向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1） 是 的重心. （2） 为 的垂心. （3）设 , , 是三角形的三条边长，O是 ABC的内心 为 的内心. （4） 为 的外心。 典型例： 例1： 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ， ，则点 的轨迹一定通过 的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 例2：（03全国理4） 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ， ，则点 的轨迹一定通过 的（ B ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 例3： 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ， ，则点 的轨迹一定通过 的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 练习：1．已知 三个顶点 及平面内一点 ，满足 ，若实数 满足： ，则 的值为（ ） 2．若 的外接圆的圆心为O，半径为1， ，则 ( ) 3．点 在 内部且满足 ，则 面积与凹四边形 面积之比是（ ） 4． 的外接圆的圆心为O，若 ，则 是 的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 5． 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，若 ，则 是 的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 6． 的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H， ， 则实数m = 7．已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则△ABC为( ) A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 8．已知 三个顶点 ，若 ，则 为（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形 平面向量试卷 1、下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A． B． C． D． 2、若ABCD是正方形，E是CD的中点，且 ， ，则 = ( ) A． B． 　　Ｃ． Ｄ． 3、若向量 与 不共线， ，且 ，则向量 与 的夹角为 （ ） A． B． C． D．0 4、设 ， 是互相垂直的单位向量，向量 ， ， ，则实数m为 （ ） A．-2 B．2 Ｃ． Ｄ．不存在 5、在四边形ABCD中， ， ， ，则四边形ABCD的形状是 （ ） A．长方形 B．平行四边形 Ｃ．菱形 Ｄ．梯形 6、下列说法正确的个数为 （ ） （1） ； （2） ； （3） （4） ； （5）设 为同一平面内三个向量，且 为非零向量， 不共线，则 与 垂直。 A．2 B. 3 C. 4 D. 5 7、在边长为1的等边三角形ABC中，设 ， ， ，则 的值为 （ A． B． Ｃ．0 Ｄ．3 8、向量 =（-1，1），且 与 +2 方向相同，则 的范围是 （ ） A．（1，+∞） B．（-1，1） Ｃ．（-1，+∞） Ｄ．（-∞，1） 9、在△OAB中， =（2cosα，2sinα）， =（5cosβ，5sinβ），若 =-5， 则S△OAB= （ ） A． B． Ｃ． Ｄ． 10、若非零向量 、 满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 11、若向量 ，则与 平行的单位向量为________________ ， 与 垂直的单位向量为______________________。 12、已知 ， ，则 在 上的投影等于___________ 。 13、已知三点 ， 为线段 的三等分点，则 ＝_____． 14．设向量 与 的夹角为θ，定义 与 的“向量积”： 是一个向量，它的模 . 若 ，则 . 15．设向量 =（3，1）， =（-1，2），向量 ， ∥ ，又 + = ， 求 。 16． 已知向量 ． （Ⅰ）若点 能构成三角形，求 满足的条件； （Ⅱ）若 为等腰直角三角形，且 为直角，求 的值． 17、已知A(2,0)，B(0,2)，C(cosα,sinα)，(0<α<π)。 （1）若 （O为坐标原点），求 与 的夹角； （2）若 ，求tanα的值。 18、如图，O，A，B三点不共线， ， ，设 ， 。 （1）试用 表示向量 ； （2）设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M， N， 试证明L，M，N三点共线。 19、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量 ， 又点 (1)若 且 ，求向量 ； (2)若向量 与向量 共线，当 时，且 取最大值为4时，求 20、已知向量 ，且 ，求： （1） 及 ； （2）若 的最小值为 ，求实数 的值。