶行列式有如下特点：（1）表达式共有3!＝6项求代数和。且每项均为不同行不同列的三个元素的乘积；（2）6项中有3项的代数符号为正，3项的代数符号为负；（3）如果把每一项元素的行标按1、2、3依次排列，则每一项元素的列标排列分别为123,231,312以及321,213,132,恰好是1、2、3这三个数的所有可能的排列。（4）排列123,231,312的逆序数分别为0,2,2,而排列321,213,132的逆序数分别为3,1,1,即在6项求和中，取行标为标准顺序的排列时，其列标排列为偶排列时，则该项的代数符号为正；当列标排列为奇排列时，则该项的代数符号为负。因此，我们可以把三阶行列式的定义写成其中p1p2p3是1、2、3这三个数的一个排列，t是这个排列的逆序数，共有3!＝6项求和。其中求和符号Σ表示连加。完全类似，我们可以定义n阶行列式。作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号,得到形如(1)的项，其中为自然数1，2，……，n的一个全排列，t为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有n!个,因此形如（1）式的项共有n!项。所有这n!项的代数和称为n阶行列式（determinant），记为或者简记作Δ（）或者det()。数称为行列式Δ()的元素。显然，按此定义给出的二阶行列式和三阶行列式。行列式的定义n阶行列式的定义：n阶行列式的值等于所有不同行不同列元素乘积连同符号的和，(1)不同行不同列元素相乘共有n!项 (2)是每项元素列标号排列的逆序数以后为方便起见，我们称行列式中为行列式的主对角线，而称的线段为行列式的次对角线或副对角线。例1证明主对角行列式（其中对角线上的元素为其余的元素为0）的值为次对角行列式（其中对角线上的元素为，其余的元素为0）的值为证：第一式是显然的。下面我们只证明第二个结果。根据行列式的定义其中t为n(n-1)……21的逆序数，因此由第一节的例2可知t＝n(n－1)/2。例2证明下三角行列式证：由于当j>i时，，因此行列式的求和表达式中可能不为0的项的n个因子的下标应有即而在所有排列中，能满足上述关系的排列只有一个，即1,2……n，所以行列式中可能不为0的项只有一项，即,这一项的符号显然为正（因为t＝0），所以例3设证明记，其中考察D的一般项由于当i≤k，j>k时，，因此，只有在1,2，…，k中选取时，该项才可能不为0。而根据行列式的定义，当在1,2，…，k中选取时，只能在k+1,k+2，…，k+n中选取。于是D中可能不为0的项可以记为这里，，而t为排列的逆序数。以s、m分别表示和的逆序数，则显然有t＝s＋m。因此