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1
2002 年电子科大高等数学竞赛试题
一、选择题(40 分,每小题 4 分).
1.设 )(xf 在 ] ,[ aa− ( 0>a )上连续,且为非零偶
数, ∫=Φ x dttfx 0 )()( ,则 )(xΦ ( ).
(A)是偶函数; (B)是奇函数;
(C)是非奇非偶函数; (D)可能是奇函数,也可能是偶函数.
2.设 )(xf 在 ] ,[ ba 上连续,且 0)( =∫ba dxxf ,则……………………………………( ).
(A)在 ) ,( ba 内不一定有 x使 0)( =xf ; (B)对于 ] ,[ ba 上的一切 x都有 0)( =xf ;
(C)在 ] ,[ ba 的某个小区间上有 0)( =xf ;(D)在 ) ,( ba 内至少有一点使 0)( =xf .
3.已知当 0→x 时, ∫ ′′−= x dttftxxF 0 22 )()()( 的导数 )(xF ′ 与 2x 为等价无穷小,则
)0(f ′′ ………………………………………………………………………………………( ).
(A)等于 0; (B)等于
2
1 ; (C)等于 1; (D)不存在.
4.设 )(xy 是微分方程 xeyxyxy =+′−+′′ 2)1( 的满足 0)0( =y , 1)0( =′y 的解,则
20
)(lim
x
xxy
x
−
→
………………………………………………………………………………( ).
(A)等于 0; (B)等于 1; (C)等于 2; (D)不存在.
5.设直线 L:
⎩⎨
⎧
−=−−
−=++
3102
123
zyx
zyx ,平面π : 224 =+− zyx ,则它们的位置关系是 ( ).
(A) π//L ; (B)L 在π 上; (C) π⊥L ; (D)L 与π 斜交.
6.设在全平面上有 0),( <∂
∂
x
yxf , 0),( >∂
∂
y
yxf ,则保证不等式 ),(),( 2221 yxfyxf < 成
立的条件是………………………………………………………………………………( ).
(A) 21 xx > , 21 yy < ; (B) 21 xx < , 21 yy < ;
(C) 21 xx > , 21 yy > ; (D) 21 xx < , 21 yy > .
7.设 S 为八面体 1|||||| ≤++ zyx 全
面上半部分的上侧,则不正确的是………( ).
(A) 02 =∫∫
S
dydzy ;(B) 0 =∫∫
S
dydzy ;(C) 02 =∫∫
S
dydzx ;(D) 0 =∫∫
S
dydzx .
8.设常数 0>λ ,则级数∑∞
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
1
2 tan)1(
n
n n πλ 是……………………………( ).
(A)条件收敛; (B)绝对收敛; (C)发散; (D)敛散性与λ 有关
9.设 A、B 都是 n阶非零矩阵,且 O=AB ,则 A 和 B 的秩…………………………( ).
(A)必有一个等于零;(B)都等于 n;(C)一个小于 n,一个等于 n;(D)都小于 n .
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10.设 A 是 3 阶可逆矩阵,且满足 062 =−− EAA , 144|| * =A ( *A 为 A 的伴随矩阵),
则 A 的三个特征值是………………………………………………………………………( ).
(A)3,3, 2− ; (B) 3− , 3− ,2; (C)3, 2− , 2− ; (D) 3− ,2,2.
二、(8 分)设 )(xf 在 0=x 的邻域具有二阶导数,且 3
1
0
)(1 lim e
x
xfx
x
x
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++→ ,试求
)0(f , )0(f ′ 及 )0(f ′′ .
三、(8 分)设 2)1arcsin()( −=′ xxf 及 0)0( =f ,求 ∫10 )( dxxf .
四、(8 分)设函数 ),( yxu 满足 0=− yyxx uu 与 xxxu =)2 ,( , 2)2 ,( xxxu x = ,求
)2 ,( xxu xx , )2 ,( xxu xy , )2 ,( xxu yy ( xu 表示u 对 x的一阶偏导数,其他类推).
五、(8 分)设向量组 1α , 2α ,…, sα 是齐次线性方程组 0=AX 的一个基础解系,
向量 β 不是方程组 0=AX 的解,即 0≠βA ,试
:向量组 β , 1αβ + , 2αβ + ,…, sαβ +
线性无关.
六、(10 分)已知三元二次型 AXX T 经正交变换化为 2322212 yyy −− ,又知 αα =*A ,
其中 T)1 ,1 ,1( −=α , *A 为 A 的伴随矩阵,求此二次型的表达式.
七、(8 分)设 S 是以 L 为边界的光滑曲面,试求可微函数 )(xϕ 使曲面积分
∫∫ ++−
S
dxdyxzdzdxxxydydzxx 4 )( 4 )( )1( 2 ϕϕ
与曲面 S 的形状无关.
八、(10 分)设一球面的方程为 4)1( 222 =+++ zyx ,从原点向球面上任一点 Q 处
的切平面作垂线,垂足为点 P,当点 Q 在球面上变动时,点 P 的轨迹形成一封闭曲面 S,
求此封闭曲面 S 所围成的立体Ω 的体积.
九、(10 分)设函数 )(xf 在 ] ,[ aa− ( 0>a )上连续,在 0=x 可导,且 0)0( ≠′f .
(1)求证: ) ,0( ax ∈∀ , )1 ,0(∈θ ,等式 )] () ( [ )( )(
00
xfxfxdttfdttf
xx θθ −−=+ ∫∫ − 成
立.
(2)求极限 θ+→0limx .
十、(10 分)设函数 )(xϕ 在( −∞,+∞)连续,周期为 1,且 0 )(1
0
=∫ dxxϕ ,函数 )(xf
在[0,1]上有连续导数,设 dxnxxfan )( )(
1
0∫= ϕ ,求证:级数∑
∞
=1
2
n
na 收敛.
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2002 电子科大高等数学竞赛试题解答
一、选择题(40 分,每小题 4 分,只有一个
正确).
1.(B).2.(D).3.(B).4.(B).5.(C).6.(A).7.(D).8.(A).9.(D).10.(C).
二、(8 分)
[解] 0])(1ln[lim3
])(1ln[
lim])(1[lim
00
3
1
0
=++⇒=
++
⇒=++ →→→ x
xfx
x
x
xfx
e
x
xfx
xx
x
x
0
0
)0()(lim)0(')0(0)(lim0)(lim
000
=−
−=⇒==⇒=⇒ →→→ x
fxfffxf
x
xf
xxx
由等价无穷小得 4
0
)0(')('lim)0("2
2
)('lim2)(lim3
)(
lim
00200
=−
−=⇒=⇒=⇒=
+
→→→→ x
fxff
x
xf
x
xf
x
x
xfx
xxxx
三、(8 分)
[解] ∫ ∫ ∫ ∫ −−−=−−−=−=1 0 1 0 1 0 1 0 210 )1arcsin()1()(')1()]()1[()1()()( dxxxdxxfxxfxxdxfdxxf
ux =−1令 ∫ ∫∫− −−− −−−=−=−
0
1
0
1 4
30
1
2222
0
1
2 ]
1
2arcsin[
2
1arcsin
2
1arcsin du
u
uuuduuduuu
]1
2
[
2
1 0
1
4
−−+−= t
π
2
1
4
−= π .
四、(8 分)[解]等式 xxxu =)2,( 两端对 x 求导,得 1)2,(2)2,( =+ xxuxxu yx
2)2,( xxxux =∵ . )1(2
1)2,( 2xxxu y −=∴ 这两个等式,对 x 求导得
xxxuxxu xyxx 2)2,(2)2,( =+ , .)2,(2)2,( xxxuxxu yyyx −=+
由已知条件得 yxxyyyxx uuuu == , ,故解得 xuu yyxx 3
4−== , xuxy 3
5= .
五 、( 8 分 ) [ 证 ] 设 有 一 组 数 skkkk ,,,, 21 " 使 得 ∑
=
=++
s
i
ik
1
0)( αββ , 即
∑∑
==
−=+
s
i
ii
s
i
i kkk
11
)()( αβ 两边左乘A,得 ∑∑
==
=−=+
s
i
ii
s
i
i AkAkk
11
0)()( αβ 0≠βA∵ , ∑
=
=+∴
s
i
ikk
1
0
∑ ∑
= =
=+=−∴
s
i
s
i
iii kkk
1 1
0)()( βα ,即∑
=
=
s
i
iik
1
0α , sααα ,,21 "∵ 为 0=AX 的基础解系
0021 =⇒====∴ kkkk s" 。故 sαβαββ ++ ,,, 1 " 线性无关。
六、(10 分)[解]由条件知 A 的特征值为 1,1,2 −− ,则 2|| =A , *A∵ 的特征值为 λ
|| A ,
∴A*的特征值为 2,2,1 −− ,由已知α 是 A*关于 1=λ 的特征向量,也就是α 是 A 关于 2=λ
的特征向量,设 A 关于 1−=λ 的特征向量为 Txxx ),,( 311=β , A∵ 是实对称阵,α 与 X 要正交,
0321 =−+∴ xxx 解 出 TT )1,0,1(,)0,1,1( 21 =−= ββ . 令
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−==
1 0 1
0 1 1
1 1 1
),,( 21 ββαP , 则
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⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=−
1
1
2
1APP ,
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=∧= −
1 0 1
0 1 1
1 1 1
1PPA
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
0 1 1
1 0 1
1 1 0
2 1 1
1 2 1
1 1 1
3
1
1
1
2
故
323121 222 xxxxxxAXX
T −−=
七、(8 分)[解]以 L 为边界任作两个光滑曲面 21, SS ,它们的法向量指向同一例, ∫∫∫∫=∴
21 SS
,
记 *S 为 1S 与 2S 所围成的闭曲面,取外侧,所围立体为Ω ,则 0
21*
=+= ∫∫∫∫∫∫
−SSS
,由高斯
公式得 0)( =∂
∂+∂
∂+∂
∂∫∫∫
Ω
dV
z
R
y
Q
x
P ,由 Ω 的任意性得 )(')1()(20 2 xxxx
z
R
y
Q
x
P ϕϕ −+−⇒=∂
∂+∂
∂+∂
∂
04)(4 =++ xxxϕ , 即 04)(2)(')1( 2 =++− xxxxx ϕϕ 解线性非齐次方程得 2)( 2 −+−= ccxxϕ .
八 、( 10 分 ) [ 解 ] 设 点 Q 为 ),,( 000 zyx , 则 球 面 的 切 平 面 方 程 为
0))(1()()( 000000 =−++−+− zzzyyyxxx 垂 线 方 程 为
tzztyytxx
z
z
y
y
x
x =+==⇒+== 1,,1 000000
代 入 4)1( 202020 =+++ zyx 及 切 平 面 方 程 得
2
222 4
t
zyx =++ , )( 222222 zyxtzzyx ++=+++ ,即 )(4)( 2222222 zyxzzyx ++=+++ (P 点轨
迹).化为球坐标方程得 ϕρ cos2 −= .
∫∫∫∫ −−== − πϕππ ϕϕπρρϕϕθ 0 3cos2 0 2 0 2 0 )cos2()cos2(32sin ddddV 340π= .
九、(10 分)[证](1)令 ∫ ∫ −+= x x dttfdttfxF 0 0 )()()( , ),0( ax ∈ ,由中值定理得
)1,0(),0)((')0()( ∈−=− θθ xxFFxF 0)0( =F∵ , ∫ ∫ − −−=+∴ x x xfxfxdttfdttf 0 0 )]()([)()( θθ .
( 2)由上式变形得 =
+∫ ∫ −
2
0
0
2
)()(
x
dttfdttf
x x
θθ
θθ
x
xfxf
2
)()( −− ,两边取极限, +→ 0x ,
)0('
2
1
4
)()(lim
0
f
x
xfxf
x
=−−= +→左 , θ+→= 0lim)0(' xf右 , 0)0(' ≠f∵ , 2
1lim
0
=∴ +→ θx .
十、(10 分)[证]由已知条件 ∫ ∫ ∫ − ====1 0 2 1 1 0)()()( nn duuduuduu ϕϕϕ " ,令 ∫= x dttxF 0 )()( ϕ
则 )(xF 为周期为 1 的函数,且 0)()0(),()(' === nFFnxnxF ϕ ,
因此 ∫∫∫ −=== 1 0 101 0 1 0 )()('1)()(1)()(1)(')( dxnxFxfnxFxfnnxdFxfndxnxFxfan
∫−−= 1 0 )('1)0(0(1)1()1(1 xfnFfnFfn dxnxF )( = dxnxFxfn )()('1− , )(xF∵ 连续、周期,
)(xF∴ 有界, 01 >∃∴ M ,使 ),( +∞−∞∈∀x ,有 MxF ≤|)(| ,即 MnxF ≤|)(| ,
又 )(' xf∵ 在 ]1,0[ 连续, 02 >∃∴ M ,使 )1,0(∈∀x ,有 2|)('| Mxf ≤ ,
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故 ,1|)()('|1|| 21MMndxnxFxfnan ≤≤
2
2
2
12
2 1 MM
n
an ≤ ,由正项级数比较法知∑∞
=1
2
n
na 收敛.
2003 高等数学竞赛试题
一、选择题(40 分)
1. 设 nnn yzx ≤≤ ,且 0)(lim =−∞→ nnn xy ,则 nn z∞→lim ( )
(A) 存在且等于零; (B) 存在但不一定等于零;
(C) 不一定存在; (D) 一定不存在.
2. 设 )(xf 是连续函数, )()( xfxF 是 的原函数,则( )
(A) 当 )(xf 为奇函数时, )(xF 必为偶函数;
(B) 当 )(xf 为偶函数时, )(xF 必为奇函数;
(C) 当 )(xf 为周期函数时, )(xF 必为周期函数;
(D) 当 )(xf 为单调增函数时, )(xF 必为单调增函数.
3. 设 0>a , )(xf 在 ),( aa− 内恒有 2|)(|0)(" xxfxf ≤> 且 ,记 ∫−= aa dxxfI )( ,则有( )
(A) 0=I ; (B) 0>I ; (C) 0
,则齐次线性方程组 0)( =XAB ( )
(A) 无解; (B) 只有零解; (C) 有非零解; (D) 可能有解,也可能无
解.
10. 设 ),,2,1(),,( nizyxM iiii "= 是空间 )4( ≥nn 个相异的点,记
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
1
1
1
222
111
nnn zyx
zyx
zyx
A #### ,则
nMMM ,,, 21 " 共面的充分必要条件是( )
(A) 秩(A)=1; (B) 秩(A)=2; (C) 秩(A)=3; (D) 秩(A)=2 或秩(A)=3.
二、(8 分)设 )(
1
lim)( 2
212
Nn
x
bxaxxxf n
n
n
∈+
++=
−
∞→ ,试确定 a 、b 的值,使 与)(lim1 xfx→ )(lim1 xfx −→
都存在.
三、(8 分)设 )()( xfxF 是 的一个原函数,且 1)0( =F xxfxF 2cos)()(, = ,求 dxxf∫ π0 |)(| .
四、(10 分)设 }0,0|),,{( 2223 >≤≤−−−∈=Ω azyxaRzyx ,S 为Ω 的边界曲面外侧,计
算
∫∫ +++ ++= S zyx
dzdxyaxdydzaxI
1
)(2
222
五、(10 分)已知向量组 mααα ,,, 21 " 线性无关,向量 sβββ ,,, 21 " 都可用 mααα ,,, 21 " 表出,
即
1
( 1,2, , )
m
i ij j
j
c i sβ α
=
= =∑ "
求证: sβββ ,,, 21 " 线性相关的充分必要条件是矩阵 msijcC ×= )( 的秩 sCR <)( .
六、(10 分)设 n 阶实对称矩阵的秩为 r,且满足 AA =2 (称 A 为幂等矩阵),求:
(1)二次型 AXX T 的标准形;
(2)行列式 || 2 nAAAE ++++ " 的值,其中 E 为单位矩阵.
七、(10 分)已知 10 =x , 1 3
0
1
4
x
x
= + , 4
1
3
1
2 += xx ,…, 4
1
31 +=+ nn x
x ,….
求证:(1)数列 }{ nx 收敛;(2) }{ nx 的极限值 a 是方程 0144 =−+ xx 的唯一正根.
八、(12 分)设 ),( yxf 在单位圆上有连续的偏导数,且在边界上取值为零,求证:
2 20
lim 2 (0,0)
D
f fx y
x y dxdy f
x yε
π→
∂ ∂+∂ ∂ = −+∫∫ , 其中 D 为圆环域: 1222 ≤+≤ yxε
九、(12 分)如图所示,有一圆锥形的塔,底半径为 R,高为 )( Rhh > ,现沿塔身建一登上
塔顶的楼梯,要求楼梯曲线在每一点的切线与过该点垂直于 xoy平面的直线的夹角为
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4
π ,楼梯入口在点 ( ,0,0 )R , 试求楼梯曲线的方程.
2003 高等数学竞赛试题参考解筨
一、选择题(40 分)
1.C ; 2. A ; 3. B ; 4. B ; 5. D ; 6. A ; 7. D ; 8. D; 9. C; 10. D ;
二、(8 分)解:当 | | 1x < 时, 2 2 1lim lim 0n n
n n
x x −→∞ →∞= = ,故
2( )f x ax bx= + ;
当 | | 1x > 时, 1( )f x
x
=
1 1
2
1 1
1 , 1, lim ( ) 1, lim ( ) , 1
( ) , 1 1,
1 , 1, lim ( ) , lim ( ) 1, 1
x x
x x
x f x f x a b a b
x
f x ax bx x
x f x a b f x a b
x
− +
− +
→− →−
→ →
⎧ < − = − = − − =⎪⎪⎪= + − < <⎨⎪⎪ > = + = + =⎪⎩
0a = , 1b = 。
三、(8 分)解: ( ) ( )F x f x′ = , ( ) ( ) cos 2F x F x x′ = , ( ) ( ) cos 2F x F x dx xdx′ =∫ ∫
2 ( ) sin 2F x x C= + ,由 (0) 1F = 知 1C = , ( ) 1 sin 2 | cos sin |F x x x x= + = + ,
2 2| cos 2 | | cos sin || ( ) | | cos sin |
| ( ) | | cos sin |
x x xf x x x
F x x x
−= = = −+
4
0 0
4
| ( ) | (cos sin ) (sin cos ) ( 2 1) (1 2) 2 2.f x dx x x dx x x dx
ππ π
π= − + − = − + + =∫ ∫ ∫
四、(10 分)解: 2 2 21 :S z a x y= − − − (下侧),
2 2 2
2 : 0
x y a
S
z
⎧ + ≤⎨ =⎩
(上侧),∵
2
0
S
=∫∫ ,
∴
1 2 1 1 1 2 2
2 2
1 12( )
1 1S S S S S S S S
axdydz x a dzdx
a a +
⎛ ⎞= + = = + + = −⎜ ⎟⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫w w
[ ]
1 2
2 2
1 12( ) 2( )
1 1S S
axdydz x a ydzdx a x a dV
a a+ Ω
= + + = + ++ +∫∫ ∫∫∫w
4
3
2 2 2 2
1 1 3 1 4 2(3 2 ) 3
2 31 1 1 1
a aa x dV adV a
a a a a
ππ
Ω Ω
= + = = ⋅ ⋅ =+ + + +∫∫∫ ∫∫∫
五、(10 分) 解:( ⇒ )设 1 2, , , sβ β β" 线性相关,则 ∃ 不全为 0 的 1 2, , , sk k k" 使
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1 1 2 2 0s sk k kβ β β+ + + =" ,即
1
0
s
i i
i
k β
=
=∑ ,
1 1 1 1 1
0
s s m m s
i i i ij j i ij j
i i j j i
k k C k Cβ α α
= = = = =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∵ 1 2, , , mα α α" 线性无关,∴
1
0 ( 1,2, , )
s
i ij
i
k C j m
=
= =∑ " ,即
1 2, , , sk k k" 是齐次线性方程组
1
0
s
ij i
i
C y
=
=∑ 的非零解,故 ( )R C s< 。
(⇐)设 ( )R C s< ,则
1
0
s
ij i
i
C y
=
=∑ 有非零解,即∃不全为 0 的 1 2, , , sk k k" 使
1
0
s
i ij
i
k C
=
=∑
成
立,从而
1 1 1 1 1
0
s s m m s
i i i ij j i ij j
i i j j i
k k C k Cβ α α
= = = = =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ,故 1 2, , , sβ β β" 线性相关。
六、(10分)解:∵A为实对称阵,∴ ∃正交阵P,使 1 1 2( , , , )nP AP diag λ λ λ− = = Λ" , 1A P P−= Λ ,
1, , nλ λ" 为 A 的特征值。
(1)设λ 是 A 的任一特征值,α 为对应特征向量,则 Aα λα= , 2 2A A Aα α λ α λ α= = = ,
2 (1 ) 0λα λ α λ λ α− = − = , 0λ = 或 1λ = ,即实对称幂等矩阵的特征值只取 0 或 1。
由 ( ) ( )r A r r= Λ = ,知 1 2, , , nλ λ λ" 中有 r 个 1,n r− 个 0,适当排列 P 中列向量,可使
0
0 0
rE⎡ ⎤Λ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ,其中 rE 为 r 阶单位矩阵,故二次型的标准形为
2 2 2
1 2 ry y y+ + +" 。
(2)由 2A A= 得 2 2 ( 2)k kA A A A k−= = = ≥" ,故
2 1| | | | | ( ) | | | (1 )n rE A A A E nA E P n P E n n−+ + + + = + = + Λ = + Λ = +"
七、(10 分) 解一:(1)∵ 0 1nx< < ,
3 3
1
1 3 3 3 3
1 1
1 1
4 4 ( 4)( 4)
n n
n n
n n n n
x x
x x
x x x x
−
+
− −
−− = − =+ + + +
2 2
1 1 1
24
n n n n n nx x x x x x− − −− + +< 13
16
n nx x −−<
2
1 2 1 0
3 3
16 16
n
n nx x x x− −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞< − < < −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠"
3 1 4 31
16 5 5 16
n n⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ; 又∵ 0
3
16
n
n
∞
=
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∑ 收敛,∴ 10 n nn x x
∞
+
=
−∑ 收敛,
∴ 1
0
( )n n
n
x x
∞
+
=
−∑ 收敛,又因 1 0n nS x x+= − ,故{ }nx 收敛。
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9
(2)令 lim nn x a→∞ = ,∵ 0 1nx< < ,∵ 0a ≥ ,且 3
1
4
a
a
= + ,
4 4 1 0a a+ − = ,即 a 是
4 4 1 0x x+ − = 的根,令 4( ) 4 1f x x x= + − , (0, )x ∈ +∞ , 3( ) 4 4 0f x x′ = + > , (0) 1f = − ,
lim ( )
x
f x→+∞ = +∞ ,故 ( ) 0f x = 根唯一。
解二:由已知 0 1x = , 1 3
0
1 0.2
4
x
x
= =+ , 2 31
1 0.2495
4
x
x
= =+ …, 3 32
1 0.2490
4
x
x
= + …,
由此可见, 0 2x x> , 1 3x x< (用归纳法证明偶数项单调减少,奇数项单调增加)。
设 2 2 2n nx x− ≥ , 2 1 2 1n nx x− +≤ 。
2 2 23 3
2 1 2 1
1 1
4 4n nn n
x x
x x +− +
= ≥ =+ + , 2 1 2 33 32 2 2
1 1
4 4n nn n
x x
x x+ ++
= ≤ =+ +
由 0 1nx< ≤ 知{ }2nx 、{ }2 1nx + 收敛,令 2lim nn x a→∞ = , 2 1lim nn x b+→∞ = ;
由 20 1nx< ≤ , 2 10 1nx +< ≤ ,知 0 1a≤ ≤ , 0 1b≤ ≤ 。
对 2 3
2 1
1
4n n
x
x −
= + 两边取极限得 3
1
4
a
b
= + ,
3 4 1ab a+ = ①
对 2 1 3
2
1
4n n
x
x+
= + 两边取极限得 3
1
4
b
a
= + ,
3 4 1a b b+ = ②
由①—②得 2 2( ) 4( ) 0ab b a a b− + − = ,解得 0a b− =
由 a b= 知{ }nx 收敛,且为方程 4 4 1 0x x+ − = 的根(再证唯一性)。
八、(12 分)
解一:令 cosx r θ= , cosy r θ= , cos sinf f x f y f f
r x r y r x y
θ θ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ,
f f fr x y
r x y
∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂ 。
由已知当 1r = 时, (cos ,sin ) 0f θ θ = ,
2 2 2
x y
D D
frxf yf rI dxdy rdrd
x y r
θ
∂
+ ∂= =+∫∫ ∫∫
2 1 2 1
0 0
( cos , sin ) |fd dr f r r d
r
π π
εεθ θ θ θ
∂= =∂∫ ∫ ∫
2 2
0 0
(cos ,sin ) ( cos , sin )f d f d
π πθ θ θ ε θ ε θ θ= −∫ ∫
* *0 2 ( cos , sin )fπ ε θ ε θ= − , * [0,2 ]θ π∈ ,故
0
lim 2 (0,0)I fε π→ = −
解二:令 2 2( , )yf x yP x y= − + , 2 2
( , )xf x yQ
x y
= + ,∵ 2 2
f fx y
Q P x y
x y x y
∂ ∂+∂ ∂ ∂ ∂− =∂ ∂ +
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10
∴ 2 2
D
f fx y
x y dxdy
x y
∂ ∂+∂ ∂
+∫∫ ,令 1L 为 2 2 1x y+ = (逆时针), 2L 为 2 2 2x y ε+ = (顺时针)
1 2L L
Pdx Qdy Pdx Qdy= + + +∫ ∫v v 2 : cos , sinL x yε θ ε θ= =
1 2
2 2 2 2
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
L L
yf x y dx xf x y dy yf x y dx xf x y dy
x y x y
− + − += ++ +∫ ∫v v
1 2
2
1( , ) ( , ) ( , ) ( , )
L L
yf x y dx xf x y dy yf x y dx xf x y dyε= − + + − +∫ ∫v v
[ ]02 210 ( sin )( sin ) cos cos ( cos , sin )f dπ ε θ ε θ ε θ ε θ ε θ ε θ θε= + − − + ⋅∫
2
0
( cos , sin )f d
π ε θ ε θ θ= −∫ * *02 lim ( cos , sin )fεπ ε θ ε θ→= − , * [0, 2 ]θ π∈
* *
2 20 0
lim 2 lim ( cos , sin ) 2 (0,0)
D
f fx y
x y dxdy f f
x yε ε
π ε θ ε θ π→ →
∂ ∂+∂ ∂ = − = −+∫∫ 。
九、(12 分)解:设曲线上任一点为 ( , , )x y z ,∵ h z r
h R
− = ,
∴曲线参数方程为(*)
( )cos
( )sin (0 2 )
( )
x r
y r
hz h r
R
θ θ
θ θ θ π
θ
⎧⎪ =⎪ = ≤ ≤⎨⎪⎪ = −⎩
,
在点 ( , , )x y z 的切向量为 { }( ), ( ), ( )v x y zθ θ θ′ ′ ′=G ,垂线方向向量为 (0,0,1)k =G 。
( ) ( )cos ( )sin
( ) ( )sin ( )cos
( ) ( )
x r r
y r r
hz r
R
θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ
θ θ
⎧⎪ ′ ′= −⎪ ′ ′= +⎨⎪⎪ ′ ′= −⎩
,
2 2 2
( )cos
4 | | | | ( ) ( ) ( )
v k z
v k x y z
π θ
θ θ θ
′⋅= =⋅ ′ ′ ′+ +
G G
G G ,
2
2 2 2
2
( )1
2
( ) ( ) ( )
h r
R
hr r r
R
θ
θ θ θ
′−
=
′ ′+ +
,化简得
2 2
dr Rr
d h Rθ = ± − ,由实际问题应 0
dr
dθ < ,
解得 2 21
R
h Rr C e
θ−
−= ,由 0θ = , r R= 得 1C R= ,故 2 2Re
R
h Rr
θ−
−= ,将此式代入参数方
程(*)即得楼梯曲线。
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11
电子科技大学 2004 年高等数学竞赛试题
一、选择题(40 分)
1. 下列命题中正确的命题有几个? ………………………………………………( )
(1)无界变量必为无穷大量; (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量;
(3)无穷大量必为无界变量; (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量.
(A) 1 个; (B) 2 个; (C) 3 个; (D) 4 个.
2. 设 1, 0( )
0, 0
x
f x
x
≠⎧= ⎨ =⎩ ,
1sin , 0
( )
1 , 0
x x
g x x
x
⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩
则 0x = 是间断点的函数是 ………………( )
(A) ( ) ( )f x g x+ ; (B) ( ) ( )f x g x− ; (C) { }max ( ), ( )f x g x ; (D) { }min ( ), ( )f x g x ..
3. 设ξ 为 ( ) arctanf x x= 在 [ 0, ]b 上应用拉格朗日中值定理的“中值”,则 220lim b b
ξ
→ = ( )
(A) 1; (B) 1
2
; (C) 1
3
; (D) 1
4
.
4. 设 ( ) , ( )f x g x 连续,当 0→x 时, ( )f x 与 ( )g x 为等价无穷小,令
0
( ) ( )
x
F x f x t dt= −∫ ,
1
0
( ) ( ) G x x g xt dt= ∫ , 则当 0→x 时, ( ) ( )F x G x是 的 …………………………… ( )
(A) 高阶无穷小; (B) 低阶无穷小; (C) 同阶无穷小但非等价无穷小;(D) 等价无穷
小.
5. 设 ),( yxf 在点 )0,0( 的某邻域内连续,且满足 2 20
0
( , ) (0,0)lim 3
1 sin cosxy
f x y f
x x y y→→
− = −+ − −
则 ),( yxf 在点 )0,0( 处 …………………………………………………… ( )
(A) 取极大值; (B) 取极小值; (C) 无极值; (D) 不能确定是否有极值.
6. 设 ( )f x 在 ( , )−∞ +∞ 连 续 , 且 导 函 数 ( )y f x′= 的 图 形 如 图 所 示 , 则 ( )f x
有…………………………… ( )
(A) 1 个极小值点与 2 个极大值点,无拐点;
(B) 2 个极小值点与 1 个极大值点,1 个拐点;
(C) 2 个极小值点与 2 个极大值点, 无拐点;
(D) 2 个极小值点与 2 个极大值点,1 个拐点.
7. 设 f 有连续的一阶导数,则 (1,2)
(0,0)
( )d ( )df x y x f x y y+ + + =∫ …………………… ( )
(A) 1
0
2 ( ) df x x∫ ; (B) 30 ( ) df x x∫ ; (C) (3) (0)f f− ; (D) 0 .
8. 设任意项级数
1
n
n
a
∞
=
∑ 条件收敛,将其中的正项保留负项改为 0 所组成的级数记为
1
n
n
b
∞
=
∑ ,
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12
将 其 中 的 负 项 保 留 正 项 改 为 0 所 组 成 的 级 数 记 为
1
n
n
c
∞
=
∑ , 则
1
n
n
b
∞
=
∑ 与
1
n
n
c
∞
=
∑ ………… …………………………( )
(A) 两者都收敛; (B) 两者都发散; (C)一个收敛一个发散; (D) 以上三种情
况都可能发生.
9. 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A O∗ ≠ ,且非齐次线性方程组 A = βx 有两个不同的解向
量 1 2 , ξ ξ ,则下列命题正确的是 …………………………………………………( )
(A) +1 2ξ ξ 也是 A = βx 的解; (B) A = βx 的通鲜为 1 1 2 2k k= +ξ ξx ( 1 2,k k R∈ );
(C) 满足 0A Eλ− = 的数 λ 必不为零; (D) 1 2ξ − ξ 是 A = 0x 的基础解系.
10. 设
1 1 1 1
1 2 2 2 3 2 4 2
3 3 3 3
, , , ,
a b c d
a b c d
a b c d
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
α α α α 则三个平面
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
:
:
:
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
π
π
π
+ + =
+ + =
+ + =
两两相交成三条平行直线的充要条件是 ……………………………………( )
(A) 秩 1 2 3 1 2 3 4( , , ) 1, ( , , , ) 2r r= =α α α α α α α ; (B) 秩 1 2 3 1 2 3 4( , , ) 2, ( , , , ) 3r r= =α α α α α α α ;
(C) 1 2 3, ,α α α 中任意两个均线性无关,且 4α 不能由 1 2 3, ,α α α 线性表出;
(D) 1 2 3, ,α α α 线性相关,且 4α 不能由 1 2 3, ,α α α 线性表出.
二、(10 分)设 ( )f x 在区间 ( , )−∞ +∞ 连续,
0
1( ) ( ) d ( >0), ( ) ( ) d
2
x a x
x a
F x f t t a G x f t t
a
+
−= =∫ ∫ ,
试解答下列问题:(1)用 ( )G x 表示 ( )F x ;(2)求 ( )F x′ ;(3)求证:
0
lim ( ) ( )
a
F x f x→ == ;
(4)设 ( )f x 在 [ ],x a x a− + 内的最大值和最小值分别是 M m、 ,求证: ( ) ( )F x f x M m− ≤ − .
三、(10 分)求曲线 ln ln 1x y+ = 所围成的平面图形的面积.
四、(10 分)设曲面 S 为曲线 e
0
yz
x
⎧ =⎨ =⎩
(1 2y≤ ≤ ) 绕 z 轴旋转一周所成曲面的下侧,计算曲
面积分 24 d d 2 d d (1 ) d d
S
I zx y z z z x z x y= − + −∫∫
五、(10 分)设 n 阶矩阵 1 2 1=( , , , , )n nA −"α α α α 的前 1n − 个列向量线性相关, 后 1n − 个列向
量线性无关, 1 2 n= + + +"β α α α ; (1)证明线性方程组 A = βx 有无穷多解;(2)求方
程组 A = βx 的通解.
六、(10 分)设 ( 4)n n > 阶矩阵的 4 个不同特征值为 1 2 3 4, , , λ λ λ λ , 其对应的特征向量依次
为 1 2 3 4, , , α α α α ,记 1 2 3 4= + + +β α α α α , 求证: 2 3, , , A A Aβ β β β 线性无关.
七、(10 分)设幂级数
0
n
n
n
a x
∞
=
∑ , 当 1n > 时 2 ( 1) n na n n a− = − ,且 0 14, 1a a= = ;
(1)求幂级数
0
n
n
n
a x
∞
=
∑ 的和函数 ( )S x ;(2)求和函数 ( )S x 的极值..
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13
八、(10 分)设函数 ),( yxf 可微, ( , ), 0, 1
2
f f x y f
x
π∂ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ , 且满足 ( )
coty
1 ( 0, )
lim e
0,
n
n
f y
n
f y→∞
⎛ ⎞+⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
求
( , )f x y .
九、(10 分)如图所示,设河宽为 a ,一条船从岸边一点O 出发驶向对岸,船头总是指向对
岸与点O 相对的一点 B 。假设在静水中船速为常数 1V ,河流中水的流速为常数 2V ,试求
船过河所走的路线(曲线方程);并讨论在什么条件下(1)船能到达对岸;(2)船能到达点
B .
电子科技大学 2004 年高等数学竞赛试题参考解答
一、选择题(40 分)
1. ( A ) ; 2.( B ); 3.( C ); 4.( D); 5.( A); 6.( D)7.( B ); 8.( B) 9( D); 10.
( C )
二、(10分)
解(1)
0 0
1 1 1( ) ( ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( )]
2 2 2
x a x a x a
x a
F x f t dt f t dt f t dt G x a G x a
a a a
+ + −
−= = − = + − −∫ ∫ ∫
(2) 1 1( ) [ '( ) '( )] [ ( ) ( )]
2 2
F x G x a G x a f x a f x a
a a
′ = + − − = + − −
(3)
0 0 0
( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]lim ( ) lim lim
2 2a a a
G x a G x a G x a G x G x G x aF x
a a→ → →
+ − − + − + − −= =
1 [ '( ) '( )] '( ) ( )
2
G x G x G x f x= + = =
(4) 1 1| ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | [( ) ( )] ( ) ( ) |
2 2
x a
x a
F x f x f t dt f x x a x a f f x
a a
ξ+−− = − = + − − −∫
| ( ) ( ) | ( )f f x M m x a x aξ ξ= − ≤ − − ≤ ≤ +
三、(10分)
[解 1]去掉绝对值曲线为:
, 1 1,
1 , 1 0 1
, 0 1 1
1 , 0 1 0 1
xy e x y
y x x y
e
y ex x y
xy x y
e
= ≥ ≥⎧⎪⎪ = ≥ < <⎪⎨ = < < ≥⎪⎪ = < < < <⎪⎩
且
且
且
且
1
1 1
1 1( ) ( )
e
e
e xA ex dx dx e
ex x e e
= − + − = −∫ ∫
[解 2]令 ln , ln , , , :| | | | 1,u vx u y v x e y e D u v′= = = = + ≤则 0
0
u
u v u v
v
u v
x x e
J e e
y y e
= = = ⋅ .
| |
D D
dxdy J dudv
′
= =∫∫ ∫∫ u v
D
e e d