动量和角动量

nullnullnull§3.1 冲量，动量，质点动量定理§3.2 质点系动量定理 §3.3 动量守恒定律§3.4 变质量系统、火箭飞行原理§3.5 质心§3.6 质心运动定理§3.7 质点的角动量§3.8 角动量守恒定律前言本章目录null前言我们往往只关心过程中力的效果——力对时间和空间的积累效应。力在时间上的积累效应：平动冲量动量的改变转动冲量矩角动量的改变力在空间上的积累效应功改变能量 牛顿定律是瞬时的规律。在有些问题中，如：碰撞（宏观）、（微观）…散射null§3.1 冲量，动量，质点动量定理定义：力的冲量（impulse）— 作用力与作用时间的乘积质点的动量（momentum）—null质点动量定理：（theorem of momentum of a particle）（微分形式）（积分形式）质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。nullnull[例]已知：一篮球质量m = 0.58kg，解：篮球到达地面的速率从h=2.0m的高度下落，到达地面后，接触地面时间 t = 0.019s。速率反弹，以同样null船行“八面风”null逆风行舟null例1 力 ，沿z方向，计算t=0至t=1s内，力对物体的冲量。解：null例2（0371）一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力为F=400–4105t/3 (SI)，子弹从枪口射出时的速率为300m/s,假设子弹离开枪口处合力刚好为零，则 （1)子弹走完枪筒全长所用的时间t=? (2)子弹在枪筒中所受力的冲量I=? (3)子弹的质量m=?null（1)子弹走完枪筒全长所用的时间t =?F = 400 – 4105t/3子弹离开枪口处合力刚好为零子弹走完枪筒全长null(2)子弹在枪筒中所受力的冲量(3)子弹的质量m = ?null例3（0427）一质量均匀分布的柔软细绳铅 直地悬挂着，绳的下端刚好触到桌面 上。如果把绳的上端放开，绳将落在桌 面上。试证明：在绳下落的过程中，任 意时刻作用于桌面的压力等于已落到桌 面上的绳的重量的三倍。解：取刚刚落到桌面的质量元 为研究对象受力：方向向上方向向下null动量定理:★ 作用于桌面的压力:null §3.2 质点系动量定理 （theorem of momentum of particle system）对质点 i ：对质点系：由牛顿第三定律有：null所以有：令则有：或—质点系动量定理（积分形式）系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。null例子：见书P137例3.3用质点系动量定理处理问题可避开内力。任意一段时间间隔内质点系所受合外力的冲量等于在同一时间间隔内质点系内所有质点的动量矢量和的增量。null §3.3动量守恒定律这就是质点系的动量守恒定律。即几点说明： 1.动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。 2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 质点系所受合外力为零时，质点系的总动量不随时间改变。（law of conservation of momentum）null 4.若某个方向上合外力为零， 5.当外力<<内力， 6.动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本则该方向上动尽管总动量可能并不守恒。量守恒，且作用时间极短时（如碰撞），可认为动量近似守恒。的定律，它在宏观和微观领域均适用。7.用守恒定律作题，应注意分析 过程、系统 切惯性系中均守恒。3. 动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一和条件。null在直角坐标系中的分量式可示为：null例4（0711）粒子B的质量是粒子A的质量的 4倍， 开始时粒子A的速度 粒子B的速度 ，在无外力 作用的情况下两者发生碰撞，碰后粒子 A的速度变为 ，则此后粒 子B的速度=?解：（A+B）粒子动量守恒★ 粒子B的速度见书P139～141：冲击摆、 粒子散射null ▲ 粘附 — 主体的质量增加（如滚雪球） ▲ 抛射 — 主体的质量减少（如火箭发射） 低速（v << c）情况下的两类变质量问题：下面仅以火箭飞行为例，讨论变质量问题。 §3.4变质量系统、火箭飞行原理 这是相对论情形，不在本节讨论之列。以随速度改变 — m = m(v)，情况下，还有另一类变质量问题是在高速（v  c）这时即使没有粘附和抛射，质量也可null条件：燃料相对箭体以恒速u喷出初态：系统质量 M，速度v (对地)，动量 M v火箭不受外力情形（在自由空间飞行） 1.火箭的速度系统： 火箭壳体 + 尚存燃料总体过程：i (点火)  f (燃料烧尽)先分析一微过程： t  t +dt末态：喷出燃料后喷出燃料的质量：dm = - dM，喷出燃料速度(对地)： v - unull火箭壳体 +尚存燃料的质量： M - dm系统动量： ( M- dm)(v + d v) + - dM(v - u)  火箭壳体 +尚存燃料的速度(对地)：v + d v 由动量守恒，有 M v = - dM(v - u) +( M- dm)(v + d v ) 经整理得： Mdv = -udM速度公式： null引入火箭质量比：得讨论：提高 vf 的途径 (1)提高 u（现可达 u = 4.1 km/s） (2)增大 N（受一定限制）为提高N，采用多级火箭（一般为三级）v = u1ln N1+ u2ln N2+ u3ln N3nullt +dt时刻：速度 v - u， 动量dm(v - u)由动量定理，dt内喷出气体所受冲量 2.火箭所受的反推力研究对象：喷出气体 dmt 时刻：速度v (和主体速度相同)，动量 vdm F箭对气dt = dm(v - u) - vdm = - F气对箭dt由此得火箭所受燃气的反推力为null§3.5质心（center of mass）一. 质心的概念和质心位置的确定定义质心 C 的位矢为： 质心位置是质点位置以质量为权重的平均值。为便于研究质点系总体运动，引入质心概念。null二.几种系统的质心● 两质点系统 m1 r1 = m2 r2● 连续体……null● “小线度”物体的质心和重心是重合的。[例]如图示， CxC求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。由对称性分析，质心C应在x轴上。解： ·null §3.6质心运动定理 （theorem of motion of center of mass）一. 质心运动定理即质点系的总动量 null由— 质心运动定理有球往哪边移动？该质点集中了整个质点系的质量和所受质心的运动如同一个在质心位置处的质点的运动，的外力。实际上是物体质心的运动。在质点力学中所谓“物体”的运动，思考null 系统内力不会影响质心的运动，▲ 在光滑水平面上滑动的扳手，▲ 做跳马落地动作的运动员尽管在翻转，但▲ 爆炸的焰火弹虽然碎片四散，但其质心仍在做抛物线运动其质心仍做抛物线运动例如：其质心做匀速直线运动null若合外力为零，二 . 动量守恒与质心的运动质点系动量守恒若合外力分量为0，质点系分动量守恒质点系动量守恒和质心匀速运动等价！相应的质心分速度不变null 1. 质心系质心系是固结在质心上的平动参考系。质心系不一定是惯性系。 质点系的复杂运动通常可分解为： 在质心系中考察质点系的运动。讨论天体运动及碰撞等问题时常用到质心系。质点系整体随质心的运动；各质点相对于质心的运动 ——null2.质心系的基本特征质心系是零动量参考系。质心系中看两粒子碰撞等值、反向的动量。两质点系统在其质心系中，总是具有null §3.7 质点的角动量 （angular momentum of a particle）一. 质点的角动量角动量是质点运动中的一个重要的物理量，在物理学的许多领域都有着十分重要的应用。 质点m对惯性系中的固定点O的角动量定义为：单位：kg ·m2/s大小：方向：null 质点作匀速率圆周运动时，对圆心的角动量的大小为方向圆面不变。L = mvR，同一质点的同一运动，其角动量却可以随固定点的不同而改变。例如：方向变化方向竖直向上不变null例5（0990）A和B是两个滑冰者，质量都是 m，且都以速度V沿着互相平行的直线相对滑行，两条平行直线间距为L。第三个滑冰者C，在与A、B滑行的直线平行的另一直线上，以V′的速度滑行。C的滑行直线与B的滑行直线相距为d，三条滑行直线在同一平面内，如图。当A、B、C三人在垂直三条滑行线的同一直线上时， （1）若C与B同方向运动，如图（a）所示，A和B相对C的总角动量（动量矩）大小为多少？ （2）若C与B反方向运动如图（b）所示，A和B相对C的总角动量（动量矩）大小为？nullA和B相对C的总角动量（动量矩）大小解：方向：方向：null二. 质点的角动量定理，力矩由有：定义力对定点 O 的力矩 (moment of force) 为：称力臂null于是有质点角动量定理或积分质点角动量定理称冲量矩——力矩对时间的积累作用。（积分形式）（微分形式）null力矩 的计算★ 集中力（力集中在一点）方法一：null大小：方向：与 相同元力矩总力矩方法二：★ 分散力（力分散在一区域内）null例6（0724）一质量为M的质点沿着一条空 间曲线运动，该曲线在直角坐标系下的定义式为 其中a、b、皆为常数，则此质点所受的对原点的力矩 ；该质点对原点的角动量解：★ 质点所受的对原点的力矩nullnull★ 质点对原点的角动量null例7（P287 5.15）唱机的转盘绕着通过盘心 的固定竖直轴转动，唱片放上去后将受 转盘的摩擦力作用而随转盘转动。设唱 片可以看成是半径为R的均匀圆盘，质 量为 ，唱片和转盘之间的滑动摩擦 系数为 。问唱片受到的摩擦力矩有 多大？解：★ 注意 摩擦力分布在整个圆盘上，因此null第一步：方向：null第二步：方向：沿轴null（5462）一根质量为 、长为 、的均匀 细杆，可在水平桌面上绕通过其一端的竖 直固定轴转动，已知细杆与桌面的滑动摩 擦系数为 ，则杆转动时受的摩擦力矩的 大小等于？nullnull是变量null三. 质点对轴的角动量 1. 力对轴的力矩 把对O点的力矩向过O点的轴（如 z 轴）投影：——力对轴的力矩。null2.质点对轴的角动量——质点对轴的角动量3.对轴的角动量定理 即—— 质点对轴的 角动量定理null——质点角动量守恒定律（2）轨道在同一平面内。null 角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律：（书161页例3.16）— 质点对轴的角 动量守恒定律 角动量守恒定律是物理学的基本定律之一， 它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，而且在高速低速范围均适用。null例 锥摆的角动量对O点：合力矩不为零，角动量变化。对O点：合力矩为零，角动量大小、方向都不变。（合力不为零，动量改变！）null▲ 星云具有盘形结构： pc — 秒差距，1pc = 3.0861016mnull1020 是普遍规律，宏观、微观都适用。30 有心力：运动质点所受的力总是通过一个固定点。力心特征：质点对力心的 角动量永远守恒！40 质点对某点的角动量守恒，对另一点不一定守恒。50 角动量守恒，不见得动量守恒。讨论null力力矩或角力动量角动量或动量矩力的冲量力矩的冲量或冲量矩null比较 动量定理 角动量定理 形式上完全相同，所以记忆上就可简化。从动量定理变换到角动量定理，只需将相应的量变换一下，名称上改变一下。 null作业：3.1 3.7 3.25 3.26 3.29