有趣的平方数

有趣的平方数 在数学奥林匹克报上 watt5151 提出了这样一个问题：某个完全 平方数，它是由二个相同的自然数前后连接起来所组成。这个完全平方数是多少？ 问题提出后，得到了热烈的相应，不到一周的时间问题得到圆满地解决。 假设这个平方数是由两个相同的 n 位数 a 前后连接组成，则我们有如下等式： 210 (10 1)n naa a a a m= × + = + = ，其中10 10 1n na≤ ≤ − 。 由于 a比10 1n + 小，所以10 1n + 一定含有大于 1的平方因子。 ①n=1、2时，对应的 11、101都是素数，所以不可能； ②n=3时，1001 7 11 13= × × ，不含平方因子； ③n=4时，10001 73 137= × ，不含平方因子； ④n=5时，100001 11 9091= × ，不含平方因子； ⑤n=6时，1000001 101 9901= × ，不含平方因子； ⑥n=7时，10000001 11 909091= × ，不含平方因子； ⑦n=8时，100000001 17 5882353= × ，不含平方因子； ⑧n=9时，1000000001 7 11 13 19 52579= × × × × ，不含平方因子； ⑨n=10时，10000000001 101 3541 27961= × × ，不含平方因子； ⑩n=11时，100000000001 11 11 23 4093 8779= × × × × ，找到了 11这个平方因子！ 由于 2 2 2 2 2 2 24 5 6 7 8 9 10，，，，，， 去乘以 23×4093×8779都可以得到 11位数，这 7个 11位数就是 问题的解。问题的最小解为 24 23 4093 8779=13223140496× × × ，这是因为 11 21322314049613223140496=13223140496 (10 +1)=(4 23 4093 8779 11)× × × × × 。 这个问题有多少个解？我们有以下结论 定理：在十进制下有无穷多个自然数，使得两个相同的自然数前后相连得到一个完全 平方数。 证明：当 k 是任意正奇数时， 11k(10 +1)都有 11(10 1)+ 这个因子，因此 11k(10 +1)也是 121的倍数。由于 1/2≥(25/121)≥1/10，所以 11k(10 +1) 25/121=b× 是一个 11k 位整数。这 样 bb就是一个 22k位的平方数。这是因为 11k 11k 2 11k 2bb=(10 +1) b=(10 +1) (25/121)=[(10 +1) (5/11)]× × × 所以问题有无穷多个解。 此问题的解答主要贡献来自于李启印、yunxiu、wubingjie、天下无双。 网站地图 - 数联天地 math15.com 网站地图 - 数联天地 有趣的平方数