关于有限时滞非线性微分方程零解的稳定性的两个结论

洛阳师范学院学报 2007年第2期 ·l7· 关于有限时滞非线性微分方程零解的稳定性 的两个结论 倪 华 ，林发兴 (1．江苏大学理学院，江苏镇江212013；2．福州大学数学与计算机科学学院，福建福州350(~2) 摘 要：本文考虑非线性时滞微分方程 =A(t) + t， (t—r))零解的稳定性，在相对较 弱条件下，利用指数型二分性和稳定性有关理论得到了该系统的零解的稳定性可由其线性 部分来决定，推广了现有的相关理论，获得了一些新的结果。 关键词：非线性时滞微分方程；零解；稳定性 中图分类号：0175．14 文献标识码：A 文章编号：1009—4790(2007)02—0017—04 收稿日期：2006—07—01 作者简介：倪华(1969一)，男，江苏丹阳人，讲师，硕士。 考虑常系数非线性微分方程： = Ax+ t， ) (0．1) 其中A是一个 n阶的常数矩阵，对 t t。连续，而 f， )对t和 在区域 G：t t。， s M上连续，对 满足李普希兹条件，并且还满足 f，0)-o(f f。)和 8 = 0对 t f。一致成立。 李雅普诺夫曾研究了系统 (0．1)并指出，当A为常矩阵，且A的特征根全部具有负实部或至少有一 个具有正实部时，方程 (0．1)的零解的稳定性则由它的线性化方程 =Ax所决定⋯，具体地说，有下面 的定理： 定理 A 设方程 (0．1)中A的全部特征根都具有负的实部，则 (0．1)的零解是渐进稳定的；若A的 特征根至少有一个具有正实部，则 (0．1)的零解是不稳定的。 当 (0．1)中线性部分的系数不是常矩阵，情况又怎样?为此，很多学者考虑了如下变系数非线性 微分方程 =A(t)x+ t， ) (0．2) 及其线性化方程 =A(t)x (0．3) 其中A(t)是一个 n阶的变系数、关于t∈R+的连续函数矩阵， t， )是关于t∈R+对 ∈R 的一致 连续向量函数且对一切t∈R+成立 t，0)兰0。 对于系统 (0．2)，已有下列结论： 定理 B 考虑系统 (0．2)，其中0 s t<+∞， ll1及 M>0，使 (f)s Ke～，t 0，则系统 (0．2)的零解是渐进稳定的。 定理 C 考虑系统 (0．2)，其中A(t)为 n×n实函数矩阵，，：[0，+∞)×C．+尺 连续，t 0， ∈G，G为 =0的邻域，若：(1)A(f)有界，且∑I口 (f)I+口 (f)s一6<0， =1，2，⋯，n，其中6 为正常数；(2)lIf(t， )ll=o( )，则系统 (0．2)的零解一致渐近稳定。 本文研究更广泛的一类时滞微分方程： =A(t) + t， (t—r)) (0．4) 维普资讯 http://www.cqvip.com · l8· 洛阳师范学院学报 2007年第2期 其中A(￡)是定义在尺+上的n×n关于t的连续矩阵函数，r 2 0是常数， t， )是对 ∈R 关于t∈ R+的一致连续向量函数，并且还满足 t，0)三0(t∈R+)。 本文主要考虑系统 (0．4)的零解的稳定性，并减弱了定理 A、B和 C中当 一 0时 厂(t，‘p)= o(1l l1)这一条件，在系统 (0．3)满足投影为 ，的指数型二分性的前提条件下，只要求 t， )对 ∈ R 关于t∈R+一致满足李普希兹条件，李普希兹常数满足一定的条件，便可得到系统 (0．4)的零解的 稳定性可由系统 (0．3)的零解的稳定性来决定，将李雅普诺夫的传统的定理A中的零解的渐进稳定性 这一结论推广到有限时滞非线性微分方程，也相应地推广了定理B和定理c，获得了新的结论。 l 相关定义 考虑系统 立= t， ) (1．1) 设 t，0)；0，f∈c(R+×D，R )，D 尺 ，R+=[0，+∞)。 定义 1．1 设 = (￡)是系统 (1．1)的特解，对于任意给定的 >0及 t。∈R+，如果存在艿( ) >0，使得当 ll 。一 (￡。)ll<艿( )时，方程组(1．1)以(to， 。)为初值的解 (t，t。， 。)在 [t。，+∞) 上存在，且适合 ll (￡，t。， 。)一 (￡)ll< ，(t∈[to，+∞))，则称解 ： (￡)在李雅普诺夫意义下是 一 致稳定的。 定义 1．2 如果 = (￡)是一致稳定的，且存在 >0，使得当 ll 。一 (￡。)ll<艿时，有 『I (￡，￡。， )一 (￡)『I=0，则称解 = (f)在李雅普诺夫意义下是一致渐进稳定的。 2 主要结论 定理2．1 考虑系统 (0．3)和 (0．4)，设A(￡)是定义在尺+上的n×n关于t的连续矩阵函数，r≥ 0是常数， t， )是对 ∈R 关于 t∈R+的一致连续向量函数， t，0)三0对一切 t∈R+成立，且 对 ，， ：∈R 关于t∈R+一致满足李普希兹条件，即 ll ￡， ，)一 ￡， ：)ll L ll 。一 2 ll，若系 统 (0．3)满足投影为P=，(其中，为单位阵 )，指数为a，常数为K的指数型二分性，且L< ，则 系统 (0．4)的零解是一致渐进稳定的。 证明 设 (￡)是系统 (0．3)的满足 (0)=，的基本解矩阵，因为系统 (0．3)具有投影为，，指数 为 a，常数为K的指数型二分性，所以有： ll X(t)X (s)lI Ke ” ，(t≥s) 令 s=0，则有 ll X(t)ll≤Ke～，(t 0) (2．1) 设系统 (0．4)的过 (0，z。)的解为z(￡)，根据常数变易法得： 一 ：(￡)=X(t)z0+l X(t)X (s) s，：(s—r))ds 0 一 = X(t)z0+f (t)X一(s)If( (s—r))一 s，0)lds (2．2) 由于 lIf(t， 。)一 t， ：)ll≤L ll ，一 ：ll，故有 一 ll：(￡)ll≤ll (￡)ll ll：。ll+￡j ll (￡) 一(s)ll ll：(s—r)ll ds 注意到系统 (0．3)具有投影为川向指数型二分性，故 (2．2)式化为： 一 ￡)ll ll X(￡)ll ll+ ” ll z(s—r)II 由 (2．1)式，上式进一步化为 一 I Il：(￡)II Ke II：。II+LJ,~e ¨ ’}I：(s—r)ll ds，(￡≥0) 维普资讯 http://www.cqvip.com 洛阳师范学院学报 2007年第 2期 ·l9· = Ke l1 ll+ ，Ke ¨ ’ll (s)ll ds，(t 0) 两边同乘以e ，得 ll (t)ll e s K ll 0 ll+L J一，e ll (s)ll ds，(t 0) 由 Bellman不等式，得 ll (t)ll e K ll e叫一，舢 ，(t O) = e ，(t 0) 两边再同乘以e一 ，得 ll (t)ll K ，(t o) (2．3) NY~t,< ，故由(2·3)式知，V占>0，j 6=8(E) 景>o，当ll 。ll<6时，对一切t∈R+，有 ll (t)ll K ll 。ll e‘ 一 0， = ( )= >0，当 II II< 时，对一切t∈R+，有 II：(t)II< ， 根据定义 1．1知，系统 (0．1)的零解一致稳定。． 3 结论 从定理A、定理B和定理 C我们不难发现有一个共性，就是三个定理都要求当 趋向于0时， IIf(t， )0是 ll的高阶无穷小，但本文的定理2．1减弱了这一条件，只要求At， )对 ∈R 关于 t∈R+一致满足李普希兹条件，李普希兹常数满足一定的条件，便可得到系统(0．4)的零解的稳定性可 由系统(0．3)的零解的稳定性来决定，显然当r兰0时，在较弱条件下本文能得到和定理A、定理B和定 理 C同样的结论，故本文是定理 A、定理 B和定理 C结论的推广。 参考文献 [1]丁同仁，李承治．常微分方程教程(第二版)[M]．北京：高等教育出版社，2004：253—254． [2]盛立人，肖箭．现代常微分方程理论[M]．上海：上海大学出版社，2002，260． [3]林庆聪．具有放牧率的某些概周期生态模型[J]．生物数学学报，1999，14(3)：257—263． [4]金福临，阮炯，黄振勋．应用常微分方程[M]．上海：复旦大学出版社，1991：317—318． [5]林发兴．线性系统指数型二分性[M]．合肥：安徽大学出版社，1999：15—16． Two Results about the Stability of Zero Solutions of Nonlinear DifferentiaI Equations with rime Delay NI Hua 一，LIN Fa．xing2 (1．Faculty of Science，Jiangsu University，Zhenjiang 212013，China； 2．College of Mathematics and Computer Science，Fuzhou University，Fuzhou 350002，China) Abstract：By using exponential dichotomy and theories of stability，this paper discusses the equation~=A(t) + t， (t—r))and obtains that its stability of zel'o solution is determined by the stability of zero solution of its linear equation in some weaker conditions，the results have extended the existed related conclusions． Key words：nonlinear delay differential equation；zero solution；stability 维普资讯 http://www.cqvip.com