4-02-连续函数的性质

null4-02 连续函数的性质4-02 连续函数的性质一.连续函数的四则运算性质一.连续函数的四则运算性质null二.反函数的连续性二.反函数的连续性定理2. 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.反三角函数在其定义域内皆连续.nullnullnull三.复合函数的连续性三.复合函数的连续性null四.初等函数的连续性四.初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★nullnullnull命题1 基本初等函数在定义域内是连续的. 命题2 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间.★(均在其定义域内连续 )null注意 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续.例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.五.闭区间上连续函数的性质五.闭区间上连续函数的性质闭区间上的连续函数具有性质: 最大值和最小值存在定理; 介值定理或曰零点存在定理.null定理4(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.null定理5(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证null定理6'(介值定理) 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.介值定理的一个等价的表述null几何解释:null定义:null几何解释:null至于方程的根的计算,以后有“闭区间套定理” 予以解释,并可用所谓的“二分法”进行近似计 算得到,或使用Newton切线法求解.null数学家的笑话----解是存在的 工程师、化学家和数学家住在一家老客栈的三个相邻房间里。当晚先是工程师的咖啡机着了火,他嗅到烟味醒来,拔出咖啡机的电插头,将之扔出窗外,然后接着睡觉。过一会儿化学家也嗅到烟味醒来,他发现原来是烟头燃着了垃圾桶。他自言自语道:“怎样灭火呢?应该把燃料温度降低到燃点以下,把燃烧物与氧气隔离.浇水可以同时做到这两点。”于是他把垃圾桶拖进浴室,打开水龙头浇灭了火,就回去接着睡觉。 数学家在窗外看到了这一切,所以,当过了一会儿他发现他自己的烟灰燃着了床单时,他可一点儿也不担心。说:“嗨,解是存在的!”就接着睡觉了…nullnullnull 如果某人第一天6:00从山脚出发于17:00到达山顶,歇宿一夜以后第二天一早6:00从山顶出发沿着原路于17:00到达山脚原先出发处.那么,途中必定有那么一个地方,两天中该人到达此处的时刻相同! 你理解吗?? ... ... 下面我们用数学的语言予以解释: 设该人第一天从6:00开始经过时间t所走过的路程为s=s(t),到达终点时所走过的路程为s(11)=K, 该人第二天从6:00开始经过时间t时距离山脚出发处l=l(t),设 d=d(t)=l(t)-s(t),t[0,11],显然d(t)在[0,11]上连续,且有d(0)=l(0)-s(0)=K>0, d(11)=l(11)-s(11)=-K<0, 由介值定理可知,0,11, d()=0. ……null思考题下述命题是否正确？null思考题解答不正确.例函数nullnullnullnullnull