函数的奇偶性

1、奇、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称． 2、奇、偶函数的性质 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2）在公共定义域内 ①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积都是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数． 注意：（1）判断函数奇偶性的前提是函数的定义域是关于原点对称的。 （2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于纵轴对称。 （3）一般情况下，我们通过函数奇偶性的定义或者函数的图象来判断函数的奇偶性。 （4）既是奇函数又是偶函数的函数有无数个，最典型的是函数 （定义域关于原点对称） 例题与解析： 例题1：下列判断正确的是（ ） A．函数 是奇函数 B．函数 是偶函数 C．函数 是非奇非偶函数 D．函数 既是奇函数又是偶函数 解析：选项A中的 而 有意义，非关于原点对称，选项B中的 而 有意义，非关于原点对称，选项D中的函数仅为偶函数； 例题2：已知函数 为偶函数，则 的值是（ ） A. B. C. D. 解析：奇次项系数为 例题3：若偶函数 在 上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 解析： 例题4：已知函数 的定义域为 ，且同时满足下列条件：求 的取值范围。 （1） 是奇函数； （2） 在定义域上单调递减； （3） 解析： ，则 , EMBED Equation.DSMT4 例题5：已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1) C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1) D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0) 例题6：设f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则x·f(x)<0的解集是(　　) A．{x|－33} B．{x|x<－3，或03} D．{x|－3 B． < C． EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 D． EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 3、已知函数 ， ，则 的奇偶性依次为（ ） A．偶函数，奇函数 B．奇函数，偶函数 C．偶函数，偶函数 D．奇函数，奇函数 4、设函数 与 的定义域是 且 , 是偶函数, 是奇函数,且 ,求 和 的解析式. 5、若函数 在 上是奇函数,则 的解析式为________. 6、已知f(x)是偶函数，当x<0时，f(x)＝x2＋x，则当x>0时，f(x)＝________. 7、已知函数 的定义域为 ，且对任意 ，都有 ，且当 时， 恒成立，证明：（1）函数 是 上的减函数； （2）函数 是奇函数。 _1234567921.unknown _1234567937.unknown _1234567945.unknown _1234567953.unknown _1234567957.unknown _1234567961.unknown _1234567963.unknown _1234567965.unknown _1234567966.unknown _1234567964.unknown _1234567962.unknown _1234567959.unknown _1234567960.unknown _1234567958.unknown _1234567955.unknown _1234567956.unknown _1234567954.unknown _1234567949.unknown _1234567951.unknown _1234567952.unknown _1234567950.unknown _1234567947.unknown _1234567948.unknown _1234567946.unknown _1234567941.unknown _1234567943.unknown _1234567944.unknown _1234567942.unknown _1234567939.unknown _1234567940.unknown _1234567938.unknown _1234567929.unknown _1234567933.unknown _1234567935.unknown _1234567936.unknown _1234567934.unknown _1234567931.unknown _1234567932.unknown _1234567930.unknown _1234567925.unknown _1234567927.unknown _1234567928.unknown _1234567926.unknown _1234567923.unknown _1234567924.unknown _1234567922.unknown _1234567905.unknown _1234567913.unknown _1234567917.unknown _1234567919.unknown _1234567920.unknown _1234567918.unknown _1234567915.unknown _1234567916.unknown _1234567914.unknown _1234567909.unknown _1234567911.unknown _1234567912.unknown _1234567910.unknown _1234567907.unknown _1234567908.unknown _1234567906.unknown _1234567897.unknown _1234567901.unknown _1234567903.unknown _1234567904.unknown _1234567902.unknown _1234567899.unknown _1234567900.unknown _1234567898.unknown _1234567893.unknown _1234567895.unknown _1234567896.unknown _1234567894.unknown _1234567891.unknown _1234567892.unknown _1234567890.unknown