三角形_四心_问题的判断

p 周凤凯 三 角 形 /四 心 0问 题 的 判 断 三角形的 /四心 0 (即内心, 外心, 重心, 垂 心 ) 是中学的一个基础, 需掌握它 们的定义和性质.近几年, 以平面向量知识为载 体,加强了对它的考查, 是高考的一个小的热 点.本文就 /四心 0判断问题的解题方法作一归 纳,供读者参考. 一、直接计算法 例 1 设点 O是 vABC所在平面内一点, 且 (OA + OB ) #BA = (OB + OC )# CB = (OC + OA # (AC ),则 O为 vABC的 ( ) (A ) 重心 ( B ) 内心 ( C ) 外心 ( D) 垂心 解:由BA = OA - OB得 (OA + OB )# BA = (OA + OB )# OA - OB ) = OA 2 - OB2同理 (OB + OC )#CB = OB2 - OC2, (OC + OA )AC = OC - OA.由题意可知OA 2 - OB2 = OB2 - OC2 = OC 2 - OA 2 ,解此方程组可得OA 2 = OB 2 = OC2, 则 | OA | = | OB | = | OC |,所以 O为 vABC的 外心, 选 ( C) . 例 2 已知 O是平面内一点, A, B, C是这 个平面内不共线三点, 动点 P 满足OP = OA + K( AB | AB | co sB + AC | AC | co sC ), KI ( 0, + ] ), 则动点 P的轨迹一定通过 $ABC的 ( ) (A ) 重心 ( B ) 内心 ( C ) 外心 ( D) 垂心 解:由已知得OP - OA = K( AB | AB | cosB + AC | AC | cosC = ), 即 AP = K( AB | AB | cosB + AC | AC | cosC ), 则 BC # AP = K # BC # ( AB | AB | cosB + AC | AC | co sC ) = K# ( | AB |# | BC | co s(P- B ) | AB | cosB + | AC |# | BC | cosC | AC | cosC ) = K( - | BC | + | BC | ) = 0,所以BC L AP. 所以点 P 的轨迹一定通过 $ABC的垂心,选 ( D) . 评注:以上两例运用了向量加法, 减法, 数 乘及数量积运算律,直接计算并结合 /四心 0定 义而解决. 二、形数结合法 例 3 设 G是 vABC所在平面内一点,且 GA + GB + GC = 0,则 G是 vABC的 ( ) ( A ) 重心 ( B) 内心 ( C) 外心 ( D) 垂心 解: 如图 1,取 AB中 点 D,则GA + GB = 2GD,又GA + GB = - GC = CG,所以CG = 2GD, 从而 G为CD内分点且 | GC | = 2 | GD |,即 G在 vABC的中线 CD 上且 GC = 2GD,所以 G是 DABC的重心,选 ( A ) . 例 4 O为平面上一定点, A、B、C是平面上 不共线三点,动点 P满足OP = OA + K( AB | AB | + AC | AC | ), KI ( 0, + ] ),则 P点的轨迹一定 过 vABC的 ( ) ( A ) 重心 ( B) 内心 ( C) 外心 ( D) 垂心 解: 令AE = AB | AB | , AF = AC | AC | , 则AE、AF 分别是AB、AC同向的单位向量 (如图 2), 以 AE、AF为邻边作平行四边形 AEDF, 则四边形 AEDF为菱形且AD = AE + AF,从而有 AD平分 #2# 数理化学习 (高中版 ) NBAC.又由已知可得OP - OA = K(AE + AF ) = KAD, AP = KAD, (K > 0)从而 AP与AD同向, 所以 AP平 分 NBAC, P点的轨迹一定 过 vABC的内心,选 ( B) . 评注: 以上两例运用了 向量加法的平行四边形法则,三角形法则,把两 向量的和所对应向量作出, 结合运算律和 /四 心 0性质而解决. 三、特殊图形分析法 例 5 已知 O为 vABC的外心, P为 ABC 平面内一点, 且OP = OA + OB + OC, 则 P为 vABC的 ( ) (A ) 重心 ( B ) 内心 ( C ) 外心 ( D) 垂心 解:不妨设 vABC 为直角三角形, NC = 90b, 由题意, O为 AB的中点, 从而OA + OB + OC = OC,又由已知OP = OA + OB + OC,所以 OP = OC,因而 P与 C重合,为 vABC的垂心, 选 ( D ) . 例 6 vABC 内有一点 P,使 | PA | 2 + | PB | + | PC | 2 取得最 小值, 则 P 为 是 vABC的 ( ) (A ) 重心 ( B ) 内心 ( C ) 外心 ( D) 垂心 解:不妨设 vABC为等腰直角三角形, NA = 90b, 并建系如图 3, 设 AB = 1, P ( x, y ), 则 A (0, 0), B (1, 0), C ( 0, 1), | PA | 2 + | PB | 2 + | PC | 2 = x 2 + y 2 + ( x - 1) 2 + y 2 + x 2 + ( y - 1) 2 = 3(x - 1 3 ) 2 + 3( y - 1 3 ) 2 + 1 3 ,当且仅当 x = y = 1 3 时上式有最小值, 从而 P ( 1 3 , 1 3 ), 因此 P为 vABC的重心,选 ( A) . 评注:以上两例若采用常规方法运算量大 且难寻突破口, 现采用特殊图形分析法并结合 /四心0性质而解决, 解法简捷, 巧妙, 别具一 格. 练习题: 11点 O是 vABC所在平面内一点,且OA # OB = OB# OC = OC# OA,则点 O为 vABC的 ( ) ( A ) 重心 ( B) 内心 ( C) 外心 ( D) 垂心 2.点 O是 vABC所在平面内一点,满足 | OA | 2 + | BC | 2 = | OB | 2 + | CA | 2 = | OC | 2 + | AB | 2 ,则点 O为 vABC的 ( ) ( A ) 重心 ( B) 内心 ( C) 外心 ( D) 垂心 3.已知 A, B, C三点不共线, O是平面内一 定点, P为一动点,且OP = OA + K(AB + 1 2 BC ), 则动点 P的轨迹一定能过 vABC的 ( ) ( A ) 重心 ( B) 内心 ( C) 外心 ( D) 垂心 4.点 O是 vABC所在平面内一动点,且满 足BA # OA + | BC | 2 = AB# OB + | AC | 2,则 O 点的轨迹一定通过 vABC的 ( ) ( A ) 重心 ( B) 内心 ( C) 外心 ( D) 垂心 5.平面上三个不共线向量OA、OB、OC满足 OA # ( AB | AB | + CA | CA | ) = OB # ( BA | BA | + CB | CB | ) = OC# ( BC | BC | + CA | CA | ) = 0,则点 O 为 vABC的 ( ) ( A ) 重心 ( B) 内心 ( C) 外心 ( D) 垂心 方法提示及: 1. 直接计算法, 选 ( D ) . 2.直接计算法或特殊图形分析法, 选 ( D) . 3. 形数结合法, 选 (A ) . 4. 特殊图形分析法或直 接计算法,选 ( D) . 5.形数结合法,选 ( B ) . 河北省衡水市第十四中学 ( 053000) #3# 数理化学习 (高中版 )