广东省东莞市2008年高中数学竞赛决赛试题及答案

安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com 2008年东莞市高中数学竞赛决赛 一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题的相应位置．） 1．若集合 中的元素是 的三边长，则 一定不是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．设 ，则 =（ ） A． B． C． D． 3．如图，一个空间几何体的正视图，左视图，俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的体积为（ ） A． B． C． D．1 4． 若 、 两点分别在圆 上运动，则 的最大值为（ ） A．13 B．19 C．32 D．38 5．设 是函数 定义域内的两个变量，且 ，若 ，那么，下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 6．已知函数 ，则 （ ） A．1 B．0 C． -1 D．4 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把填在答题卡相应题的横线上．） 7．右图的发生器对于任意函数 ， 可制造出一 系列的数据，其工作原理如下：①若输入数据 ， 则发生器结束工作；②若输入数据 时，则发生 器输出 ，其中 ，并将 反馈回输入端.现 定义 , .若输入 ,那么, 当发生器结束工作时,输出数据的总个数为 ． 8．若点（1,1）到直线 的距离为 ，则 的最大值是 ． 9. 从[0，1]之间选出两个数，这两个数的平方和小于0.25的概率是_______． 10．函数 （ ，其中 为正整数）的值域中共有2008个整数，则正整数 . 11. 把1，2，3，…，100这100个自然数任意分成10组，每组10个数，将每组中最大的数取出来，所得10个数的和记为 .若 的最大值为 ，最小值为 ，则 . 12．设集合 ， ，其中符号 表示不大于x的最大整数，则 . 答 题 卡 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 答案 二、填空题 7． 8． 9． 10． 11． 12． 三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 13．（本小题满分12分） 已知向量 ， ． （1）求证： 为直角； （2）若 ，求 的边 的长度的取值范围． 14．（本小题满分12分） 已知函数 .若 为整数，且函数 在 内恰有一个零点，求 的值. 15．（本小题满分12分） 设 、 是函数 图象上两点, 其横坐标分别为 和 , 直线 与函数 的图象交于点 , 与直线 交于点 . (1)求点 的坐标； (2)当 的面积大于1时, 求实数 的取值范围. 16．（本小题满分14分） 如图，在正方体 中， 、 分别 为棱 、 的中点． （1）求证： ∥平面 ； （2）求证：平面 ⊥平面 ； （3）如果 ，一个动点从点 出发在正方体的 表面上依次经过棱 、 、 、 、 上的点，最终又回到点 ，指出整个路线长度的最小值并说明理由. 17．（本小题满分14分） 已知以点 为圆心的圆与 轴交于 两点，与 轴交于 、 两点，其中 为坐标原点. （1）求证： 的面积为定值； （2）设直线 与圆 交于点 ，若 ，求圆 的方程. 18．（本小题满分14分） 对于函数 ，若 ，则称 为 的“不动点”，若 ，则称 为 的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为 和 ，即 ， . （1）求证： ； （2）若 ，且 ，求实数 的取值范围； （3）若 是 上的单调递增函数， 是函数的稳定点，问 是函数的不动点吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由. 2008年东莞市高中数学竞赛决赛参考答案 一、选择题D B A C D C 二、填空题 7．5 8． 9． 10．1003 11．1505 12． 三、解答题 13．（1）证明：因为 0， …………4分 所以 ，即 ． …………5分 所以 是直角三角形． …………6分 （2）解： ， 因为 是直角三角形，且 ， 所以 …………9分 又因为 ， ， 所以 ． 所以， 长度的取值范围是 ． …………12分 14．解：（1） 时，令 得 ，所以 在 内没有零点；2分 （2） 时，由 EMBED Equation.3 恒成立， 知 必有两个零点． …5分 若 ，解得 ；若 ，解得 ， 所以 ． ……7分 又因为函数 在 内恰有一个零点， 所以 即 ． …………10分 解得 由 综上所述，所求整数 的值为 ． …………12分 15．解：（1）易知D为线段AB的中点, 因 ， ， 所以由中点公式得 ．　　　　　　　　　　　　　　…………2分 （2）连接AB，AB与直线 交于点D，D点的纵坐标为 ． …………4分 所以 = log2 …………8分 由S△ABC= log2 >1, 得 ， …………10分 因此, 实数a的取值范围是 .　　　　　　　　　 …………12分 16．（1）证明:连结 . 在正方体 中，对角线 . 又 E、F为棱AD、AB的中点， . . …………2分 又B1D1 EQ (\d\ba6()( 平面 ， 平面 ， EF∥平面CB1D1. …………4分 （2）证明: 在正方体 中，AA1⊥平面A1B1C1D1， 而B1D1 EQ (\d\ba6()( 平面A1B1C1D1， AA1⊥B1D1. 又 在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1， B1D1⊥平面CAA1C1. …………6分 又 B1D1 EQ (\d\ba6()( 平面CB1D1， 平面CAA1C1⊥平面CB1D1． …………8分 （3）最小值为 . …………10分 如图，将正方体六个面展开成平面图形， …………12分 从图中F到F，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的中点，所求的最小值为 . …………14分 17．解：（1） ， ． 设圆 的方程是 令 ，得 ；令 ，得 . …………2分 ，即： 的面积为定值. ………4分 （2） EMBED Equation.3 垂直平分线段 . ， 直线 的方程是 . …………6分 ，解得： . …………8分 当 时，圆心 的坐标为 ， ， 此时 到直线 的距离 ， 圆 与直线 相交于两点． …………10分 当 时，圆心 的坐标为 ， ， 此时 到直线 的距离 圆 与直线 不相交， 不符合题意舍去． …………13分 圆 的方程为 . …………14分 18．解：（1）若 ，则 显然成立；若 ，设 ，则 ， ，故 . …………4分 （2） 有实根， .又 ，所以 ， 即 的左边有因式 ， 从而有 . …………6分 ， 要么没有实根，要么实根是方程 的根.若 没有实根，则 ；若 有实根且实根是方程 的根，则由方程 ，得 ，代入 ，有 .由此解得 ，再代入得 ，由此 ，故a的取值范围是 . …………10分 （3）由题意： 是函数的稳定点则 ，设 ， 是 上的单调增函数，则 ，所以 ，矛盾.若 ， 是 上的单调增函数，则 ，所以 ，矛盾，故 ，所以 是函数的不动点. 正视图 左视图 俯视图 否 结束 （第7题图） 输出� EMBED Equation.3 ��� 是 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� 输入� EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� A B C D A1 B1 C1 D1 E F 第 8 页 共 8 页 _1281251586.unknown _1281257145.unknown _1285077726.unknown _1285078574.unknown _1285079827.unknown _1285139420.unknown _1285358632.unknown _1285359132.unknown _1285359517.unknown _1285359841.unknown _1285359334.unknown _1285358639.unknown _1285356523.unknown _1285080638.unknown _1285080763.unknown _1285080857.unknown _1285080903.unknown _1285080709.unknown _1285079894.unknown _1285079905.unknown _1285080278.unknown _1285079871.unknown _1285079018.unknown _1285079352.unknown _1285079761.unknown _1285079323.unknown _1285078805.unknown _1285078966.unknown _1285078645.unknown _1285078225.unknown _1285078505.unknown _1285078517.unknown _1285078311.unknown _1285077746.unknown _1285078109.unknown _1285077735.unknown _1285077104.unknown _1285077356.unknown _1285077712.unknown _1285077414.unknown _1285077494.unknown _1285077138.unknown _1285077151.unknown _1285077120.unknown _1282113495.unknown _1282156502.unknown _1285076549.unknown 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