四次方程求解
在
中,四次方程 是令一个 四次函数 等于零的结果。四次方程的一个例子如下
它的通式是
解决四次方程
自然,人们为了找到这些根做了许多努力。就像其它 多项式,有时可能对一个四次方程分解出因式;但更多的时候这样的工作是极困难的,尤其是当根是无理数或复数时。因此找到一个通式解法或运算法则 (就像 二次方程那样, 能解所有的一元二次方程)是很有用的。通过很多努力之后,人们终于找到了一个运算法则可以解出任何一个四次方程;不过之后证明(由埃瓦里斯特·伽罗瓦(Évariste Galois)给出),这样的一种
在五次方程这里止步了;也就是说,四次方程是次数最高的一种方程,它的解可以通过一个运算法则,由方程未知数前的系数给出。对于五次方程以上的方程,人们就需要一种更为有效的方法寻找方程的代数解,如同对于五次方程以下的方程所做的那样。
视四次方程的复杂性而言(参见下文),求解公式并不经常被使用。如果只要求求解有理实根,可以通过(对于任意次数的多项式都为真)试错法,或是使用鲁菲尼法则(只要所给的多项式的系数都是有理的)求出。到了计算机时代,通过牛顿法,人们可以使用数值逼近的方法快速得到所求的解。但是如果要求四次方程被精确地解出,你可以参见下文关于方法的概述。
特殊情况
名义上的四次方程
如果,那么其中一个根为,其它根可以通过消去四次项,并解产生的三次方程,
双二次方程
四次方程式中若 和 均为 者有下列型态:
因此它是一个双二次方程式。解双二次方程式非常容易,只要设 ,我们的方程式便成为:
这是一个简单的二次方程式,其根可用二次方程式的求根公式来解:
当我们求得 z 的值以后,便可以从中得到 的值:
若任何一个 的值为负数或复数,那么一些 的值便是复数。
一般情况,沿着费拉里的路线
开始时,四次方程首先要被转化为低级的四次方程式。
转变成减少次数的四次方程
要让以下四次方程式变成
的四次方程式,先在等式两边分别除以
第一步:消除 列. 为了做到这一步,先把变量变成,其中
.
将变量替换: 展开后变成: 整理后变成以u为变量的
达式
现在改变表达式的系数,为
结果就是我们期望的低级四次方程式,为
如果 那么等式就变成了四次幂方程式,更加容易解决(解释上面); 利用反向替代,我们可以获得我们要解决的变量 的值.
费拉里的解法
这种降低的四次方程的方法是被费拉里发现的,然而,这种方式曾经被发现过。接下来,增加一个有效的标识
从方程 (1), 得出:
结果把 配成了完全平方式:. 第二项, 并不出现,但其符号已改变并被移到右边。
下一步是在方程 左边的完全平方中插入变量 相应地在右边插入一项。根据恒等式
及
两式相加,可得
(的插入)
与等式(2)相加,得
也就是
现在我们需要寻找一个值,使得方程的右边为完全平方。而这只要令二次方程的判别式为零。为此,首先展开完全平方式为二次式:
右边的二次式有三个系数。可以验证,把第二项系数平方,再减去第一与第三项系数之积的四倍,可得到零:
因此,为了使方程(3)的右边为完全平方,我们必须解出下列方程:
把二项式与多项式相乘,
两边除以,再把移动到右边,
这是关于的三次方程。两边除以,
转化嵌套的三次方程为降低次数的三次方程
方程是嵌套的三次方程。为了解方程,我们首先用换元法把它转化为减少次数的三次方程:
方程变为
展开,得
合并同类项,得
这是嵌套的三次方程。
记
则此三次方程变为
解嵌套的降低次数的三次方程
方程的解(三个解中任何一个都可以)为
令
(由三次方程)
则原来的嵌套三次方程的解为
注意 :
注意 :
配成完全平方项
的值已由式给定,现在知道等式的右边是完全平方的形式
这对于平方根的正负号均成立,只要等式两边取相同的符号。的正负是多余的,因为它将被本页后面马上将提到的另一个消去。
从而它可分解因式为:
.
注:若 则 。如果 则方程为双二次方程,前面已讨论过。
因此方程化为
.
等式两边各有一个乘起来的完全平方式。两完全平方式相平衡。
如果两平方式相等,则两平方式的因子也相等,即有下式:
.
对 合并同类项,得
.
注: 及 中的下标 用来标记它们是相关的。
方程是关于的二次方程。其解为
化简,得
这就是降低次数的四次方程的解,因此原来的四次方程的解为
注意:两个 来自等式的同一处,并且它们应有相同的符号,而 的符号是无关的。
费拉里方法的概要
给定一个四次方程
其解可用如下方法求出:
若 ,求解 并代入 ,求得根
.
(平方根任一正负号均可)
(有三个复根,任一个均可)
两个 必须有相同的符号, 的符号无关。为得到全部的根,对, , = ,,及 及 及 来求。二重根将得出两次,三重根及四重根将得出四次(尽管有,是一种特殊的情况)。方程根的次序取决于立方根 的选取。(见对相对的注)
此即所求。
还有解四次方程的其他方法,或许更好些。费拉里首先发现这些迷宫般的解之一。他所解的方程是
,
它已经化为简约的形式。它有一对解,可由上面给出的公式得到。
另一种的计算方式
此四次方程是下列两个二次方程之积:
以及
由于
因此
设
则方程 变为
同时有(未知的)变量和使方程 变为
方程与 相乘,得
把方程 与原来的二次方程比较,可知
及
因此
方程的解为
这两个解中的一个应是所求的实解。