处处连续处处不可导函数

2 高等数学研究 STUDIES IN COI I EGE MATH ATICS VoL9,No．1 Jan．，2006 ■衄 数学分析课程中的一个反例。 — — 处处连续处处不可导的函数 陈纪修 邱维元 (复旦大学数学科学学院 上海 200433) 摘 要 介绍数学分析课程中处处连续但处处不可导函数的教学，通过电子课件演示函数的图象 ，使学生理 解这一类函数的局部与整体的某种相似性质，并对。分形 概念有一个初步的了解． 关键词 连续I可导IWeierstrass函数 中田分类号 O172．1，G642．1 1．Weierstrass反例 在数学分析的历史发展过程中，数学家们一直猜想：连续函数在其定义区间上，至多除去可列 个点外都是可导的．也就是说，连续函数的不可导点至多是可列集．直到 19世纪初，数学家们仍然 在致力于证明这一猜想．然而数学家们的这一努力一直没有得到成功，究其原因，是由于在当时，关 于函数的表示手段有限，如果仅仅从初等函数或从分段初等函数表示的角度出发去考虑，这个猜想 是正确的．但是随着级数理论的发展，函数表示的手段扩展了，数学家可以通过函数项级数来表示 更广泛的函数类．Weierstrass是一位研究级数理论的大师，他于1872年利用函数项级数第一个构 造出了一个处处连续而处处不可导的函数(称为Weierstrass函数)： ，( )一∑口”sin(b"x)，0<口<11， ^_O 为上述猜测做了一个否定的终结． Karl Weierstrass(1815—1897)是 19世纪德国数学家，他在数学的许多领域如分析学、代数学、解 析函数论、变分学、微分几何等众多学科都作出了重大贡献，其中不少成果是在他做中学教师时取得 的．1856年，柯尼斯堡大学授于他名誉博士学位，1865年他被聘为柏林大学教授，后来成为法国巴黎科 学院院士．Weierstrass是数学分析基础的主要奠基者之一，是把严格的数学论证引进分析学的一位大 师．Weierstrass利用单调有界的有理数数列来定义无理数，从而在严格的逻辑基础上建立了实数理 论l关于连续函数的分析定义(即e一艿语言)也是他给出的，这些贡献使得数学分析的叙述精确化，论 证严格化．在数学分析课程中，除了第一个给出处处连续处处不可导函数的例子外，以 Weierstrass名 字命名的还有 Weiexstrass第一逼近定理与 Weierstrass第二逼近定理，函数项级数与含参变量反常积 分的Weiexstrass判别法等重要定理．Weierstrass还是一位著名的教育学家，他培养了一大批数学家， 如：H．A．Schwarz，L L Fuchs，M G．1YIittag~Leffler，F．Schottky等等． Weierstrass例子的证明较为复杂，不适合放到数学分析课程的教学中。在 1930年，荷兰数学家 Van der Waerden给出了另外一个例子．Van der Waerdeu的例子在思想方法上与 Weierstrass的 例子是一致的，但它的证明却很简单，而且初等．Van der Waerden的例子使得在数学分析课程中 介绍处处连续处处不可导的函数成为可能． 2．Van der Waerden反例及其证明 设 ( )表示 与最邻近的整数之间的距离，例如当士===1．26，则 ( ) 0．26；当士=；=3．67， · 收稿日期 t05—10—09 注·本文作者之一陈纪肇为 2003年首届国家。百名高校教学名师奖 获得者． 维普资讯 http://www.cqvip.com 第 9卷第 1期 陈纪修，邱维元t数学分析课程中的一个反例 3 则 (z)一 0．33．显然 ( )≤ 1／2，是周期为 1的连续函数，且具有以下性质： 当X， ∈[ ，k+1／2]或[七+1／2，k+1]时，l (z)一 ( )}一}X—Y}． van der waerden给出的例子是：，(z)=妻 ． 由I I≤ ，及薹 的收敛性，根据weierstrass判别法，上述函数项级数关 于 ∈ (一o。，+o。)一致收敛．所以，(z)在(一o。，+。o)连续． 现考虑 ，(z)在任意一点X的可导性．由于，(z)的周期性，不妨设0≤X<1，并将X表示成无 限小数 X= 0．以 以。⋯n ⋯．若 z是有限小数时，则在后面添上无穷多个 0．然后我们取 ， f 10一， 当n 一0，1，2，3，5，6，7，8， 一 === ‘ 【一10一 ， 当n 一4，9， 如 X一0．309546⋯，则取 h1===lo一，h2=lO～，h3=一lO～，h4 lO～，h5 一lO一，h6一lO一，⋯． 显然h 一o( oo)。只要证明极限lim 羔± 不存在，就说明，(卫)在点z不可导 ． ±垒 二 一 翌 三 ： ±垒翌． 二翌 ； h lO”h ： ±垒 二翌 9： lO”h +量业 当 ≥ 时， (1O ( +h ))=== (10”X士1O )===9(10 z)，所以 兰±垒! ．二 一 ： 翌 ±垒! 翌 ： h ,／ ： 0 J 10”h ‘ 当 =0，1，2，⋯， ～1，在 10“X的表示中a 的位置是第 一 位小数， lO X nl02⋯ nH．an+l⋯ 以m．．．， 1O”(z十 h )一 nln2⋯a 。口 l⋯(n 士 1)⋯ ， 由h 的取法，可知 1o”(z+h )与 lO X同时属于[ ，k+1／2]或[ 十1／2，k+13，因此 (1O”(z+ h ))一 (1O”X)=± lo”h ， 于是我们得到 h ： ±1， 一 ’ 等式右端必定是整数，且其奇偶性与 一致，由此可知极限lim 三± 不存在，也就是 rlm 说，，(z)在任意一点 z是不可导的．这样，一个处处连续，但处处不可导的函数反例通过了函数项 级数这一工具而被构造出来了． 3．电子课件 为了让学生更好地理解 Weierstrass函数与连续可微函数之间的本质区别，我们制作了一个电 子课件(见图1和图2)．从图示可以看出，尽管连续可微函数的图像在整体上可以很复杂，但由于它 在可微点存在切线，所以从局部来看，其图像与直线很接近．而 Weierstrass函数的图像，在任意小 的局部和整体有同样的复杂性，显示了局部和整体有某种相似性． 4．

总结

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Welerstrass反例构造出来后，在数学界引起极大的震动，因为对于这类函数，传统的数学方法 已无能为力，这就促使数学家们去思索新的方法对这类函数进行研究．经典几何学研究的对象是规 则而光滑的几何图形，但是自然界存在着许多不规则不光滑的几何图形．如云彩的边界；山峰的轮 维普资讯 http://www.cqvip.com 维普资讯 http://www.cqvip.com 第 9卷第 1期 陈纪修 ，邱维元t数学分析课程中的一个反例 5 廓；奇形怪状的海岸线；蜿蜒曲折的河流；材料的无规则裂缝，等等．这些变化无穷的曲线，虽然处处 连续，但可能处处不可导．B．B．Mandelbrot通过对这些不规则图形的研究，创建了一门新的学科 “分形几何”．所谓“分形”。就是指几何上的一种“形”。它的局部与整体按某种方式具有相似性．“形” 的这种性质又称为“自相似性”．而 Weierstrass函数的图像就是一种典型的分形，它已成为“分形几 何”中最基本的例子之一．“分形几何”自产生起，就得到了数学家们普遍的关注，很快就发展为一 门具有广泛应用前景的新学科． 5．注意点 (1)Van der Waerden的例子本质上与Weierstrass的例子是一致的．前者用有界周期函数 代 替后者反例中的正弦函数，并且取 n=== 。b一 10，这样的选择使得证明变得容易了． (2)在Van der Waerden反例的证明中，符号h 的选取是关键．这种符号选取保证了当 一0。 1，2，⋯，m一1时，10 ( + )与10“ 或者同时属于[忌，k+寺]，或者同时属于[ 十告，k十1]，从 而有 一 芸 一 ±1- (3)在用电子课件演示 Weierstrass函数的几何性状时。应强调 Weierstrass函数的局部与整体性质 上的相似性 ，从而使学生对“分形”有一个初步的感性认识． 参考文献 [1]黎茨．泛函分析讲义I-M]．北京：科学出版社，1963． [z]陈纪修，於崇华，金 路．数学分析(第二版)(下册)[M]．北京：高等教育出版社，2004． [3]Mandelbrot，B．B．The Fractal Geometry of Nature[M]，Freeman．San Francisco，1982 2005国际多复变会议在中科大举行 (据中国科技大学报道)2005年 6月 2O日至 25日，2005国际多复变学术会议在中国科技大学 举行．这次会议是由中科大和中科院数学与系统科学院主办，北京师大、河南大学、上海交大、首都 师大、同济大学、武汉大学和浙江大学合办。是继 2002年国际数学家大会卫星会议之后在该校举行 的又一次国际盛会．会议学术委员会名誉主席、美国哈佛大学教授丘成桐先生和萧荫堂先生、会议 学术委员会主席、美国加洲大学圣地亚哥分校教授 S．Baouendi先生出席了会议，并作了精彩的学 术

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．丘成桐和萧荫堂都是享誉国际数学界的华人数学家、美国科学院院士，丘先生是菲尔兹奖 得主，萧先生曾两次应邀在国际数学家大会上作一小时报告，是当今国际多复变学术领域的领袖． S．Baouendi先生是多复变学术领域的权威、美国科学院院士．来 自美、俄、法、日、加、韩、捷等国的 多复变领域的精英人物和我国两岸四地这一领域的数学英才参加了会议．代表着国际多复变领域 最高学术水平的此次会议选在中国科大召开，表明国际多复变学界对以龚舁教授为代表的中国科 大数学系在该领域中取得的学术成就的认可，以及数学界对该校学术地位的认同．会议期间适逢中 国科大数学系元老、著名数学家龚畀教授 75岁寿辰和从事数学科研 55周年．代表们向龚异教授表 达了崇高的敬意和良好的祝愿．丘成桐教授还以“赠龚畀七十五大寿”为题写诗表示祝贺，诗云： “五十年春风化雨，合肥子弟遍天下，半世纪复变求值，华门绝学有传人．”中国科大学校和数学系 领导致了祝词，清华大学、上海交大、同济大学等数十所国内院校派代表或写信祝贺．沃尔夫奖得 主、美国科学院院士 E．Stein教授和加拿大科学院院士 P．Greiner教授也写信表示祝贺． 维普资讯 http://www.cqvip.com