调和分析讲义009---次调和函数及其调和控制

1 第 2.4 节 次调和函数及其调和控制 定义 2.设区域 nD E ,称  s C D 为次调和函数,若当  :rS t t x r D   � 时,      , 1 1 r x s n s x r s x rt dt       ,此式称为平均值不等式. 注.当 1n  时,调和函数就是线性函数,而次调和函数就是凸函数. 注.过两点的凸函数一定被过这两点的线性函数控制;反之也对. 闭球上的次调和函数一定被在边界上以它为边界值的调和函数控制;反之也对. 注.次调和函数也满足最大值原理. 注.可以仅仅u上半连续,即    y x u y u x      . 定理.设u在D中次调和,则      1, n n t x r B x r D u x u t dt r        . 证.       1 1 1 1 1 1 1 0 0n n n n t u x rt dt dt u x r t d d u x r t dt                               1 1 11 0 n n n nu x d u x u xn        ,证毕. 定理 3.设  2u C D ,若 0u  ,则u为次调和的. 证.不妨设 :x x r D  ,只需证明   1 1 10 r n n u uds r     ; 记  x r    ,      2 2 , 2 ln ln , 2 n nx r nv x x r n          ,则由第二 Green 公式,得   0v u v uu v ds u v v u dx v udx u ds v ds n n n n                             ,而 2 2 2 2 1 1 1 1 0 r n n n n S u uv ds ds uds n r n r                                    ,故    1 1 11 12 2 0| | r n n n v uu ds n ds n uds uds n x r                         ,证毕. 注.       1 1 1 0 n n n d u x rt dt u x rt t dt r u x rt dt dr                     ,故       1 1 10 lim n n nu x rt dt u x t dt u x               . 2 定理 4.设  s C D , 0s  ,若 s在  0R s  上次调和,则 s在D中次调和. 证.设  0rS x x r D    ,u为 rS 上以 s为边界值的调和函数,我们需要验证: 在 rS 上u s ,记w s u  ; 假设   sup : 0rw x x S c   ,若  w x c ,则在 x的充分小邻域U 中, 0s u  , 故在U 中 s次调和 w 次调和,由平均值不等式,在U 中w c ,于是, w c 为 rS 中开集,又是闭集,故  rS w c  在 rS 上u s ,矛盾,证毕. 推论.设  s C D , 0s  ,若在  0R s  上 2s C ,且 0s  ,则在D中 s次调和. 定理 5.设D为有界区域,  s C D ,且在D中次调和,若存在D中的调和函数u , 它可以连续延拓到D上,且在 D 上 s u ,则在D上 s u . 证.记w s u  ,若   sup : 0w x x D c   ,则 w c 是D中开集,又是闭集,由 D的连通性,  D w c  在D上u s c  ,矛盾,证毕. 推论.设D为有界区域,  s C D ,在D中次调和,若D上存在以其为边界值的 调和函数,则该函数就是 s在D上的最小调和控制函数. 例.设u为调和的,则 u 是次调和的. 例.有限个次调和函数的非负线性组合,以及Max 函数均是次调和的. 例.设 s为次调和的,为递增的凸函数, sD R  ,则 s  是次调和的:         1 11 1 1 1 n nn n s x s x rt dt s x rt dt                    . 特别地,若u调和,则当 1p  时, | |pu 是次调和的. 当0 1p  时,上述结论不对,例如  ,u x y x 调和,而 | | | |pu x 不是次调和的. 注(Jensen 不等式).设是 X 上的有限测度,为凸函数,若 fD R  ,则             1 1X Xf t d t f t d tX X            . 例.设F u iv  为D 上的解析函数,则 0p  , pF 是次调和函数. 证.设  : 0R z x iy F    ,则在R上 log F 调和(可直接计算其 Laplace),又   pxx e  为凸函数,故  logpF F 在R上次调和,由定理 4,即得,证毕. 3 引理.设  ,s x y 在 1nE 上非负次调和,若存在1 p   ,使得  , ps y c  ,其中 c不依赖于 y ,则   ,, n pn ps y A cy  . 证.由平均值不等式,         1 1 1 , , 2 2, , n n n x y y s x y s d d y                         1 1 1 1 1 1 , , 2 , , 2 2 , p p n p n n x y y x y y s d d d d y                                        1 1 13 21 1 11 1 1 2 2 2 , 2 p pyn n p nn n n y x y yd s d y                              11 13 21 1 1 1 12 2 1 2 pp pyn n p n pn p n ny cc d yy                        ,证毕. 定理 6.设  ,s x y 在 1nE 上非负次调和,若存在1 p   ,使得  , ps y c  ,则 (1)当 1p  时, s在 1nE 上存在最小调和控制函数,它是某个 f 的 Poisson 积分, 其中 p f c ;(2)当 1p  时, s在 1nE 上存在最小调和控制函数,它是 nE 上某个 有限 Borel 测度的 Poisson 积分,其中 c  . 证.由引理,     ,, sup ,n n px E n ps y s x y A cy   ,故当 y时,  , 0s x y  ; 由于在  0 1B y r y y r     上,   1 0 1 0 2 n y r p p p B y r E s dxdy dy s dx y y r c         ,故  | | lim 0p k B x k s dxdy    ,而 ps 次调和,由平均值不等式,当 x时,  , 0s x y  , 故  0 1,ns C E  ,其中那   1, 1, : 0n nE x y E y       为特征半子空间; 当1 p  时,由于  p nL E 是  p nL E 的对偶,而  , ps y c  ,故存在 0k  , 以及  p nf L E ,使得        lim , n n kk E E s t g t dt f t g t dt   ,  p ng L E  ; 当 1p  时,由于  nM E 是  0 nC E 的对偶,而   1,s y c  ,故存在 0k  ,以及  nM E ,使得        lim , n n kk E E s t g t dt g t d t    ,  0 ng C E  ; 特别地,由于     , 1p nP y L E p     ,且    0, nP y C E  ,故得 4 当1 p  时,        lim , , , n n kk E E P x t y s t dt P x t y f t dt     , 当 1p  时,        lim , , , n n kk E E P x t y s t dt P x t y d t      ; 现在,只需要验证在 1nE 上,      , , , nE s x y P x t y s t dt    , 0  ; 令          , , , , , n nE E m x y s x t P t y dt s t P x t y dt       ,则  , pm y c   ,由于  0 1,ns C E  ,故 0y 时,    , , 0s m y     ,    , , 0s s y       , 于是    , , 0s y m y      ,又由于     ,, sup ,n n px E n ps y s x y A cy   , 当 y时,也有    , , 0s y m y      ; 令  0 1,R x k y y y    ,则 0  ,当 0y 充分小, 1y 充分大时,在 R 上,有    , ,s x y m x y    ,于是,由最大值原理,在R整个上也有    , ,s x y m x y    ,由此,即得在 1nE 上,    , ,s x y m x y   ,证毕.