牛顿莱布尼兹公式的推广

第26卷第6期 2008年12月 江 西 JIANGXI 科 学 SCIENCE V01．26No．6 Dec．2008 文章编号：1001—3679(2008)06—0858—05 牛顿一莱布尼兹公式的推广 马保国，雷艳亮 (延安大学与计算机科学学院，陕西延安716000) 摘要：在一元函数中，被积函数在闭区间上连续是牛顿一莱布尼兹公式成立的重要条件。本文通过减弱该条 件使牛顿一莱布尼兹公式得到推广，并给出了应用实例。同时，讨论了二重积分和曲线积分的牛顿一莱布尼 兹公式。 关键词：牛顿一莱布尼兹公式；连续；二重积分；曲线积分 中图分类号：0172 文献标识码：A TheGeneralizationofNewton．．LeibnizFormula MABao—guo，LEIYan—liang (CollegeofMathematicsandComputerScience，Ya’nanUniversity，ShanxiYa’nan716000PRC) Abstract：Totheunvariedfunction，thecontinuityofintegrandfunctiononclosedintervalistheim- portantconditionswhichmakeNewton—Leibnizformulahold．Inthispaper，weakeningtheexisting condition，whichmakeNewton—Leibnizformulageneralize，andalsotheexamplesofusing舡esly— en．Meanwhile，Newton—Leibnizformulasofdoubleintegralandcurvilinearintegralarediscussed． Keywords：Newton—Leibnizformula，Continuity，Doubleintegral，Curvilinearintegral O 前言 牛顿一莱布尼兹公式是微积分学中一个极其 重要的基本公式，它之所以重要，是由于它揭示了 函数的定积分与原函数(或不定积分)之间的内 在联系，因此人们也常将其称为微积分基本公式。 利用它可将定积分的计算问题转化为原函数的计 算问题，但由于该公式的条件比较强’，影响了它的 应用。 如求定积分f二以茗)也，其中 心)：』蛐÷一隅{，一吾s茗O，使得V茗E[口，b]有I以茗)Is 肘。又F(菇)在[a，b]上连续，从而F(x)在[口，b] 上一致连续，故对V占>0，j占>0，且可要求6< minIb—n，蠢}，使得对V菇’，∥E[口，6]只要I菇’ 一茗”I<占，便有IF(x’)一F(茗”)I<导。 由于孝为E中的唯一点，且矿(蠡；占)n(口， b)≠①从而在(口，口+睾)内几乎含有E的全部 点，而在(a+等，6)内至多含有中有E限多个点。 又由于I口+辜一口I；导<6，从而有l，(口 +导)一F(a)l<导。 显然以菇)在[口+睾，6]上可积，，(菇)在[口 +孚，6]上连续且在(口+拿，6)内含有E中有限 个点，从而除去这有限多个点之外均有F’(石)= 火菇)。根据定理3，有 ￡∥菇)也=F(6)一(口+导)。 于是 l f八菇)如一[F(6)一F(a)]I=If‘以石) 一 埘+彳 dx+f+∥茗)也一[F(6)一，(n)]I-’上‘以石) 一6 一+彳 dx+F(6)一F(口+睾)一F(6)+S(a)I5IF(口 +孚)一，(口)I+r+欲茗)出<手+南·M=8。 由P的任意性可知，l以茹)觑=F(6)一F(口)。 对于f=b或者亭E(a，b)类似可证。 (2)设E有有限个点，总可在[口，b]中插入有 限个点口2％