2.2解析函数与调和函数的关系

nullnullnull一、调和函数的定义二、解析函数与调和函数的关系一、调和函数的定义一、调和函数的定义 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问中有很重要的应用.拉普拉斯称为Laplace算子注：二、解析函数与调和函数的关系二、解析函数与调和函数的关系1. 两者的关系定理 任何在区域 D 内解析的函数,它的实部和虚部都是 D 内的调和函数.证根据解析函数高阶导数定理（第三章第四节）, null[证毕]例如:设 f(z)=x-iy,则u(x,y),v(x,y)都是z平面上的调和函数,但f(z)=x-iy在z平面上处处不解析.注：定理反之不正确null2. 共轭调和函数的定义 区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.null思考题解答null3. 偏积分法 如果已知一个调和函数 u, 那么就可以利用柯西－黎曼方程求得它的共轭调和函数 v, 从而构成一个解析函数u+vi. 这种方法称为偏积分法.解nullnull得一个解析函数这个函数可以化为null例2 解nullnull所求解析函数为null4. 曲线积分法从而　　由平面上曲线积分与路径无关的等价条件，上式 右端的曲线积分与路径无关．null解例３用曲线积分法求解例1中的解析函数 这个函数可以化为小结与思考小结与思考 本节学习了调和函数的概念、解析函数 与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念.应注意的是: 1. 任意两个调和函数u与v所构成的函数u+iv不一定是解析函数. 2. 满足柯西—黎曼方程ux= vy, vx= –uy,的v称为u 的共轭调和函数, u与v注意的是地位不能颠倒.拉普拉斯资料 拉普拉斯资料 应用数学的先驱 —拉普拉斯Pierre-Simon LaplaceBorn: 23 March 1749 in Normandy, France Died: 5 March 1827 in Paris, Francenull拉普拉斯，法国著名的数学家、力学家和天文学家。拉普拉斯是天体力学的主要奠基人，是天体演化学的创立者之一，是分析概率论的创始人，是应用数学的先躯。他发表的天文学、数学和物理学的论文有270多篇，专著合计有4006多页，被誉为法国的牛顿。 拉普拉斯于1749年3月23日出生于法国诺曼底博蒙的一个农场主家中。他从青年时期就显示出卓越的数学才能，18岁时离家赴巴黎，决定从事数学工作。于是带着一封推荐信去找当时法国著名学者达朗贝尔，但被后者拒绝接见。拉普拉斯就寄去一篇力学方面的论文给达朗贝尔。这篇论文出色至极，以至达朗贝尔忽然高兴得要当他的教父，并使拉普拉斯被推荐到军事学校教书。 null 由于有年轻时吃了达朗贝尔的闭门羹的经历，拉普拉斯在自己身处高位之后，对于年轻的学者总是乐于慷慨帮助和鼓励关照，他时时帮助提拔像化学家盖吕萨克、数学物理学家泊松和年轻的柯西等等。 拉普拉斯和当时的拉格朗日、勒让德并称为法国的3L，为十九世纪初数学界的泰斗。 平面上曲线积分与路径无关的等价条件平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理 设D 是单连通域 ,在D 内具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)(4) 在 D 内每一点都有与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即