电路方程的求解

null第四章 电路方程的求解 第四章 电路方程的求解 求解方程组的根时，计算方法的优劣直接关 系到是否能求出所需的解，求解过程的快慢及解 的精度，也关系到能否用较少的内存完成较复杂 的计算。 常用的方法有： 直接解法—高斯消去法 迭代法 4.1 线性方程组的求解 一 高斯消去法 一 高斯消去法 基本思想： 对一个线性方程组作行变换（交换方程组 任意两行的顺序；方程组任意一行乘于一个非零 数；方程组任意一行减去另一行的倍数），得到 新的方程组与原方程组等价，因此同解。 高斯消去法就是反复运用上述运算，按主对 角线元素逐次消去未知量，将方程组化为上三角 方程组，这个过程称为“消元过程”；然后逐一求 解该上三角方程组，得到方程组的解，这个过程 称为“回代过程”。 null线性代数方程组表示为：A的增广矩阵为：消去过程消去过程第一步：首先用 除 中第一行所有元素，使之归一化，然后对下面(n–1)行中的第i行分别用 乘第一行再与第i行相加，以消去第一列中的其余元素，此时 变为： 第二步：设 ，则用 除 中第二行所有元素，使之归一化，然后对下面(n–2)行中的第i行分别用 乘第二行再与第i行相加，以消去第二列中的其余元素，此时 变为： 第二步：设 ，则用 除 中第二行所有元素，使之归一化，然后对下面(n–2)行中的第i行分别用 乘第二行再与第i行相加，以消去第二列中的其余元素，此时 变为： 如此，一直进行到第n步。第n步的结果为: 如此，一直进行到第n步。第n步的结果为: 第k步，是对矩阵 进行下列运算： 反向回代过程反向回代过程null对于n阶方程组，通过高斯前向消去把原方程化为单位上三角阵，所需的乘除法总次数约为 。回代过程中的乘除运算总次数约为 。 例1 用高斯消去法求解方程组例1 用高斯消去法求解方程组nullnull由 可得：于是有Matlab程序:Matlab程序:A=[10 -2 -1;-2 10 -1;-1 -2 5]; B=[3 15 10]'; AB=[A B];%形成增广矩阵 size_A=size(A); L=size_A(1);%矩阵行数 for ii=1:L AB(ii,:)=AB(ii,:)/AB(ii,ii); %归一化 for jj=(ii+1):L AB(jj,:)=AB(jj,:)-AB(ii,:)*AB(jj,ii); end; end for ii=L:-1:1 %反向迭代 sumX=0; for jj=(ii+1):L sumX=sumX+AB(ii,jj)*x(jj); end; x(ii)=AB(ii,L+1)-sumX; end;上述高斯消去法，在实际使用中存在两个问题： 上述高斯消去法，在实际使用中存在两个问题： 一、在上面的讨论中，事实上是假设 ，并以之为主元完成消去过程的。但是，如果出现 的情况，即使原方程存在唯一解，消去过程也会归于失败。显然，只要将方程的次序或变量的排列次序对调一下问题就能得到解决。 二、计算精度问题。即使主元不为0，但 ，用它作除数，会导致其他元素数量级严重增加，从而引起较大的舍入误差，由于这些误差的传播和积累，而使计算精度降低，甚至导致错误的结果。 解决方法：对调方程的次序或变量的排列解决方法：对调方程的次序或变量的排列方法： 列主元消去法 行主元消去法 全主元消去法 例2 用高斯消去法求解方程组例2 用高斯消去法求解方程组解1. 直接消去解得：解2. 选主元消去解得：例3 用高斯消去法求A的逆阵A-1例3 用高斯消去法求A的逆阵A-1解:二. 迭代法 二. 迭代法 基本思想： 对线性方程组 ，当A非奇异且 ，则可构造等 价的方程组 。任取 作为X的近似解，使用 迭代公式 。若有 ，则 为方 程组的解。 根据B，f 的不同构造方法，可分为简单迭代（雅可比迭代）、塞德尔迭代、逐次超松弛法等。注：并非所有线性方程组都可采用迭代法求解，只有迭代序列{x(k)}收敛才行。1. 简单迭代法1. 简单迭代法例：解：由以上三式可分别替换出则可得迭代公式：取初始向量X(0)=(0,0,0)T,可得迭代序列：取初始向量X(0)=(0,0,0)T,可得迭代序列：则可得解X=(0.9995, 1.9995, 2.9992)Tnulle=0.001; %精度 A=[0 0.2 0.1 0.3;0.2 0 0.1 1.5;0.2 0.4 0 2]; x0=[0 0 0 1]'; x=[A*x0;1]; while max(abs(x-x0))>e x0=x; x=[A*x0;1]; end; disp('x='); xMatlab程序2. 塞德尔迭代法2. 塞德尔迭代法例：解：采用迭代公式简单迭代程序图：程序流程图：