线面垂直

写好作业 成功每一天 线面垂直 1. 线面垂直判定定理和性质定理 2. 判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面. 判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面. 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 3三垂线定理及逆定理： 【例1】 如图所示，已知点S是平面ABC外一点， ∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在直线SB和SC上的 射影分别为点E、F，求证：EF⊥SC. 【规范解答】 EMBED Equation.3 EF为AF在平面SBC上的射影. 又∵SC⊥AF，∴SC⊥EF. 【例2】 已知：M∩N=AB,PQ⊥M于Q，PO⊥N于O，OR⊥M于R，求证：QR⊥AB. 【规范解答】 证法一 如图所示， ∵ ∴PO⊥AB, 又PQ⊥M,∴PQ⊥AB, ∴AB⊥平面PQO, 又OR⊥M,∴PQ∥OR, ∴PQ与OR确定平面PR（即平面RQP）. ∵QR 面PR，∴QR⊥AB. 证法二 ∵PQ⊥M,OR⊥M, ∴RQ是直线PO在平面M上的射影.∵PO⊥N,AB N,∴PO⊥AB,AB M, ∴QR⊥AB(三垂线定理的逆定理). 【解后归纳】 处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”. 所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上. 所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线. 【例3】 已知如图(1)所示，矩形纸片AA′A′1A1,B、C、B1、C1 分别为AA′,A1A′的三等分点，将矩形纸片沿BB1,CC1折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线AB1⊥BC1，求证:A1C⊥AB1. 【解前点津】 题设主要条件是AB1⊥BC，而结论是AB1⊥A1C，题设，题断有对答性，可在ABB1A1上作文章，只要取A1B1中点D1，就把异面直线AB1与BC1垂直关系转换到ABB1A1同一平面内AB1与BD1垂直关系，这里要感谢三垂线逆定理.自然想到题断AB1与A1C垂直用同法（对称原理）转换到同一平面，取AB中点D即可，只要证得A1D垂直于AB1，事实上DBD1A1，为平行四边形，解题路子清楚了. 【规范解答】 证法一 作C1D1⊥A1B1于D1， ∵A1C1=B1C1,∴D1为A1B1中点. ∵AA1⊥平面A1B1C1，BD1为BC1在平面ABB1A1内的射影， 由AB1⊥BC1得AB1⊥BD1,取AB中点D， 同理可证A1D为A1C在平面ABB1A1内的射影， ∵A1D1BD,∴A1D1BD为平行四边形， 由AB1⊥BD1,得AB1⊥A1D,∴AB1⊥A1C. 证法二 作AD∥BC,BD∥AC交于D， 作A1D1∥B1C1,B1D1∥A1C1交于D1. 连BD1，DD1(如图(2))， ∵A1C1B1D1为菱形， ∴A1B1⊥D1C1, 又AA1⊥平面A1D1B1C1, ∴AA1⊥D1C1, 又D1C1⊥平面ABB1A1，∴D1C1⊥AB1， 又AB1⊥BC1，∴AB1⊥平面BC1D1，∴AB1⊥BD1, 又BD1∥CA1,∴AB1⊥A1C. 【解后归纳】 证线线垂直主要途径是： （1）三垂线正逆定理，（2）线面，线线垂直互相转化. 利用三垂线正逆定理完成线线归面工作，在平面内完成作解任务. 证线线垂直，线面垂直，常常利用线面垂直，线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用. ●对应训练 分阶提升 1.设M示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题： ① ② ③ b∥M ④ b⊥M. 其中正确的命题是 ( ) A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 2.下列命题中正确的是 ( ) A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面 B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面 C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线 D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面 3.设a、b是异面直线，下列命题正确的是 ( ) A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交 B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直 C.过a一定可以作一个平面与b垂直 D.过a一定可以作一个平面与b平行 4.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,m α和m⊥γ,那么必有 ( ) A.α⊥γ且l⊥m B.α⊥γ且m∥β C.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ 5有三个命题： ①垂直于同一个平面的两条直线平行； ②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直； ③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直 其中正确命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 6.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题 1 若m⊥α，则m∥l； ②若m⊥l，则m∥α； ③若m∥α，则m⊥l； ④若m∥l，则m⊥α， 其中真命题的序号是 ( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 7.已知直线l⊥平面α，直线m平面β，给出下列四个命题： ①若α∥β，则l⊥m； ②若α⊥β，则l∥m ③若l∥m，则α⊥β ④若l⊥m，则α∥β. 其中正确的命题是 ( ) A.③与④ B.①与③ C.②与④ D.①与② 8.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高. (1)求证:VC⊥AB; 9.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝4，AD＝2，侧棱PB＝ ，PD＝ . (1)求证：BD⊥平面PAD. . 10.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P. 求证：NP⊥平面ABCD. . 第4课 线面垂直习题解答 1.A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行. 2.C 由线面垂直的性质定理可知. 3.A 折后DP⊥PE,DP⊥PF，PE⊥PF. 4.D 过a上任一点作直线b′∥b,则a，b′确定的平面与直线b平行. 5.A依题意,m⊥γ且m α,则必有α⊥γ,又因为l=β∩γ则有l γ,而m⊥γ则l⊥m,故选A. 6.D过P作PD⊥AB于D，连CD，则CD⊥AB，AB= ， ， ∴PD= . 7.D 由定理及性质知三个命题均正确. 8.A 显然α与β不平行. 9.D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直. 10.B ∵α∥β，l⊥α，∴l⊥m 11. cm2 设正三角A′B′C′的边长为a. ∴AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB２=a2+4， 又AC2+BC2=AB2，∴a2=2． S△A′B′C′= cm2． 12.在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中当底面四边形ABCD满足条件AC⊥BD(或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD是正方形，菱形等)时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形). 点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活. 13.VC⊥VA，VC⊥AB. 由VC⊥VA，VC⊥AB知VC⊥平面VAB. 14.(1)证明:∵H为△VBC的垂心, ∴VC⊥BE,又AH⊥平面VBC, ∴BE为斜线AB在平面VBC上的射影,∴AB⊥VC. (2)解:由(1)知VC⊥AB,VC⊥BE, ∴VC⊥平面ABE,在平面ABE上,作ED⊥AB,又AB⊥VC, ∴AB⊥面DEC. ∴AB⊥CD,∴∠EDC为二面角E—AB—C的平面角， ∴∠EDC=30°,∵AB⊥平面VCD, ∴VC在底面ABC上的射影为CD. ∴∠VCD为VC与底面ABC所成角,又VC⊥AB,VC⊥BE, ∴VC⊥面ABE,∴VC⊥DE, ∴∠CED=90°,故∠ECD=60°, ∴VC与面ABC所成角为60°. 15.证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连结AE，EN， 则有EN∥CD∥AB∥AM，EN＝ CD＝ AB＝AM，故AMNE为平行四边形. ∴MN∥AE. ∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD. (2)∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥AB. 又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD. ∴AB⊥AE，即AB⊥MN. 又CD∥AB，∴MN⊥CD. (3)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD. 又∠PDA＝45°，E为PD的中点. ∴AE⊥PD，即MN⊥PD.又MN⊥CD， ∴MN⊥平面PCD. 16.如图(1)证：由已知AB＝4，AD＝２，∠BAD＝60°， 故BD2＝AD2+AB2-2AD·ABcos60°＝4+16-2×2×4× ＝12. 又AB2＝AD2+BD2， ∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°， 即AD⊥BD.在△PDB中，PD＝ ，PB＝ ，BD＝ ， ∴PB2＝PD2+BD2，故得PD⊥BD.又PD∩AD＝D， ∴BD⊥平面PAD. (2)由BD⊥平面PAD，BD平面ABCD. ∴平面PAD⊥平面ABCD.作PE⊥AD于E， 又PE平面PAD， ∴PE⊥平面ABCD，∴∠PDE是PD与底面ABCD所成的角. ∴∠PDE＝60°，∴PE＝PDsin60°＝ . 作EF⊥BC于F，连PF，则PF⊥BF， ∴∠PFE是二面角P—BC—A的平面角. 又EF＝BD＝ ，在Rt△PEF中， tan∠PFE＝ . 故二面角P—BC—A的大小为arctan . 17.连结AC1，∵ . ∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1， ∴∠AC1C=∠MA1C1， ∴∠A1MC1+∠AC1C=∠A1MC1+∠MA1C1=90°. ∴A1M⊥AC1,又ABC-A1B1C1为直三棱柱， ∴CC1⊥B1C1，又B1C1⊥A1C1，∴B1C1⊥平面AC1M. 由三垂线定理知AB1⊥A1M. 点评：要证AB1⊥A1M，因B1C1⊥平面AC1，由三垂线定理可转化成证AC1⊥A1M，而AC1⊥A1M一定会成立． 18.(1)证明：在正方形ABCD中， ∵△MPD∽△CPB，且MD＝ BC， ∴DP∶PB＝MD∶BC＝1∶2. 又已知D′N∶NB＝1∶2， 由平行截割定理的逆定理得NP∥DD′，又DD′⊥平面ABCD， ∴NP⊥平面ABCD. (2)∵NP∥DD′∥CC′， ∴NP、CC′在同一平面内，CC′为平面NPC与平面CC′D′D所成二面角的棱. 又由CC′⊥平面ABCD，得CC′⊥CD，CC′⊥CM， ∴∠MCD为该二面角的平面角. 在Rt△MCD中可知 ∠MCD＝arctan ，即为所求二面角的大小. (3)由已知棱长为a可得，等腰△MBC面积S1＝ ，等腰△MBD′面积S2＝ ，设所求距离为h，即为三棱锥C—D′MB的高. ∵三棱锥D′—BCM体积为 ， ∴ � 例3题图解（2） � 例3题图解(1) � 例2题图 � 例1题图 � 第16题图解 � 第15题图解 � 第18题图 � � 第14题图 2010补习班备考资料lzq0530@126.com _1199020084.unknown _1199021698.unknown _1199022409.unknown _1199022794.unknown _1199023164.unknown _1199023718.unknown _1199023813.unknown _1199023255.unknown _1199022987.unknown _1199022518.unknown _1199022150.unknown _1199022301.unknown _1199021742.unknown _1199021154.unknown _1199021435.unknown _1199021662.unknown _1199021203.unknown _1199020503.unknown _1199020661.unknown _1199020290.unknown _1199016955.unknown _1199018865.unknown _1199019903.unknown _1199019972.unknown _1199019857.unknown _1199017460.unknown _1199018829.unknown _1199017038.unknown _1199014468.unknown _1199016733.unknown _1199016846.unknown _1199014601.unknown _1199013450.unknown _1199013675.unknown _1199013231.unknown