珠海高中

1 谈新课程下高中数学分层教学 内容摘要：高中学生在生理发展和心理特征上的差异是客观存在的；对 数学的兴趣和爱好，对数学知识的接受能力的差异也是客观存在的，继续在 教学中采用“一刀切”的教学方法，已根本不符合素质教育的要求。“分层 次教学”是一种符合因材施教原则的教学方法，它能面向全体学生，为学生 的全面发展创造条件，有利于学生数学素质的普遍提高。本文结合自己的教 学实践和探究，从几方面阐述“分层次教学”教学法的概况。 关 键 词：高中数学 新课程 分层教学 随着素质教育的实施，培养全面发展的合格人才的呼声越来越高。中学教 育是基础教育，中学阶段所学的知识也属于基础知识，因此，要求学生掌握中学 阶段的内容显得极为重要。在我国现有的国情下，既要实施素质教育，同时又不 能回避学生的升学问题，这是摆在广大教育工作者面前的一个尖锐的矛盾。在高 中数学学习中，两级分化的问题极为突出，要改变这种状况，因材施教显得极为 必要。然而，因材施教一直是一个喊得很时髦的口号，鉴于各种主观及客观的原 因，不少教师的因材施教只是停留在口头上，并没有落到实处。对学生进行分层 教学，是使全体学生共同进步的一个有效措施，也是使因材施教落到实处的一种 有效的方式。 我认为，分层递进教学是一种面向全体，因材施教的教学模式，它强调了“教 师的教要适应学生的学，要做到“因材施教，分层提高，让尖子冒出来，使多数 迈大步，叫后进生不落伍，达到班级整体优化”。 其核心是面向全体学生，正 视学生的个体差异，使学生在自己原有基础上得到发展，在每一节课内都能获得 成功的喜悦，从而激发学生的学习兴趣，渐渐从要我学变成我要学，达到终身学 习的目的。 根据学生的个性差异及接受能力不同的特点，笔者近年来在教学中采用了分 层教学的教改实验，收到了较好的教学效果。要对学生进行分层教学，必须做好 以下几个方面的工作。 一．分层教学的必要性 2 自古以来，便有提倡“因材施教”，宋代朱熹在《论语》的注解中指出：“孔 子教人，各因其材。”“因材施教”它的终极目标和我们现在要说的“分层递进 教学”是一样的。分层递进教学的理论基础为布卢姆的掌握学习理论：“只要在 提供恰当的材料和进行教学的同时，给每个学生提供适度的帮助和充分的时间， 几乎所有的学生都能完成学习任务或达到规定的学习目标”。 新的课程标准指出，数学要面向全体学生，实现人人学有价值的数学，人 人都能获得必要的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。而现行的教学方式 为传统的“平行分班”， 由于学生基础知识状况、兴趣爱好、智力水平、潜在 能力、学习动机、学习方法等存在差异，接受教学信息的情况也就有所不同，而 且一个班级里人数较多，如果按中等学生的水平授课，长期下来必然形成一部分 学生“吃不饱”，一部分学生“吃不了”，优生学习没动力，冒不了尖，后进生 最基本的也掌握不了，给其它学科的学习带来困难，不能实现每个学生在原有基 础上得到最大限度的发展。 因此教师必须从实际出发，因材施教，循序渐进，充分激发学生的学习积 极性，发挥学生个人的创造能力，激发创新思维，才能使不同层次的学生都能在 原有程度上学有所得，逐步提高，最终取得预期的教学效果。 二、分层教学实施的指导思想 要对学生进行分层教学，教师首先必须对每个学生的学习现状了然于胸，这 样才能在教学中有的放矢。我在 2007 年秋接手高三两个新班的时候，便用一套 难易适中的题目对所教班级进行测验，然后按照学生的测验成绩将两班的学生按 照学习成绩分为 A、B、C 三个学习小组，其中 A 组为最基础的小组，B 组为中 等成绩组，C 组为成绩优秀组。为保护学生的自尊心，在分组的过程中一定要避 免使用差生这样的词语，我在分组时便是这样对学生讲的，A 组为基础组，B 组 为提高组，C 组为竞赛组，同时我还用了另一种说法，就是 A 组为铜牌组，B 组为银牌组，C 组为金牌组。这样学生即使分在了 A 组也不会有什么自卑感。 同时我对学生说，我们的分组只是暂时的，每一次测验我们都会对学生进行重新 分组，并且在学习中途学生可以按照自己的情况参加高一级小组的学习。 其次，在分层教学中应注意下列原则的使用： ①水平相近原则：在分层时应将学习状况相近的学生归为“同一层”； 3 ②差别模糊原则：分层是动态的、可变的，有进步的可以“升级”，退步的应“转 级”，且分层结果不予公布； ③感受成功原则：在制定各层次教学目标、方法、练习、作业时，应使学生跳一 跳，才可摘到苹果为宜，在分层中感受到成功的喜悦； ④零整分合原则：教学内容的合与分，对学生的“放”与“扶”，以及课外的分 层辅导都应遵守这个原则； ⑤调节控制原则：由于各层次学生要求不一，因此在课堂上以学、议为主，教师 要善于激趣、指导、精讲、引思，调节并控制止好各层次学生 的学习，做好分类指导； ⑥积极激励原则：对各层次学生的评价，以纵向性为主。教师通过观察、反馈信 息，及时表扬激励，对进步大的学生及时调到高一层次，相对 落后的同意转层。从而促进各层学生学习的积极性，使所有学 生随时都处于最佳的学习状态。 三、分层教学的实施 1.分层备课 教学目标层次化 分层次备课是搞好分层教学的关键。教师应在吃透教材、大纲的情况下， 按照不同层次学生的实际情况，因材施教，设计好分层次教学的全过程。确定具 体可行的教学目标，分清哪些属于共同目标，哪些属于层次目标。对不同层次的 学生还应有具体的要求，如对 C层的学生要设计些灵活性和难度较大的问题，要 求学生能深刻理解基础知识，灵活运用知识，培养学生的创造力和创新精神，发 展学生的个性特长；对 B层的学生设计的问题应有点难度，要求学生能熟练掌握 基本知识，灵活运用基本方法，发展理解能力和思维能力；对 A层的学生应多给 予指导，设计的问题可简单些，梯度缓一点，能掌握主要的知识，学习基本的方 法，培养基本的能力。 如“导数在函数中的应用”教学目标可定为： 共同目标：了解函数单调性与导数的关系，会求函数的单调区间；会用导数求极 大值、极小值。 层次目标： 4 A 层：了解函数单调性与导数的关系，会求函数的单调区间；会用导数求简单函 数的极大值、极小值(多项式函数最高次数不超过三次)。并能解决一些简单的优 化问题。 B 层：能利用导数研究函数的单调性，会求稍为复杂的函数的极值，并能用导数 去解决一些稍为复杂点的问题； C 层：能利用导数研究函数的单调性（包括指数函数与对数函数），会求复杂的 函数的极值，并能熟练运导数去解决一些有一定难度的灵活性、综合性的应用题。 2. 分层授课 教学分层是课堂教学中最难操作的部分，也是教师最富创造性的部分。荷兰 数学教育家弗赖登塔尔说：教师的作用就是如何使每一个学生达到尽可能高的水 平。因此我们在课堂教学中应采用：低起点，缓坡度，多层次立体化的弹性教学。 为了能鼓励全体学生都能参与课堂活动，使课堂充满生机，教师应将有思维难度 的问题让 A层的学生回答，简单的问题优待 A层的学生，适中的问题回答的机会 让给 B层学生，这样，每个层次的学生均等参与课堂活动，便于激活课堂。学生 回答问题有困难时，教师再给他们以适当的引导。对 A、B层的学生要深入了解 他们存在的问题和困难，帮助他们解答疑难问题，激发他们主动学习的精神，让 他们始终保持强烈的求知欲。对于 C层的学生在教学中注意启发学生思考探索， 领悟基础知识、基本方法，并归纳出一般的规律与结论，再引导学生变更问题帮 助学生进行变式探求。对 C层学生以“放”为主，“放”中有“扶”。突出教师 的导，贵在指导，重在转化，妙在开窍。培养学生的独立思考和自学能力进而向 创新精神和创造能力发展。 以必修 3 第一章《循环语句》为例，我在课堂教学中是这样处理教材的：在给全 班学生复习了循环语句的两种格式之后，我便给学生讲解两种格式在解题中的应 用策略，以及二者的不同特点。然后用通过具体的例子进行讲解，这时，我对不 同小组的同学提出了如下不同的要求。 我对全班同学说，在今天的例子中，课本 14 页例 6，我们分别用两种格式 进行编写计算机程序，注意其格式要求。A 组的同学必须对用这两种格式书写要 切实掌握： （见数学教材必修 3 中 P32）。 5 对于 B 组的同学，我除要求它们掌握 A 组的例题要求外，还要求他们掌握 例 8 这种较为复杂一点的编写程序问题。 对 C 组的同学我除了要求他们掌握 B 组的问题外，对 C 组学生的综合能力 我提出了更高的要求，能熟练的将图 1.1-20 中的程序框图编写为程序（两种格 式），并能将 P34 练习 1、2 熟练地编写出来，并能了解程序框图在解决实际问题 中的作用。 由于我在教学过程中强调了对各组同学的具体要求，因此学生在学习的过程 中便根据自己的基础掌握不同的内容，学生便不会出现因听不懂例题的内容而在 课上睡觉现象。 3.分层课堂练习 分层练习是分层教学的核心环节，其意义在于强化各层学生的学习成果，及 时反馈、矫正，检测学习目标的达成情况，把所理解的知识通过分层练习转化成 技能，反馈教学信息，对各层学生进行补偿评价和发展训练，达到逐层落实目标 的作用。因此教师要在备课时，针对学生实际和教材内容精心设计编排课堂练习， 或重组教科书中的练习，或重新选编不同层次的练习，在选编三个不同层次的练 习时，必须遵守基本要求一致，鼓励个体发展的原则。通俗点就是“下要保底， 上不封顶”。在保证基本要求一致的前提下，习题综合与技巧分三个层次。 4.分层辅导 在教学中对学生的学习辅导是学生巩固和掌握知识的一个重要环节。在课堂 上我对学生实行分层授课后，在课外的辅导方面我采用了让学生之间相互辅导的 办法进行学习辅导，即通过对口扶贫的方式进行辅导，收到了较好的效果。我的 办法是，我课外直接对 C 组的同学进行辅导，B 组的同学由 C 组的同学进行辅 导，A 组的同学由 B 组的同学进行辅导，这样，将全体同学的积极性都调动了 起来。我对学生说，自己会做题还不表示你真正弄懂了一道题，只有你能讲解后 别人能听懂则说明你自己真正懂了。另外，我给学生说，你们都是老师的助手， 你们之间的相互辅导实际上也是在减轻教师的负担，因为两个班有一百多名学 生，全靠老师一个人是照顾不过来的。 5.分层作业 作业能及时反馈不同层次学生所掌握知识的情况，能反映一堂课的教学效 6 果，又能达到初步巩固知识的目的。因此，作业应该多层次设计，针对不同层次 的学生，设计不同题量、不同难度的作业，供不同层次学生选择，题型应由易到 难成阶梯形。A组做基础性作业；B组以基础性为主，同时配有少量略有提高的 题目；C组做基础作业和有一定灵活性、综合性的题目。使得作业的量和难度使 每个学生都能“跳一跳，摘到苹果”。从而调动各层次的学生的学习积极性。在 作业批改上，对 A层学生尽可能面改，发现问题及时订正，集中的问题可利用放 学后组织讲评，反复训练，真正掌握；成绩较好的学生的作业可以采取抽查、互 改等处理。 还是以必修 3 第一章《循环语句》为例，我是这样对学生布置作业的： A 组作业：课本 P35A 组第 3 题 B 组作业：课本 P35A 组第 3 题及 B 组第 2 题。 C 组作业：课本 P35A 组第 3 题及 B 组第 2 题；P52 总复习参考题 A 组第 3、4 题，并写出学习本节课的小论文（100-300 字） 只有这样在实际的教学中才能做到有的放矢，不至于使分层教学留于形式。 哪些内容对各个组是必须掌握的，哪些内容是只作了解的，对不同小组在作业上 有些什么不同的要求等，这些都必须在授课之前充分考虑。 6.分层测验 测试是检验一个学生对知识的理解和掌握程度，我们不可能用同一把“尺” 去量尽世界上的万物，同样我们也不能用同样的要求、标准去衡量每一个学生。 在编制中，对学生的测验采用 A、B、C 三套不同的试卷，以使不同的学生 在考试的过程中都能将自己的水平发挥出来。在测验的过程中，学生可以根据自 己的实际情况自己选择不同的试卷，即 A 组的同学可以选择 B 组的试卷，同样， B 组的同学也可以选择 C 组的试卷。每次测验后各个组进步较大的同学可以上升 一个小组，而退步的同学则的降到下一个小组。 7．评价分层 分层评价是实施分层教学的保证。对不同层次的学生采取不同的评价标准， 充分发挥评价的导向功能和激励功能。如对 A层采用表扬评价，寻找其闪光点， 及时肯定他们的每一点进步，唤起他们对数学的兴趣，培养他们对学习数学的自 信心；对 B层的学生采取激励性评价，既揭示不足又指明努力方向，促使他们积 7 极向上；对 C层的学生采用竞争性评价，坚持高标准，严要求，促使他们更加严 谨、谦虚，不断超越自已。总之通过对作业评价，课堂学习评价，测试后评价等 充分调动各层次学生学习数学的情感、意志、兴趣、爱好等多方面积极因素，促 进智商和情商的协调发展，以实现大面积提高数学的教学质量。正如一位德国教 育家所说：“教学的艺术不于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞。” 在对分层教学的探索与实践中，学生的心理个性得到良性发展，学习积极性 普遍提高。分层教学针对学习能力不同的学生采取不同的教学措施，让不同层次 的学生各得其所，学生学习的兴趣被激发了，都获得不同程度的发展。程度差的 学生，因为学习目标定得较低，学习过程中又能得到老师更多的帮助，从而增强 了学习的信心和战胜困难的勇气。程度好的学生，学习的独立性增强了，对学习 的要求也提高了，课堂上也“吃得饱”了。同时由于分层的不固定，学生分层可 上可下，又增强了学生的自主性，培养了学生的创造力和强烈的竞争意识，出现 了“你追我赶，奋勇向前”的可喜局面。 四．收获与体会 我们高三年级是一个有近 700 名学生 14 个教学班的大学校，提高升学率是 我们的教学任务。自从采用分层教学之后，我教得极为轻松，学生也学得愉快， 教学效果在全年级的 14 个教学班中名列前茅。尽管我采用分层教学的时间仅仅 一年，但是学生的进步是显著的,在 2008 年的高考中，我校理科数学在高考中成 绩上升了几个百分点。这让我们看到了分层教学能使学生真正受益。 总结分层教学中的一些得失，我有如下一些体会： (1)因为对学生进行了分组，并对不同的学生实行不同的要求，真正使因材实教 落到了实处。 (2)对不同的学生提出不同的要求，这样能使每个学生都在课堂上学有所获，兼 顾了低差生，学生在课堂上学得懂，听得明，作业做得会，这便是学习上的一种 良性循环。 (3)在分组的过程中以 A、B、C 组出现，而不出现差生等词语，保护了学生的自 尊心。此外，在课堂上，某些 A 组的同学能听懂一些 B 组的内容，B 组的一些 同学能听懂一些 C 组的内容，这增强了学生的自信心。 (4)在辅导的过程中，让 C 组的同学辅导 B 组同学，B 组同学辅导 A 组同学，既 8 培养了学生的参与意识，提高了学生学习的主动性，同时又减轻了教师的负责， 使教师有更多的时间和精力做其它教学方面的工作。 (5)使用分层教学，在测验时学生可以自主选择试卷，学生不会因为自己的测验 成绩过低而抬不起头，不少同学都愿意选择上一个小组的试题以显示自己在学习 上的进步，这增强了学生学习的主动性。 (6)由于分组的情况将随时因学生的成绩而改变，C 组的同学不愿降到 B、A 组去， 同时 A、B 组的同学又希望能升到 C 组来，这样便将竞争机制引入到了教学之中， 学生学习的主动性增强，因而学习的提高也较快。 在实施应试教育向素质教育转轨的今天，要使因材施教落到实处，使全体学 生都能得到不同程度的最大限度的发展，实施分层教学不失为一种好方法。当然， 笔者对分层教学的有关理论及实践仍在探索之中，希望有更多的同行能加入到分 层教学的实验中来。 参考文献： 1．孔庆邮《数学分层教学及研究性学习的探索实践与思考》 中学数学教学 2002 年第 1期； 2．冯跃峰《数学课堂教学中的层次设计》 中学数学 1997 年第 2期； 3．付海峰《在层次教学中培养学生的思维能力》 中学数学教学参考 1997 年 第 10 期； 4．马忠林 魏超群 《数学教育评价》 广西教育出版社； ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ 9 数学思维障碍的形成因素及突破 珠海市田家炳中学李 庶 平 论文摘要：如何减轻学习数学的负担？如何提高数学教学的实效性？本文通 过对高中学生数学思维障碍的成因及突破方法的分析，以起到抛 砖引玉的作用。 关 键 词：数学思维、数学思维障碍 思维是人脑对客观现实的概括和间接的反映，反映的是事物的本质及内部的 规律性。所谓高中学生数学思维，是指学生在对高中数学感性认识的基础上，运 用比较、分析、综合、归纳、演绎等思维的基本方法，理解并掌握高中数学内容 而且能对具体的数学问题进行推论与判断，从而获得对高中数学知识本质和规律 的认识能力。高中数学的数学思维虽然并非总等于解题，但我们可以这样讲，高 中学生的数学思维的形成是建立在对高中数学基本概念、定理、公式理解的基础 上的；发展高中学生数学思维最有效的方法是通过解决问题来实现的。然而，在 学习高中数学过程中，我们经常听到学生反映上课听老师讲课，听得很“明白”， 但到自己解题时，总感到困难重重，无从入手；有时，在课堂上待我们把某一问 题分析完时，常常看到学生拍脑袋：“唉，我怎么会想不到这样做呢？”事实上， 有不少问题的解答，同学发生困难，并不是因为这些问题的解答太难以致学生无 法解决，而是其思维形式或结果与具体问题的解决存在着差异，也就是说，这时 候，学生的数学思维存在着障碍。这种思维障碍，有的是来自于我们教学中的疏 漏，而更多的则来自于学生自身，来自于学生中存在的非科学的知识结构和思维 模式。因此，研究高中学生的数学思维障碍对于增强高中学生数学教学的针对性 和实效性有十分重要的意义。 一、高中学生数学思维障碍的形成因素 学习本身是一种认识过程，在这个过程中，个体的学习总是要通过已知的内 部认知结构，对“从外到内”的输入信息进行整理加工，以一种易于掌握的形式 加以储存，也就是说学生能从原有的知识结构中提取最有效的旧知识来吸纳新知 识，即找到新旧知识的“媒介点”，这样，新旧知识在学生的头脑中发生积极的 相互作用和联系，导致原有知识结构的不断分化和重新组合，使学生获得新知识。 10 但是这个过程并非总是一次性成功的。一方面，如果在教学过程中，教师不顾学 生的实际情况（即基础）或不能觉察到学生的思维困难之处，而是任由教师按自 己的思路或知识逻辑进行灌输式教学，则到学生自己去解决问题时往往会感到无 所适从；另一方面，当新的知识与学生原有的知识结构不相符时或者新旧知识中 间缺乏必要的“媒介点”时，这些新知识就会被排斥或经“校正”后吸收。因此， 如果教师的教学脱离学生的实际；如果学生在学习高中数学过程中，其新旧数学 知识不能顺利“交接”，那么这时就势必会造成学生对所学知识认知上的不足、 理解上的偏颇，从而在解决具体问题时就会产生思维障碍，影响学生解题能力的 提高。 二、高中数学思维障碍的具体表现 由于高中数学思维障碍产生的原因不尽相同，作为主体的学生的思维习惯、 方法也都有所区别，所以，高中数学思维障碍的表现各异，具体的可以概括为： 1.数学思维的肤浅性：由于学生在学习数学的过程中，对一些数学概念或数 学原理的发生、发展过程没有深刻的去理解，一般的学生仅仅停留在表象的概括 水平上，不能脱离具体表象而形成抽象的概念，自然也无法摆脱局部事实的片面 性而把握事物的本质。由此而产生的后果：1〉学生在分析和解决数学问题时， 往往只顺着事物的发展过程去思考问题，注重由因到果的思维习惯，不注重变换 思维的方式，缺乏沿着多方面去探索解决问题的途径和方法。例如在课堂上我曾 要求学生证明：如 1||1|| ≤≤ ba 、 ，则 1)1)(1( 22 ≤−−+ baab 。让学生思考片刻后提 问，有相当一部分的同学是通过三角代换来证明的（设 αα sincos == ba 、 ），理 由是 1||1|| ≤≤ ba 、 （事后统计这样的同学占到近 20%）。这恰好反映了学生在思 维上的肤浅，把两个毫不相干的量（a,b）建立了具体的联系。2〉缺乏足够的抽 象思维能力，学生往往善于处理一些直观的或熟悉的数学问题，而对那些不具体 的、抽象的数学问题常常不能抓住其本质，转化为已知的数学模型或过程去分析 解决。 例：已知实数 x、y 满足 1)3(2)1(2 22 ++=−+− yxyx ，则点 )( yxp 、 所对应的 轨迹为（ ）（A）圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线。在复习圆锥曲线 时，我拿出这个问题后，学生一着手就简化方程，化简了半天还看不出结果就再 找自己运算中的错误（怀疑自己算错），而不去仔细研究此式的结构 11 2/1)3()1( 22 ++=−+− yxyx 进而可以看出点 P 到点（1，3）及直线 x＋y＋1=0 的距离相等，从而其轨迹为抛物线。 2.数学思维的差异性：由于每个学生的数学基础不尽相同，其思维方式也各 有特点，因此不同的学生对于同一数学问题的认识、感受也不会完全相同，从而 导致学生对数学知识理解的偏颇。这样，学生在解决数学问题时，一方面不大注 意挖掘所研究问题中的隐含条件，抓不住问题中的确定条件，影响问题的解决。 如非负实数 x，y 满足 x＋2y=1，求 x2＋y2的最大、最小值。在解决这个问题时， 如对 x、y 的范围没有足够的认识（0≤x≤1，0≤y≤1／2），那么就容易产生错 误。另一方面学生不知道用所学的数学概念、方法为依据进行分析推理，对一些 问题中的结论缺乏多角度的分析和判断，缺乏对自我思维进程的调控，从而造成 障碍。如函数 )(xfy = 满足 )2()2( xfxf −=+ 对任意实数 x 都成立，证明函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称。对于这个问题，一些基础好的同学都不大会做 (主要反映写不清楚)，我就动员学生看书，在函数这一章节中找相关的内容看， 待看完奇、偶函数、反函数与原函数的图象对称性之后，学生也就能较顺利的解 决这一问题了。 3.数学思维定势的消极性：由于高中学生已经有相当丰富的解题经验，因此， 有些学生往往对自己的某些想法深信不疑，很难使其放弃一些陈旧的解题经验， 思维陷入僵化状态，不能根据新的问题的特点作出灵活的反应，常常阻抑更合理 有效的思维甚至造成歪曲的认识。如： Cz∈ ，则复数方程 所表 示的轨迹是什么？可能会有不少学生不假思索的回答是椭圆，理由是根据椭圆的 定义。又如刚学立体几何时，一提到两直线垂直，学生马上意识到这两直线必相 交，从而造成错误的认识。 由此可见，学生数学思维障碍的形成，不仅不利于学生数学思维的进一步发 展，而且也不利于学生解决数学问题能力的提高。所以，在平时的数学教学中注 重突破学生的数学思维障碍就显得尤为重要。 三、高中学生数学思维障碍的突破 1.在高中数学起始教学中，教师必须着重了解和掌握学生的基础知识状况， 尤其在讲解新知识时，要严格遵循学生认知发展的阶段性特点，照顾到学生认知 水平的个性差异，强调学生的主体意识，发展学生的主动精神，培养学生良好的 422 =++− iZiZ 12 意志品质；同时要培养学生学习数学的兴趣。兴趣是最好的老师，学生对数学学 习有了兴趣，才能产生数学思维的兴奋灶，也就是更大程度地预防学生思维障碍 的产生。教师可以帮助学生进一步明确学习的目的性，针对不同学生的实际情况， 因材施教，分别给他们提出新的更高的奋斗目标，使学生有一种“跳一跳，就能 摸到桃”的感觉，提高学生学好高中数学的信心。 例：高一年级学生刚进校时，一般我们都要复习一下二次函数的内容，而二 次函数中最大、最小值尤其是含参数的二次函数的最大、小值的求法学生普遍感 到比较困难，为此我作了如下题型设计，对突破学生的这个难点问题有很大的帮 助，而且在整个操作过程中，学生普遍（包括基础差的学生）情绪亢奋，思维始 终保持活跃。设计如下： 1〉求出下列函数在 [ ]3,0∈x 时的最大、最小值： (1) 1)1( 2 +−= xy ， (2) 1)1( 2 ++= xy ，(3) 1)4( 2 +−= xy 2〉求函数 [ ]3,0,22 22 ∈++−= xaaxxy 时的最小值。 3〉求函数 [ ]1,,222 +∈+−= ttxxxy 的最小值。 上述设计层层递进，每做完一题，适时指出解决这类问题的要点，大大地调 动了学生学习的积极性，提高了课堂效率。 2.重视数学思想方法的教学，指导学生提高数学意识。数学意识是学生在解 决数学问题时对自身行为的选择，它既不是对基础知识的具体应用，也不是对应 用能力的评价，数学意识是指学生在面对数学问题时该做什么及怎么做，至于做 得好坏，当属技能问题，有时一些技能问题不是学生不懂，而是不知怎么做才合 理，有的学生面对数学问题，首先想到的是套那个公式，模仿那道做过的题目求 解，对没见过或背景稍微陌生一点的题型便无从下手，无法解决，这是数学意识 落后的表现。数学教学中，在强调基础知识的准确性、性、熟练程度的同时， 我们应该加强数学意识教学，指导学生以意识带动双基，将数学意识渗透到具体 问题之中。如：设 2522 =+ yx ，求 u= 50685068 ++++− xyxy 的取值范围。若 采用常规的解题思路， u 的取值范围不大容易求，但适当对 u 进行变形： 2222 )4()3()4()3( ++++++−= yxyxu 转而构造几何图形容易求得 ]106,6[∈u ， 13 这里对 u 的适当变形实际上是数学的转换意识在起作用。因此，在数学教学中只 有加强数学意识的教学，如“因果转化意识”“类比转化意识”等的教学，才能 使学生面对数学问题得心应手、从容作答。所以，提高学生的数学意识是突破学 生数学思维障碍的一个重要环节。 3.诱导学生暴露其原有的思维框架，消除思维定势的消极作用。在高中数学 教学中，我们不仅仅是传授数学知识，培养学生的思维能力也应是我们的教学活 动中相当重要的一部分。而诱导学生暴露其原有的思维框架，包括结论、例证、 推论等对于突破学生的数学思维障碍会起到极其重要的作用。 例如：在学习了“函数的奇偶性”后，学生在判断函数的奇偶性时常忽视定 义域问题，为此我们可设计如下问题：判断函数 xxxf ) 2 1(2)( −= 在区间 ]2,62[ 3 aa −− 上的奇偶性。不少学生由 )()( xfxf −=− 立即得到 )(xf 为奇函数。教师设问：① 区间 ]2,62[ 3 aa −− 有什么意义？② 2xy = 一定是偶函数吗？通过对这两个问题的 思考学生意识到函数 xxxf ) 2 1(2)( −= 只有在 a=2或 a=1即定义域关于原点对称时才 是奇函数。 使学生暴露观点的方法很多。例如，教师可以与学生谈心的方法，可以用精 心设计的诊断性题目，事先了解学生可能产生的错误想法，要运用延迟评价的原 则，即待所有学生的观点充分暴露后，再提出矛盾，以免暴露不完全，解决不彻 底。有时也可以设置疑难，展开讨论，疑难问题引人深思，选择学生不易理解的 概念，不能正确运用的知识或容易混淆的问题让学生讨论，从错误中引出正确的 结论，这样学生的印象特别深刻。而且通过暴露学生的思维过程，能消除消极的 思维定势在解题中的影响。当然，为了消除学生在思维活动中只会“按部就班” 的倾向，在教学中还应鼓励学生进行求异思维活动，培养学生善于思考、独立思 考的方法，不满足于用常规方法取得正确答案，而是多尝试、探索最简单、最好 的方法解决问题的习惯，发展思维的创造性也是突破学生思维障碍的一条有效途 径。 当前，素质教育已经向我们传统的高中数学教学提出了更高的要求。但只要 我们坚持以学生为主体，以培养学生的思维发展为己任，则势必会提高高中学生 数学教学质量，摆脱题海战术，真正减轻学生学习数学的负担，从而为提高高中 14 学生的整体素质作出我们数学教师应有的贡献。 参考文献： 1、任樟辉《数学思维论》（90 年 9 月版） 2、郭思乐《思维与数学教学》（91 年 6 月版） 3、顾越岭《数学定向分析法》（95 年 5 月版） ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ 人文精神在中学数学教学中的应用 广东省珠海市金海岸中学 马凤 摘要: 在分析了中国传统式教育中对人文教育的忽视及当今社会对人文精神的日趋关 注，简明指出了现在中学教学中存在的严重隐患并得出了加强人文精神教育是现代教育的基 本要求的观点。通过简要介绍人文精神的内涵，讨论了数学及其发展史本身所蕴含的丰富的 人文教育因素，进而通过日常身边的教学实例从学生、教师、教材三个方面探究了在中学数 学教学中弘扬人文精神教育的重要性和在实际教学中需要注意的地方。最后大力倡导教师在 今后的教学工作中关注人文精神、重视人文教育。 关键词: 现代教育 数学教育 人文精神 人文教育 一、 引言 “科技以人为本”，这是 21 世纪时常挂在人们嘴边的一句。确实，科 学技术在 21 世纪的突飞猛进给人类带来了巨大的物质文明，同时也越来越关注 人的发展和人的感受。近几年这一潮流也引起了教育界的关注。各国各地纷纷出 台了新课标，新课规。教育专家也在积极探讨新的教学模式，但其中还是有许多 工作要做，可谓任重而道远。 在我国基础教育中，由于人文教育薄弱而引发的问题日渐突现。学生缺乏与 人类发展或社会发展相联系的理想与志向，对欣赏、学习、继承人类文化与文明 的兴趣淡薄，行为带有严重的功利主义色彩，学习的唯一动力只是升学。有调查 表明：因“喜欢读书”而上学的初中生仅有 10.7％，高中生更减少到 4.3％；因 孩子“喜欢读书”而送孩子上学的家长则不到 3％；80％的初中生，70.6％的小 学生，69.9％的高中生都表示最关心的乃是考试成绩。 也许有人认为，即使大的背景如上所说，但对作为自然科学最基础的数学而 15 言又哪来的人文价值，的确，由于数学本身的学科特点，要求研究人员的严谨、 刻苦，而它的功利性又极差，这一切的表面现象都是学生对数学失去了原有的探 索乐趣，使在学生和家长的内心深处形成学数学只是为了可以应付高考，取得好 成绩的工具的印象。当然，学生和家长形成这样的印象也与中学的数学教学方式 的不合理有必然的联系。在现在的中学数学教学中，由于片面强调其学科特性而 忽视其科学属性，从而使科学及其发展过程中蕴含的人文精神难以得到张扬，数 学科学的人文精神教育价值得以实现。 二、 关于人文精神的概念 人文精神的定义目前尚未统一，但学术界和公众对其基本内涵已有共识，像 科学精神是人类以物为对象，在追问自然界合理性的理性探索中一种价值观念体 系。人文精神强调人的本质，注重人的存在和发展，关注人的权利、价值和人类 命运。其中，人的本质是理解的基点。 马克思主义人学观对人的本质有以下几方面的理解：第一，人的存在首先是 有生命的个体人的自然存在，其本质是他的需求；第二，人作为类存在，其本质 是自由自觉的活动；第三，人作为社会存在，其本质是一切社会关系的总和；第 四 ，人作为有个性的个体存在，其本质是他的独特性和个别性。相应的，人文 精神对人的关照体现在个体和人类两大方面。前一方面可概括为对个体的人格完 善的追求与对个体的社会地位和名誉的关怀；后一方面主要指对人类生存前景的 关怀，例如培养自己独立的、批判的、求索的、创造的健康人格，尊重、理解、 宽容他人并肯于和善于与他人合作等等。 三、 数学中的人文精神 数学中的人文精神是否存在，是涉及到在数学教育中能否体现人文精神的一 个基本问题。显然，脱离数学的产生、发展与应用去绝对的考察数学理论本身是 否具有人文精神是不恰当的，因为完全脱离了人的因素，便没有了数学的创、研、 编、教、学；继而也就没有了数学。逻辑地说，有了人便一定涉及到人文。从某 个角度说，数学教育是数学的一种社会应用，体现了数学的教育价值：数学教育 本身的存在，就其最终目标来说，是人类为继承、应用和进一步发展数学而采取 的一种社会行为；追根溯源，该行为的实质属于人为范畴——不是为了数学而数 学，而是为了有助于人类、社会以及个体人的可持续发展。而注重对人类生存、 社会文明、个体地位与名誉的关怀，则正是人文精神的实质与精髓。因此，我们 16 将立足与数学教育，从数学的形成、发展以及在这些过承重数学与人类、社会的 关系，来讨论由数学自身特色的人文精神表现。 1、数学概念规律的建立体现着数学家对真善美的追求 人类的文明事业是人类追求真善美的历史。于是理解真善美，追求真善美也 就成为人文精神的典型表现之一。数学式表明，许多的数学概念、定理、命题从 最初的提出到最终的证明确立都经历了历代数学家的研究，使之不断精确、完善。 例如著名的费马大定理直至 1993 年才解决，中间用了 358 年，而在人们应用这 些数学概念、定理、命题时，又体现了数学家对社会的“善”。至于“美”，只要 细心就能在许多数学公式中感受到，例如著名的欧拉公式就用了两个世界上最简 单的运算符号+、=连接了五个最重要的数字 0、1、e、i、π 2、数学思想和方法对人类精神境界有着深远的影响 如同科学的发展促进了辩证唯物主义哲学一样，从某种意义上讲，科学及其 思想的发展不断改变人们的精神境界。就数学而言：无理数的发现给毕德哥拉斯 学派的“世界的本原是数”的观点以沉重的一击，从而使实数得以完善，而实在 无穷小问题的出现也促进了微积分的诞生，像这样多的例子还有好多。 3、数学家和相关学者的实际闪烁着人文精神的光辉 在自身的科学研究中，虽然只是部分数学家和学者的研究直接来自生产中的 问题，但几乎所有的数学家都关心研究成对社会的作用。他们运用自己的影响反 对战争，保卫和平，关注社会、人民、正义和公正，是数学家的道德显示着耀眼 的人文精神光辉。德国天才数学家希尔伯特就是一个好例子，他拒绝在拥护德国 战争行动的《告文明世界书》上签字，而在当时只有他和爱因斯坦两人敢这样做。 四、 人文精神与中学数学教学 如果说以上讨论的内容说明数学中蕴含了人文精神，那么作为一位教师应如 何在数学教学中弘扬人文精神呢？下面我们从学生、教师、教材内容三方面探讨 一下。 1、学生的主体地位 根据人文精神的基本内涵，学生之所以被放在主体地位，不仅仅因为他们是 认识的主体，更因为他们是承受和落实教育目的的为一对象，即学生才是“以人 为本”这一教育根本宗旨中的主体。 因此人文精神在教学过程中首要体现的就是要多方面、多角度的发展和弘扬 17 学生的主体性：充分尊重学生的主体权利、主体地位和主体人格。下面我们来看 一段教学过程，从中题为以下这种人文精神的教育宗旨。 师：看下面的问题：已知 tanα =2，计算 αα αα sincos sincos − + 。怎样解决？ 生：tanα =2→ α α cos sin =2→sinα =2cosα (或 cos αα sin 2 1= )代入约分求值。 师：同角公式中的商数关系 tan α αα cos sin= 有什么作用？ 生：既可切化弦，又可弦化切。 师：非常好！即切←→弦。 师：回忆两角和与差的正弦、余弦公式，并写出来。 师：既然能用 βα , 的正弦、余弦函数表示 βα ± 的正弦、余弦函数，能否用 tanα ,tanβ 表示 tan( βα + )?请你来解决它！ （思考，解决，问题激励，语言激励） （生思考，师欣赏，鼓励学生，生板演。得出。） tan( βα + )= βα βα tantan1 tantan − + 师：公式推导思路是什么？ 生：切←→弦←→切 师：观察公式，公式有何结构特征？ 生：左边是两角和的正切；右边是一个分式，分子微量单角正切的和，分母 是 1减去两角正切积的差。 师：公式的符号特点是什么？ 生：+ + - 师：观察公式的两边，公式成立的条件是什么？ 生： βαβα +,, 都不能取 Zkk ∈+ , 2 ππ 。 师：那么怎样计算 tan( 32 ππ + )? 生：用同角公式及诱导公式解决。 师：好极了！上述公式叫做同角和的正切公式。那么，两角差的正切公式应 当如何？大胆地猜一下！ 18 生：tan( βα − )= βα βα tantan1 tantan + − 以上是《两角和与差的正切》一课的教学设计的一段。在整个教学过程中学 生从头到尾都是教学的主角，他们通过自己已有的知识自主地获得新知识。而教 师只不过是一个导演、一个引导者，试想这种教育方式下培养出来的学生的独立 精神和主动性能不强吗？ 人文精神在教学过程中还体现为充分意识到人都有自我发现、自我完善、自 我实现的天性，从而倡导自主学习，培养学生自我教育，自我发展的能力。 这里我们给一个立体几何的例子。 问题：已知棱长为 32 的正四面体 ABCD，O 为 A 点在底面 BCD 内的射影。 （1） 一般性问题解决 师（鼓励一）：请你根据题目所给条件提出你能解决的问题。（结论开放） 生 1：异面直线 AB 与 CD 之间所成的角的度数和两直线之间的距离。 生 2：可以求出全面积和体积。 生 3：可以求出四面体相邻两个面所成的角。 生 4：可以求出侧棱与底面所成的角。 师：再动动脑筋，可以讨论，看还能提出那些问题？经过讨论，又提出了许 多问题。 （2） 引申性问题解决 生 5：可以求出正四面体的外接球和内接球半径，进而可以求出外接球和内 接球的表面积。 师（鼓励二）：这两个问题很好，因在现在的图形中看不出正四面体的外接 球和内接球，这就需要我们具有熟悉的知识和丰富的想象力，那么如何求出它们 的半径呢？（引发学生的讨论、交流）在老师的鼓励下，学生很快求出两个半径。 生 6：还可以求出正四面体的内切圆锥与外界圆锥的侧面积和体积。 师（鼓励三）：这个问题也很好，也是根据正四面体的性质概括出来的。 生 7：取 AO 中点 O′作平行于底面的截面 B′C′D′，则可求截面面积和被 截面三棱台的有关问题，如：求正三棱台的表面积，、体积问题。 生 8：根据上面讨论可知，还可以求出截成三棱台的外接圆台和内接圆台的 19 表面积和体积。 师（鼓励四）：很好，又一次超出问题表象。 我们注意到这堂课是在教师的鼓励下进行的，而正是教师的这种鼓励激发了 学生的学习潜能，是学生大胆地创新和实践。 通过上面两个例子我们看到作为这样一种教学过程的促进者，教师主导作用 发挥的基点与重点就变为如何营造一个使学生感到乐学的氛围，如何设计出多种 会学的途径，如何要求并帮助学生自主实现“学会”的同时又发展了自己的个性。 2、教师的人文精神 有过读书经历的人都知道，你对一门课感兴趣，想去学习它，研究它首先是 你对教这门课的老师有好感，想去接触他，了解他。所以如果一位教师想要把他 的学生全部调动起来，去学习，探索他教的这门课，那他一定要自己本身就对这 门课有极大兴趣，就像波利亚说的“数学教师的金科玉律是教师对数学的浓厚兴 趣，如果教师讨厌数学，学生便毫无例外地讨厌数学。” 同时，教师还应不放过任何一个和同学交流的机会，全身心地投入，为学生 服务。但现在有的老师还是错过了好多良机，如数学作业本本来是教师人文精神 表现的最好的战场之一，但现在很多本子上仅打着“×”和“√”的批判。我在 实习时曾作过试验，哪怕只在上面写下“很好，下次继续努力。”的评语，学生 瞧你的目光都会不一样的，所以老师不要再吝惜你的赞美、鼓励之词吧，当你给 与学生一个微笑时，学生会用更灿烂、更阳光的笑容汇报你。 3、充分利用教材中的人文精神 教学过程中教学内容的根据是教材，近年来数学教材的编写从“教本”向“学 本”转化，这些都在以学生为主体这一点上体现出“人文精神”。翻开我们的中 学教材，不但可以看到学生要学的知识，还能读到许多数学史中的小和数学 家的轶事，这些内容都是编者考虑到学生的年龄、兴趣而编写的，但有些教师认 为这些部分都是可有可无的，所以只是让感兴趣的学生课后自己读读就算了，而 更有甚者对这些内容根本就视而不见，并且这种想法也影响到了学生，这样学生 很难在课本中找到乐趣，其实教师应充分地利用这些内容，这也是使学生体会到 数学的思想，发展历程及其对社会和人类的影响的好机会。 通过上述几个方面的讨论，不难发现只要老师平日多用心，不放过日常生活 和教学中的细节，那么在教学中弘扬人文精神并不是一件非常艰难的事情。当然， 20 还有许多方法和手段可以采用，这有待于广大的教师在教学实践中发现和实践， 我希望通过广大中学教师的努力，使“教育以人为本”这句话能够得以实现。 参考文献： (1)孙云晓等 您了解今天的中小学生吗 [J] 中小学管理 (2)孙鼎国、李中华 人学大词典 [Z] 石家庄：河北人民出版社 (3)韩新生（特级教师）《两角和与差的正切》一课的教学设计 中学数学杂志 (4)徐继华 鼓励学生自主探索与合作交流的教学尝试 数学教学通讯