2014-02-26 50页 ppt 1MB 121阅读
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为物理量 q 的系综平均值, q(i) 为第i 次实验所测得的物理量的值,N 为重复实验的次数。1.2湍流的统计方法1.2湍流的统计方法各态遍历假设 如果在许多个实验中或一个实验重复多次时,一个随机变量出现的所有可能状态能够在一次实验的相当长的时间或相当大的空间范围内以相同的概率出现,则称之为各态遍历的。 若在N 个实验中出现 之间速度值的次数ΔN ;在一次实验的总历时T 内出现 之间速度值的时间为ΔT ;在一次实验的总体积∀ 内出现 之间速度值的体积为Δ∀ ,则各态遍历假设认为当N 、T 和∀ 足够大时,有1.2湍流的统计方法1.2湍流的统计方法对于非定常、非均匀的湍流流场,若产生不均匀性的空间尺度 kL 较湍流各态分布尺度 L 大得多,kL>>L,那末在比kL 小的多的尺度 L 中空间平均特性的变化可以忽略不计,只剩了湍流本身在空间分布上的不规则变化。这样就可以认为在 L 尺度内湍流的变化是各态遍历的,在 L 尺度内湍流是统计均匀的,因此湍流的系综平均值可以用 L 尺度内的空间平均值来代替。 类似地,如果不定常的时间尺度 kT 比湍流的各态分布尺度T 大的多, kT>>T,可以用时间平均值来代替系综平均值,而且时均值本身在时间上可以是变化的。1.2湍流的统计方法1.2湍流的统计方法 在各态遍历假设下,时间平均值、空间平均值和系综平均值是等价的,即: 我们用 “ < >” 来代表物理量的平均值,可以是系综平均,也可代表时间或空间平均,随研究问题的不同而变化。 1.2湍流的统计方法1.2湍流的统计方法平均值和脉动值的运算法则根据以上分析,可将流动物理量q 进行分解:其中 q′称为流动物理量 q 的脉动值。 由定义可知,平均值和脉动值有如下性质:(1) 平均值的平均等于平均值本身1.2湍流的统计方法(2) 脉动值的平均等于零, (3) 脉动量的一次式与任何平均量乘积的平均值为零,但脉动量 n 次乘积的平均值一般不等于零, 1.2湍流的统计方法平均值和脉动值的运算法则(4) 平均运算与求和运算、求导运算和积分运算可交换次序平均运动方程和脉动运动方程平均运动方程和脉动运动方程1.3平均运动方程和脉动运动方程1.3平均运动方程和脉动运动方程 本节我们以不可压缩牛顿流体的运动为例,来导出湍流的平均运动所满足的动力学方程。根据上一节介绍的统计平均方法,湍流速度和压强都可以分解为平均量与脉动量之和: 这种分解是雷诺首先提出来的,称为雷诺分解。下面我们分别导出湍流平均量、 和脉动量 Vi ’、 p’ 所满足的控制方程。1.3平均运动方程和脉动运动方程1.3平均运动方程和脉动运动方程雷诺方程 不可压缩牛顿流体的流动满足 N-S 方程和连续方程,在直角坐标系中写成分量形式为其中为 Vi 为 ei 方向速度分量, p 为压力, ρ 为流体的密度,ν 为流体的运动粘性系数。1.3平均运动方程和脉动运动方程1.3平均运动方程和脉动运动方程对方程(7.3.1)和(7.3.2)做平均利用连续方程,平均运动方程中的对流项的平均值遵照求导运算和平均运算可交换的原则1.3平均运动方程和脉动运动方程1.3平均运动方程和脉动运动方程根据平均的性质,并考虑到雷诺分解,可得将各平均量代回平均后的运动方程,并稍加整理后可得:(7.3.3)1.3平均运动方程和脉动运动方程1.3平均运动方程和脉动运动方程平均的连续方程为: 方程 (7.3.3)、(7.3.4) 为平均运动所满足的方程,称为雷诺平均方程(或雷诺方程)。与 N-S 方程(7.3.1) 和(7.3.2) 对比,我们不难发现,除了在平均运动的方程中多了一项 外,雷诺方程和 N-S 方程是很类似的。雷诺方程也可写为:1.3平均运动方程和脉动运动方程1.3平均运动方程和脉动运动方程其中 为表面应力项, 上式表明 在方程中的作用相当于一项附加应力,我们称其为雷诺应力。雷诺应力的出现,使雷诺方程不再封闭,从而为平均运动方程的求解带来了困难。 为了封闭方程,必须引入新的模型,称为雷诺应力模型,包括代数模型,一方程模型,两方程模型等。1.3平均运动方程和脉动运动方程1.3平均运动方程和脉动运动方程脉动方程 将N-S 方程(7.3.1)、(7.3.2) 和雷诺方程(7.3.3)、(7.3.4)对应相减,可得到脉动量的控制方程。通常质量力是确定性的,即 ,经过简单的代数运算,很容易得到脉动量的控制方程如下: 式(7.3.5)和式(7.3.6)分别为脉动所满足的运动方程和连续方程。在脉动运动方程中也出了雷诺应力项 ,也是不封闭的。例子例子无限大平行平板间的Couette湍流充分发展层流流动与湍流的区别例子例子层流的动量方程湍流的动量方程:一次积分后得到一次积分后得到例子例子粘性切应力: 层流的 (速度梯度)处处是不变的, 湍流平均流的粘性切应力和雷诺应力均随坐标而变化,但两者之和处处是一常数,等于粘性切应力在板面的值 例子例子速度分布: 层流的速度呈线性分布 湍流由于剧烈的动量交换,平均流的速度不再是线性分布湍流场中的相关特性湍流场中的相关特性相关特性相关特性相关特性雷诺应力的出现表明脉动速度 Vi’ 和 Vj’ 乘积的平均具有重要的物理意义。 作为随机量,得到脉动速度和之间直接的
数对应关系几乎是不可能的,但可以确定它们彼此间存在的相关程度。 称为Vi’和Vj’间的相关函数,它反映了两个随机函数之间的相似程度。 >0 称为正相关,<0 称为负相关,=0 称为不相关。 相关特性相关特性统计理论中定义两个脉动量的相关系数为 R=1、-1称为完全相关。 不难理解,每个脉动量与自己是完全相关的。研究相关函数的特性使我们有可能对湍流场进行描述和分析。 相关特性相关特性以二阶时间相关为例,引入统计理论中一些十分重要的相关量1. 相关(correlation)2.自相关(autocorrelation)相关特性相关特性3.协方差(covariance)4.方差(variance)5. 均方和均方根 RMS(root-mean-square)相关概念的应用相关概念的应用A 湍流度定义是三个方向上脉动速度均方根与平均速度均方根之比,它反映了湍流脉动的强弱。在风洞中,来流速度为V∞沿x方向,湍流度定义为相关概念的应用相关概念的应用B 自相关系数: 把(2)自相关函数无量纲化得到对它求τ的积分得到一个具有时间量纲的量称为湍流的拉格朗日积分时间尺度(Lagrangian integral time scale),表示联系着脉动速度u’的最长平均时段。 相关概念的应用相关概念的应用在湍流实验和DNS的数据分析中,常常进行同一时刻不同位置脉动量的相关分析(空间相关)将其沿径向进行积分得到的具有长度量纲的量称为湍流的欧拉积分长度尺度(Eulerian integral length scale),它表示两点的脉动速度发生相关的最大平均距离,也表征了湍流结构的某种特征尺度,这里它反映的湍流中最大涡的尺度 相关概念的应用相关概念的应用更复杂的情况是在不同位置和不同时刻来测量脉动速度 u1’和u2’ ,所得到的相关函数既与空间距离有关又与时间间隔有关。以平板湍流边界层为例,图中的三条曲线分别代表了在离壁面不同距离和在不同时刻测量得到的脉动速度的相关函数。 雷诺应力和雷诺应力运输方程雷诺应力和雷诺应力运输方程1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程雷诺应力的物理意义 任取一微元控制体,如图7.4 所示。不失一般性,我们考虑单位时间内通过法向量为 的单位面积的动量通量, 是通过该表面的质量通量,这部分质量通量携带的动量为:该动量通量的平均值以上动量通量的平均值1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程图7.4 说明雷诺应力意义用图即湍流运动动量通量的平均值 = 平均运动的动量通量 + 脉动动量通量的平均值1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程将(7.4.1)式的 用任意方向 取代,则一般的平均动量通量满足 因此雷诺应力可理解为脉动动量通量的平均值,是湍流脉动对动量输运的平均体现。雷诺应力 构成二阶的对称张量,共有六个独立的分量。在直角坐标系中,其分量形式可写为其中对角线上的元素称为雷诺正应力,非对角线上的元素称为雷诺切应力。1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程(1) 湍流平均运动中,雷诺应力往往远大于分子粘性应力。 (2) 分子运动的特征长度是分子运动平均自由程,它远远小于流动的 宏观尺度,而湍流脉动的最小特征尺度仍属于宏观尺度范围内。 (3) 湍流脉动产生的平均动量通量(即雷诺应力)和其它湍流输运现象与分子热运动产生的粘性应力和分子输运过程的物理机制不同。离散分子之间的动量交换主要是相互碰撞作用,湍流中流体质点的脉动既要受连续方程制约,又要满足宏观的动量平衡方程(N-S 方程),流体质点之间相互作用比离散分子之间的相互作用要复杂得多。特别是,湍流脉动具有多尺度性,流体质点之间存在多尺度的非线性相互作用。 在湍流平均运动中附加的雷诺应力和流体分子运动的宏观粘性应力 有着本质的区别:1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程雷诺应力和湍动能的运输方程1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程由脉动运动方程 (7.3.5) 可知 Vi ' 所满足的方程 所满足的方程1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程 上式右端最后一项为脉动量与平均量的乘积,取平均后为零。分别对方程右端的前三项进行分析简化。 1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程代入(7.3.4)取平均得1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程(7.4.8)可简写为1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程 在讨论雷诺应力输运过程以前,我们先推导出湍动能的输运方程。由于湍流运动动能的平均值等于平均运动的动能和脉动运动动能平均值之和,即将脉动运动动能的平均值定义为湍动能,记为k 湍动能k 的输运方程可由雷诺应力的输运方程作张量收缩运算得到。根据脉动运动的连续方程可知k 的输运方程1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程雷诺应力和湍动能的运输过程 在湍动能输运方程左端, Dk /Dt 是湍动能在平均运动轨迹上的增长率,它与产生项、扩散项和耗散项相平衡。(1)产生项 即产生项 为雷诺应力与平均运动变形率的乘积。 下面我们以 为例来说明雷诺应力是如何通过平均运动变形对湍动能产生贡献的。如图7.5 所示,在平均运动角变形过程中,雷诺应力作的功为 。1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程 因此 扩散项 由三部分组成:由脉动压力和脉动速度相关 产生的扩散,称为压力扩散项;由湍流脉动速度三阶相关 产生的扩散,称为湍流扩散项,它是由湍流脉动 的不规则运动携带的脉动动能的平均值;由分子粘性产生的湍动能的扩散, ,称为粘性扩散项。这三项可分别理解为由于脉动压力、雷诺应力和粘性应力所做的功在空间分布不均匀而引起的湍动能在流场内的传递。(2)扩散项1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程 耗散项ε 总是大于零的,在湍动能方程中这一项的贡献为−ε ,它总是使湍动能减少,所以也称其为湍动能的破坏项。(3)耗散项 综合以上分析,我们可以看到,流体质点湍动能的增长率主要来源于产生项。在均匀湍流中,平均运动的变形率为零,因此湍流一定是衰减的。因为均匀湍流中所有统计量的空间导数等于零,这时湍动能输运方程简化为:1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程 理解了湍动能的输运过程,就比较容易了解雷诺应力的输运过程。由雷诺应力的输运方程(7.4.9),雷诺应力在平均运动轨迹上的增长率和产生项、扩散项、再分配项以及耗散项之和平衡。其中产生项、扩散项和耗散项的作用与湍动能的输运过程类似,我们这里主要对再分配项的作用进行讨论。 对于不可压缩流体湍流运动,由于 ,因此对再分配项下标收缩后可得 ,说明它对湍动能的增长率没有贡献,而只在湍流脉动各速度分量之间起调节作用。比如说,在没有平均速度变形率和湍流扩散的湍流场中,若某一速度分量 远远大于另外两个分量 ,这时通过再分配项就会产生一种能量转移,使 能量的一部分转移到 或 中,从而使各雷诺应力分量最终达到平衡状态,而保持 的总和不变。湍流模型湍流模型湍流模型湍流模型一、涡粘模式 零方程模型 一方程模型 两方程模型二、二阶封闭模型(即雷诺应力方程模型) 1.5湍流统计方程的封闭形式1.5湍流统计方程的封闭形式一、涡粘模式(a)涡粘假设 Boussineq(1877)提出了涡粘假设。他把湍流中流体微团的脉动比拟为分子的热运动,流体微团的平均速度比拟为分子的宏观平均速度,湍流脉动产生的平均动量输运比拟为分子热运动产生的平均动量输运。分子热运动产生的平均动量输运等于宏观的粘性应力,而湍流脉动产生的平均动量输运等于雷诺应力。因此,根据Boussineq的比拟思想,由湍流脉动产生的雷诺应力的封闭关系式应当和分子运动产生的粘性应力有类似的形式,根据不可压牛顿流体的本构方程(1.4.10),通过将雷诺应力 比拟为粘性应力 、湍流流动的平均速度 比拟为流体的宏观速度 ,Boussineq提出了如下的涡粘模式1.5湍流统计方程的封闭形式1.5湍流统计方程的封闭形式 其中 称为涡粘系数, 为平均运动的变形率张量,k 为湍动能。将涡粘假设(7.5.1)式带入雷诺方程(7.3.3)可得 如果定义 为有效粘性系数,分别以 和 代替N-S 方程中的 Vi 、ν和 p ,则方程与 N-S 方程有相同的形式。如果给出了T ,νeff 的表达式,平均运动的方程就封闭了。1.5湍流统计方程的封闭形式1.5湍流统计方程的封闭形式(b)混合长模式 对简单的平衡湍流 (Pk ≈ε),我们可以通过量纲分析导出 νT 的一般表达式。首先 νT 应可表达为湍流脉动的特征速度 u 和特征长度 l 的乘积代入涡粘假设 (7.5.1) 式中可得由 (7.4.10) 式湍动能产生项的表达式,可以得出1.5湍流统计方程的封闭形式1.5湍流统计方程的封闭形式 上式说明只要得到湍流脉动特征尺度的表达式,就能得到涡粘系数的表达式。这种简单的代数形式的涡粘模式称为Prandtl 混合长度模式。 更普遍的形式是1.5湍流统计方程的封闭形式1.5湍流统计方程的封闭形式湍流的实验数据表明,湍流脉动的特征长度与湍流平均流场的剪切变形有关,不同的湍流场中,l 具有不同的分布规律。 在固壁附近l~κy,其中y 为离壁面的垂直距离,κ = 0.4 ~ 0.41为卡门常数; 在湍射流或其它无界的自由切变湍流中l ~δ ,δ 为自由切变层的特征厚度。与Boussinesq的假定相比,混合长度理论并没有把对湍流的认识向前推进一步,但却为从实验上确定湍流粘性系数提供了思路。 1.5湍流统计方程的封闭形式1.5湍流统计方程的封闭形式零方程模型: Baldwin-Lomax模型(1978)在壁面相邻区,将湍流粘性系数假设为(朱自强“应用计算流体力学”P130) 其中,为衰减的尺度因子,而 1.5湍流统计方程的封闭形式1.5湍流统计方程的封闭形式壁面衰减模型:Van Driest其中1.5湍流统计方程的封闭形式1.5湍流统计方程的封闭形式(c)一方程模型 一方程模型是普朗特在1945年建立的,它增加了一个湍动能K的模型输运方程。 一方程模型计算量比较少,比较经济,能较好的处理壁面,可以用较粗的网格; 一方程模型的缺点与零方程模型类似,需要预先给出湍流的特征长度; 模型用于具有较小分离区的外流计算,比如多段翼型和后体等绕流,结果是较好的。1.5湍流统计方程的封闭形式1.5湍流统计方程的封闭形式Spalart & Allmaras(1992)一方程模型减缓了在定义涡粘性系数时需要给出特征长度的困难。然而关于输运方程某些项的确定仍然需要凭经验给定湍流的特征尺度,它与到壁面的距离有关。其中的涡粘系数由下式给出专门为涉及固壁束缚流动的航空航天应用而设计 已表明对具有逆压梯度的边界层流动,能够得出较好的计算结果1.5湍流统计方程的封闭形式1.5湍流统计方程的封闭形式(d)、两方程模型:k −ε 模式 涡粘模式的关键是确定合理的湍流脉动的特征长度l 。在上面介绍的混合长模式中, l 是由实验结果作最佳拟合得到的,它们显然是经验性的,很难推广到比较复杂的湍流流动中去。事实上,湍流脉动的特征长度是各种尺度的脉动成分的平均值,通过对湍动能输运机制的研究,我们可以对l 做更好的近似。一方面湍动能的输入主要来自平均流场,属大尺度脉动,或者说大尺度脉动占有湍动能的绝大部分;另一方面湍流耗散主要产生在小尺度脉动,或者说小尺度脉动占有绝大部分的耗散率。因此,湍流脉动长度尺度可以由湍动能k 和湍动能耗散率ε 来估计。由量纲分析可知, 具有长度的量纲,因此1.5湍流统计方程的封闭形式1.5湍流统计方程的封闭形式 其中 为待定常数。式(7.5.5)表示涡粘系数可以用当地的湍动能和湍动能耗散率来表示,这种涡粘模式称为k −ε 模式。为使方程封闭,还应当给出k 和ε 的模型方程。以构造扩散项的梯度模型为1.5湍流统计方程的封闭形式 湍动能耗散率ε 的演化方程可通过对扰动方程(7.3.5)的求导推导出来,但推导过程比较繁琐,我们在此略去ε 演化的微分方程。湍动能耗散的机制十分复杂,对它的方程逐项模化几乎是不可能的。目前常用的ε 的模型方程是采用类比的方法,比照k 的模型方程得出的1.5湍流统计方程的封闭形式1.5湍流统计方程的封闭形式 考虑到涡粘假设的平均运动方程(7.5.2)、连续方程(7.3.4)加上涡粘系数方程(7.5.5)、k 和ε 的模型方程(7.5.6)(7.5.7)一起构成封闭的方程组1.5湍流统计方程的封闭形式1.5湍流统计方程的封闭形式1.5湍流统计方程的封闭形式1.5湍流统计方程的封闭形式二、雷诺应力模式1.5湍流统计方程的封闭形式 涡粘模式由于模型简单、计算量小,在工程上获得了广泛应用。但由于涡粘模式中雷诺应力只和当时当地的平均运动变形率有关,忽略了历史效应,不能正确地反映湍流输运的机理,因此对一些复杂的流动,其预测精度较低,甚至完全失败。例如标准k −ε 模式就不适用于边界层分离点附近和其它有分离区的流动的模拟。因此为考虑历史效应,人们从雷诺应力的输运方程出发,通过封闭雷诺应力输运方程中的高阶统计量来获得封闭的平均运动方程组。1.5湍流统计方程的封闭形式1.5湍流统计方程的封闭形式(1)雷诺应力模式 雷诺应力输运方程(7.4.9)中,扩散项、再分配项和耗散项是待封闭的量,下面我们分别介绍这几项的常用封闭模式。 对扩散项常采用梯度形式的模式进行分封闭,即认为雷诺应力的扩散速度应与雷诺应力的梯度成正比再分配项的基本模式为1.5湍流统计方程的封闭形式1.5湍流统计方程的封闭形式 在湍流统计方程的封闭模式中,耗散项的模拟是最困难的,因为雷诺应力耗散的输运过程包含太多的未知因素,对它进行模式近似缺乏依据,因此目前常用简单的各向同性的近似模型 将以上模式带入雷诺应力输运方程(7.4.9)并结合湍动能耗散率ε 的模型方程(7.5.8),即可得到雷诺应力的封闭方程组。雷诺应力是一点脉动速度的2 阶相关,因此雷诺应力输运方程的封闭模式又称为二阶矩模式。1.5湍流统计方程的封闭形式1.5湍流统计方程的封闭形式(2)代数应力模式 利用二阶矩模式求解湍流流动的平均场比涡粘模式要多解6 个雷诺应力的偏微分方程,因此需要更多的计算机内存和计算时间,这大大限制了二阶矩模式的工程应用。为进一步减少计算工作量,人们对二阶矩模式进行了进一步简化,提出了代数形式的二阶矩模式,称为代数应力模式。 假定雷诺应力输运处于局部平衡状态,其时间导数项和空间导数项均可忽略不计,则只有产生项、再分配项和耗散项三项平衡,雷诺应力输运方程(7.4.9)可简化为1.5湍流统计方程的封闭形式1.5湍流统计方程的封闭形式 将再分配项和耗散项的封闭模式(7.5.12)和(7.5.13)式带入上式,则得到了关于雷诺应力的6 个代数方程 代数应力模式以6 个代数方程代替二阶矩模式中的6 个偏微分方程,大大地减少了计算工作量。 湍流统计模式是目前模拟和预测复杂湍流的唯一工具,但目前的湍流统计模式还存在许多问题,普适性不强是湍流统计模式的致命弱点,简单易行、适用面广是湍流统计模式进一步的发展目标。