半连续函数性质探索之我见

>o，38>0，糍工E纛，篮|苫-xo[<8时。均有 ，(毒)<，【工。卜富，则称，(x)在粕处上半连续m。 定义2．设函数，(毒)在工。某邻域内有定义，对 f’ ， Vs>0．38>0，当工e^，且l工一嚣ol<万时，均有 ，厶)>歹《翔卜嚣，躺称，《毒)在粕处下半连续‘¨。 ‘‘圭定义l、2援易涯暇如下结沦：蹋数一菇)在袖莱 邻城内有定义，则f(-)在工。处连续的充分必婺条件 是：，(，)在粕处既上半连续，又下半连续。例I：讨 论函数D(曲={矗三三笔的半连续性。 解：dz．Ltl!定义可知，D∞在有理点处是上半连续的， 但不是下半连续的；在无理点处恰恰相反，它是下 半连续鲑瑟毒錾上半连续豹。 例2：幸寸论函数，(善)=xD(x)的半连续性。 解：由例1的结论可得当x>O时，，《工)的半连续性与 移∞捆同；巍x0,38>0，当 工EA．1J一，ol<万时，均有，(力0的任意性，即得出lira，∞sf(Xo)。 X--’X0 2．(2)j(3) 由上极限的定义可知： lim，(力=max{liraf(x露)lxnEA，石一--}xol， 因为lira，(曲s，oo)，即 工—’JO lim，(力zmax{．mf(工耳)l工一EA,x一—’工olsf(xo) 蠢-+工n n-)目o 所以，对于坛一eA，若h--}x0，即有： liraf∽sf(xo)o X--J,X0 3．(3)等(1)(用反证法来证明) 设，(力在工。处不上半连续，剐 jF。>0,VSn=丢>o，瓠一EAoo，暑(力>o，且上半连 续(或，(力<0，g(力<0，且下半连续)，则它们的积 ，(力·g(力在【口，6】上为上半连续。若在【口，6】上 ，(力>0，且上(下)半连续，暑∽<0且为下半连续， 则它们的积，(曲·暑(曲在【口。西】上为下(上)半连续。 4．若在【口。6】上，(曲>o，且上(下)半连续， 则7丽1在【口，6】上为下(上)半连续。 证明：I。因为．厂(曲、g(力在【4，6】上上半连续， 根据上半连续定义，即VF>o，3万>o，当JE【4，b1． 卜一工ol<万时，均有 ，∞<，o。)+三·暑∞o．j艿>o，当工E【口，6】，I工一工oI<+114， 万方数据 2007年第6期 铜仁学院学报 均有，(工)<，【工oJ+占；此不等式两边同乘以一1得： -f(x)>-f(xo)-S，即满足：Vs>0，j艿>0，当 工e【口，b】，Ix—xoI<6时，均有一，(力>一，oo)-占所 以，一，(力在【4，易】上是下半连续的。另一种情形同理 可证。 j。因为，(力、g(曲在【口，易】上上半连续，根据 上半连续定义，即VPI>o，38>0，当xe[a，b】、 I石一加I<万时，均有f(x)0， j万>o，当石E【4，6】、I工一工oI<万时，均有 r’ ，‘1 譬(力o，g(力>o，故可将上 述所得两不等式相乘，得到：、 ，(力·g(力o，38>0，当xe[a，b】、 Ix一工ol<万时，，均有，(力<，oo)+占I，又因为 ，(力>0，则有 ’1 1． 1 占l一>⋯，(力f(Xo)f(x)f(xo) 令占=7南，即得7b>7去万一占，所以， 7b在【口，易】上为下半连续。另一种情形同理可证。 ‘性质(2)(局部保号性)： 若，(曲在毒。处上半连续，f(Xo)0，对 Vxe【a，b】，有f(工)≤肘。) 102 20，(曲在【口，6】上达到上确界(ep：孤oe[a，b】， 使得，(毒o)=sup{f(工)，工E【口，b】)。) 证明：(1)首先用反证法证明其有界： 一 、 假设，(工)在【口，6】上无上界，则致。“口’b】，使 得f(工。)>n(n=l，2’⋯)；由致密性原理可知，在{一。J 中存在收敛的子序列I工一Il，且工。I Xo(k一佃)。 因为【口。6】是闭集，E)f1)lx0∈[a，6】。但，(h。)>nt， 当k_佃时，，(工玎。)啼佃，故1iInf(z)=佃。而 根据，(曲在【口，b】上上半连续，应有 —五二_，(x)Sf(xo)，故应有f(xo)=佃‘。显然产生矛 J—’工O ． 盾，所以，(工)在【口，6】上有上界。 (2)由，(工)在【a，b】上有上界，则3M使得 挚p，，(力=M<佃；若，(力在【口，6】上达不到上确 艇【4，扫J 界，则Vxe【口’b】，有，(力o，所 以南在【口，6】上上半连续， )A而．-7W 南在【口，6】上有上界，即jM。>o，使得 垤∈【以6】，有面=}两<肘。，ePf(x)0，j万>o，对一切 JE【口，／,]rl(xo一最Xo+万)有f(工)<，(工o)+g成 立，求证：，(力有最大值【21。 ‘ 证明：Vxoe[a，6】，V占>o，38>0，V工∈【口，6】n (工。一最工o+万)，有f(工)工2>⋯>工“>⋯；所以 l厶(曲l={五工2，⋯工”，⋯】是区间【0，l】上的单调递减函 数列。又因为工”区间【o’l】上是连续函数且I工“lsl， 所以{厶(力】=I薯工2，⋯工lqlo．,l是在【o，1】上连续舶单调 递减函数列且为有界函数列。根据有界性可知函数列 {，矗(DJ必存在极限函数。分段讨论可得极限函数： M={2。箸1， 可见：，(z)在分段点x=1处，(1)=1，linl，(x)=0， 善---hi 因为liIIl，(算)≠f(1)，所以，(力在分段点工=1处不 J·+l 连续，即，(力在【o’l】上不是连续函数。 由半连续函数的定义可以看出：它不同于连续函数。 也有别于分段函数。对于连续函数可直接用其性质处理； 对于不连续函数，若其为半连续的函数，则可以运用半 连续函数的相关性质来解决相关问题。在实际

分析

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过程 中，应利用半连续函数的性质来研究连续函数；反之， 也可以从连续函数的角度去探索半连续函数某些特有的 性质，通过知识间的迁移、交融最终达到我们研究问题、 廨决问题的目的。 参考文献： 【I】华东师范大学数学系．数学分析(

上册

三年级上册必备古诗语文八年级上册教案下载人教社三年级上册数学 pdf四年级上册口算下载三年级数学教材上册pdf

)(第2版)D旧．北京： 高等教育出版社，1991． 【2】孙本旺，数学分析中的典型例题和解题方法咖．长沙：湖南科 学技术出版社。1987． 【3】张恭庆．泛函分析讲义(上册)嗍．北京：北京大学出版社，1987． MyOpinionofCharactersofSemicontinuousFunction Ⅵ，ANG(hDcai (JiangsuCollegeofInformationTechnology,Wuxi，Jiangsu214101，China)(下转120页) 103 万方数据 2007年第6期 铜仁学院学报 的於部机制外，还囊要个体骞瑟对挫辑、失败{ili保持执 著鲶追求譬簿智办匿素，主要龟括博感、激裁、爱痔、 欲望、自我、信念和意恚等个性和龋格因素。个性品格 的差雾在一定程度上决定着刨新成就的不同，人格鲍筵 全赋是形成鞭发挥截薪煞力酌底蕴。爱因新毽说避：“一 个人智力上的成就很大程度上取决于人格的伟太，这一 赢往往超戥人们通常的认识”。积掇避驭，奋发翘上，不 髭疆难鳇人警态度，赫鸯好学，爨予实践，诚实痞教鳇 个性品质都有助于创造潜能的开发。由于现代家庭大多 楚独生子女，家长在孩子豹壤莠上。学校在学熊懿教育 上，舞不尾程度地存在漤装，舞想瓣心理素质中嚣智鸯 因素的培养糊提高等。在我国名牌谳校大学生对挫折不 貔鑫拔缓魏搂解决耋邑生命、遇掩辨蕊人等铡乎烩埝窜 证了，瑷学熊心理承受力普遍脆弱，抗挫折麓力差，邑 成为今天越来越多学生心理素质中的突出问题。因此， 要培葬翅薪入搭，鍪缓蜘强心理素缎，健全人格麴蝰养。 ’3．3．培养实践能力，提高鑫主煮汲，是培养制新鳖天 才的重要保证 蓟薪久才鹩关毽是共骞镁薪藜静穆窦黢戆力。其实 黢能力的培养要以藐实的基础知识为髓提，广祷瓣视野， 蒋予综合开拓新领域，有创造新知识的方法论。在实践 孛发现勰髓，大疆尝斌，大疆硬婕，长期以豢我们追求 教学盎张大褥全，薹壤论轻实践。耋学历较技熊，重毒 分轻能力。盲目照抄照搬西方先进国家的缀验，没有与 本土文化缀绩会，没肖形成适合我嚣实际的特色文化。 壤莠窭鹃入考，骞翔识帮映乏窿耀、实践隧力。”毒务蕺 能”现象反映了我们教学中的问题。因此，我们必须改 变教育观念，蹇寰重槐实践环节的教学，把教学蠹容与 社会生产静实际紧褒蟪结合超来，决不能脱离社会鋈济 发展的需骚去培养人才。鼓励并指导学生从秘科学研究。 在教学巾疯有意识地芍l导，鼓威学生进行一些楚单熬溺 题骚究+馥其黯研究麓趣有令初步懿获谖，簿泼提窭一 些简单专髓．经过提瀑指导、鼓励学生研究。在研究阶 段，—宠要让学生巍惑穗手、动藏、学会怎榉赛阔理有 资辩帮助瓣决所研究瓣闻惩。 注释： 。 ， fll莲兜武，患缀科学磷究转唾，艨#巾溪天瑟大学穗麟鏊。l舛冁 f21十五以零重要文献选躺幽阅．北京#人民出版社套。2002． ￡箕茳泽甓．茳泽爱；乏嘉孛嚣特色：l圭_会塞义‘专殛赘缓)参聋。冀 索；巾：怒囊=散窭蔽张，2∞夏 lnnovativeTalen卜—吖heGoalofQualityEducation ZHANGHui-pi珏g (Politics＆HistoryDepartmentofTongrenUniversity,Tongren，Guizhou554300,黜盎》 焘耘畦嘲：Scienceandtechnologyinnovationisba．．c4x[ontalent,todevelopthegreatcareerofinnovatecountry,the sustainableinnovativetalentwithhighqualityisessentialandindispensable，Totraininnovativetalent,wemustchangethe oldconcepttobuildinnovatemechanismandatmosphere,—瑚0va把oureducationconceptandchangetheeducationwayto constructahuman-basedinnovativemanagementmodewhichpayattentionOnindividualitytraining．Totrainthetale,It's wholesomepersonalityandconsummatefleWquality．ToumintheirpracticeabilityandimproveindependencemincLAll these肿importantguaranteeforthetrainingofinnovativetalent． Keyword辩qualityeducation；trainingofinnovativetalent ， 《责任编辕张策军l (上安103贸) Ab—嚣嘁：Thisarticlesiresade触itionmiddescriptionofupperandlowefsemicontimtousfun斑onfromthedefinition ofcontinuousfullction．Andcompm-esoontinuousfunctionwithsemicontinuous纛匿嚆妇indetail，discussingthesimilarities anddifferencesofchm-actetsbetweenthem．demonstratingtheauthor'sopinio-withexample文 Keywords：continuous；uppercontinuous；Iow嚣。嘲垴叫。瑚I：upperHmit；lowerlimit l蠢基壤辏垒塞囊≥ l勰 万方数据