太阳黑子的序列模型分析

2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 20013005 所属学校（请填写完整的全名）： 湖南理工学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 张 青 2. 李广兵 3. 许朝雄 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 李 武 日期： 2010年 7 月 27 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 太阳黑子的时间序列模型分析 【摘要】：用确定性趋势与残差服从条件异方差模型的自回归模型组合，作为太阳黑子相对系数的数学模型，用它拟合1732—1987年太阳黑子相对数数据，取得很好的效果。首先通过逐步回归于逐步自回归，建立太阳黑子数的多项式趋势—自回归校正模型。 从而建立多项式趋势+自回归+EGARCH模型。用此模型进行数据拟合回代，分析和预测，表明该模型的拟合，预测效果是好的，所分析的太阳黑子周期是恰当的。 【关键字】：太阳黑子；自回归；条件异方差模型 §1.问题的重述 对1732—1987年太阳黑子相对数进行观察与分析，并对太阳黑子数建立模型，考察其数据是否有周期性，周期为多长，试对太阳黑子数据建立随机模型，预报一个周期的数据，并考查模型的有效性如何? §2.模型的假设与符号说明 2.1 模型的假设与说明 假设太阳黑子数是处在自然状态下，不因外界的因素影响，如宇宙彗星的碰撞或黑洞，只与太阳本身的属性有关。 2.2符号使用说明 ：年份 ：表中的太阳黑子数 ：表中的太阳黑子数—所有太阳黑子数的均值 ：预期每年的太阳黑子数 §3.问题的分析 1732—1987年太阳黑子相对数的256个数据作序列图建立 （如图一），根据图形分析得知，这256个数据之间不存在明显的长期趋势，更不可能有季节性的存在，而在周期性是比较显著的，并受到一定的不规则因素的影响。 （图一） (表一) 从表一中，若对1732—1987年太阳黑子相对数的数据进行简单的线性与非线性拟合，得到的 ，表明只进行简单的数据拟合是不恰当的。 §5.模型的建立 由上述分析可知，我们可以利用自回归模型（AR）来建模，平稳时间序列的AR模型的一般形式为： （1） 为平稳的随机参数； 为确定性模型参数； （2） 式中 为零均值班平稳随机序列， 为零无均值白噪声序列， 为AR模型的参数，p为AR模型的阶数。只要知道具t时刻以前的p个观测值，t时刻的预报值就可以用下式推出： （3） 式中， 表示模型参数的估计值。 §6.模型的求解 6.1 利用数据进行初步拟合，来求解确定性模型的参数，作出如图二所示的图形： (图二) 没有符合太阳黑子的线性或非线性的函数进行拟合，由此我们进一步可以作出判断，太阳黑子数不具有长期性，当然，也不具有季节性（太阳黑子数是根据年份统计出来的），接下来分析这些数据所具有周期性。 6.2 对太阳黑子数的数据单独进行绘图分析：Graphs Time series Autocorrelations。根据1732—1792年之间60年的数据绘图（图三）得到太阳黑子数具有明显的周期性，并且周期为11年。 （图三） 于是对每年的数据进行处理，作一个正弦变换 ，在进行一次简单的线性或非线性拟合，得到表二，显然作这样的拟合还是没有达到理想的效果。 (表二) 针对1732—1792年的太阳黑子数做一个统计分析（表三），将每一年的太阳黑子数减去它们的均值，得到一个新的变量 。 （表三） 于是，需要选出一个周期进行分析，如1733—1743年的太阳黑子数数据。经分析得到如下表四。其R Square值为 ，P值为 ，表明该模型的建立符合实际要求。继而得到函数： （4） ，并有图四可知该模型进行拟合还是很接近的。 (表四) （图四） 6.3 以下对太阳黑子数的数据进行不规则分析。对新变量 进行绘图（图五） （图五） 易知异方差多项式的阶数为11阶，因此对数据 中的各数据向后移动11个单位。进行条件异方差分析，得到（表五）。 （表五） 因此不规则因子 （5） 6.4综上所述可知： （6） 整理得： （7） §7.模型的结果分析与检验 7.1模型的结果分析 预测1988—1998年为期11年（一个周期）的太阳黑子数，运用MATLAB矩阵运算得到如下数据： 1988 1989 1990 1991 1992 1993 24.5771 23.0783 24.5771 23.0783 22.3688 25.5044 1994 1995 1996 1997 1998 29.3969 29.7484 29.2489 30.29 29.098 7.2模型的检验： 将 与异方差数据进行比较，得到（图六）： （图六） 从图中可以看出，模型的效果比较接近，得到了较好的效果。 §8.模型的评价与改进方向 8.1模型的评价 我们所用的将确定性模型各随机序列模型相结合的方法对太阳能黑子相对数进行预报是一种纯粹的时间序列数据预报方法。它与时间序列结合其它物理数据和模型的预报方法相比，雎有简单、方便的特点，虽然预报效果可能要差一些，但仍有许多人先用。 8.2模型的改进方向 再对模型的随机性进行构建函数时，我们采用了自回归模型的AR模型来进行随机性分析建模，利用此建模有简单，方便等特点。但是随着人们发现太阳黑子数的多少对人类的生活有影响之后，提高预测太阳黑子数的精度就越来越重要了。因此，我们可以利用MA(q)，ARMA(p,q)， ARIMA(p,i,q)模型来进行建模并分析与比较看哪个模型对于结果的影响更好。 对于确定性函数的我们也可以进行改进：可以利用指数函数等进行模拟。 §9.参考文献 【1】 白其峥，《数学建模案例分析》，北京：海洋出版社，2000。 【2】 叶其孝主编，大学生数学建模竞赛辅导教材（一），长沙：湖南教育出版社，1993。 【3】 叶其孝主编，大学生数学建模竞赛辅导教材（二），长沙：湖南教育出版社，1997。 【4】 叶其孝主编，大学生数学建模竞赛辅导教材（三），长沙：湖南教育出版社，1998. 【5】 姜启源，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2005。 【6】 宋叶志，贾东永编，MATLAB数值分析与应用，北京：机械工业出版社，2009。 【7】 张文彤主编，spss统计分析教程（基础篇），北京：北京希望电子出版社， 2002。 PAGE 3 _1341682978.unknown _1341769636.unknown _1341769663.unknown _1341769690.unknown _1341769640.unknown _1341766461.unknown _1341766462.unknown _1341766821.unknown _1341735262.unknown _1341766366.unknown _1341683547.unknown _1341685013.unknown _1341682751.unknown _1341682921.unknown _1341682945.unknown _1341682907.unknown _1341679114.unknown _1341680670.unknown _1341681213.unknown _1341682097.unknown _1341682276.unknown _1341681798.unknown _1341680693.unknown _1341680644.unknown _1341599640.unknown _1341599931.unknown _1341599582.unknown