直接证明与间接证明(教学设计)
2.2直接证明与间接证明(教学设计)
2. 2 .2 反证法
知识与技能目标:
结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法──反证法;了解反证法的思考过程、特点。
过程与方法目标:
多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力;以及培养他们的分析问题和解决问题的能力;
情感、态度与价值观目标:
通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。
教学重点:了解反证法的思考过程、特点
教学难点:反证法的思考过程、特点
教学过程:
一、复习回顾:
1、综合法的特点是:
由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推出结论的一种证明方法。
2、分析法的特点是:执果索因,即寻找使结论成立的条件。
3、分析法的
写格式:
要证明命题B为真,
只需要证明命题B1为真,从而有„„
这只需要证明命题B2为真,从而又有„„
„„
这只需要证明命题A为真
而已知A为真,故命题B必为真
二、创设情境、新课引入:
如果用直接证明的方法证明比较困难时,那我们就采用间接证明方法„„反证法,
三、师生互动、新课讲解:
1、反证法
(1)定义:
反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。
一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法 ( reduction to absurdity ) .
(2)分类 反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
(3)证明步骤:
用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论。
(3)常用的反设(否定)(补集)
反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n一1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。
例1(课本P42例7)已知a0,证明x的方程ax=b有且只有一个根。
分析:
证明:
例2(课本P43例8)已知直线a,b和平面,如果a,b,且a||b,求证a||。
证明:因为a||b, 所以经过直线a , b 确定一个平面。
因为a,而a,
所以与是两个不同的平面.
因为b,且b,
所以b.
下面用反证法证明直线a与平面没有公共点.假设直线a 与
平面有公共点,则
Pb,即点是直线 a 与b的公共点,这与a||b矛盾.所以 a||.
点评:线面平行的判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.
推理模式:a,b,a//ba//.
例3、求证:2不是有理数
分析:直接证明一个数是无理数比较困难,我们采用反证法.假设2不是无理数,那么它就是有理数.我们知m(m,n互质, mZ,nN*”的形式.下面我们看看能否由此推出矛盾. n
m证明:假设2不是无理数,那么它就是有理数.于是,存在互质的正整数m,n,
,
从而有m, n
22因此,m2n,
所以 m 为偶数.于是可设m2k ( k 是正整数),从而有
4k22n2,即
n22k2
所以n也为偶数.这与 m , n 互质矛盾! 由上述矛盾可知假设错误,从而2是无理数. 正是2的发现,使人们认识到在有理数之外,还有一类数与 1 是不可公度的,这就是无理数;从而引发了数学史上的第一次危机,大大推动了数学前进的步伐。
例4、已知ab0,求证:a(nN且n1)
道,任一有理数都可以写成形如
∵a>0,b>0
nn
(注:应由学生讨论回答上述步骤转化的目的是什么?)
a<b(推理利用了不等式的传递性).
ab
但这些都与已知条件,a>b>0相矛盾. ∴a成立.
例5、设ab2,求证ab2.
证明:假设ab2,则有a2b,从而 33
a3812b6b2b3,
3322ab6b12b86(b1)2.
3333因为6(b1)222,所以ab2,这与题设条件ab2矛盾,所以,原不等式ab2成立。
一般来说,利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果,通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式,以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例,讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点? 课堂练习:(课本P43练习)
四、课堂小结、巩固反思:
反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论。
反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n一1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。
五、布置作业:
A组:
1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( )
①结论相反判断,即假设 ②原命题的条件 ③公理、定理、定义等 ④原结论
A.①②
C.①②③ B.①②④ D.②③
解析:应是①②③.故选C. 答案:C
2.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是( )
A.假设至少有一个钝角
B.假设至少有两个钝角
C.假设没有一个钝角
D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角
解析:至多有一个的否定是至少有两个,故选B. 答案:B
3. 用反证法证明命题“已知xR,ax21,b2x2,则a,b中至少有一个不小于0”反设正确的是 ( )
A.假设a,b都不大于0 B.假设a,b至多有一个大于0
C.假设a,b都大于0 D.假设a,b都小于0
D 解析:反证法的应用是假设结论不成立,因此要设为“假设a,b都小于0.
4.用反证法证明命题“若a2+b2=0,则a,b全为0(a、b为实数)”,其反设为________.
解析:“a,b全为0”即是“a=0且b=0”,因此它的反设为“a≠0或b≠0”.
答案:a,b不全为0
5.“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________.
解析:“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”,“至少有两个”的否定是“最多有一个”.
答案:存在一个三角形,其外角最多有一个钝角
B组:
1、(课本P44习题2.2 A组 NO:3)
2
. (提示:有理数可表示为m/n)
m/n(m,n为互质正整数),
从而:(m/n)23,m23n2,可见m是3的倍数.
设m=3p(p是正整数),则 3n2m29p2,可见n 也是3的倍数.
这样,m, n就不是互质的正整数(矛盾).
m/n.
3、若x, y > 0,且x + y >2,则1y1x和中至少有一个小于2 xy
1y1x反证法:设≥2,≥2 ∵x, y > 0,可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾。 xy
4.已知a + b + c > 0,ab + bc + ca > 0,abc > 0,求证:a, b, c > 0
证:设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0
又由a + b + c > 0, 则b + c = a > 0
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾
又:若a = 0,则与abc > 0矛盾, ∴必有a > 0
同理可证:b > 0, c > 0
2017-4-25