弧度

「為什麼要將度換成弧度？」度度量（degree）轉換成弧度量（radian）對一般高 中生而言較不易接受， 即使學生已經能習慣性地按「 弧度」單位換算， 但是，對於弧度的概念可能是模糊不清的，尤其 本身是個無理數卻又能示角 的大小，學生在直覺上不易理解。其實，弧度量是一種用弧長來表示角的大小的 ，定義如下： 也就是說，與半徑等長的圓弧所對應的圓心角為 弧度。 如此一來，角的大小可以用實數來表示，從而三角函數視為實數與實數之間的對 應關係，便可在 平面上描繪出三角函數的圖形。 相較於度度量，弧度量的優點是讓數學公式變得簡潔（參見下表度度量與弧度量 的比較），公式中少掉常數倍 。尤其在微積分中，從 逐步推導出的 許多數學理論都是採用弧度量，奠定弧度量無可取代的地位。 所以，「弧度」不僅是另一種角的度量單位，可與「度」單位換算。更重要的是， 它能將數學公式化繁為簡，此一優點在微積分中充分展露無遺。 至於弧度何時成為角的公認度量單位，歷史並不久遠。1714 年，英國數學家羅 傑‧寇茲（Roger Cotes, 1682~1716）用弧度的概念而不是度（degree）來處理相關 問題，他認為弧度作為角的度量單位是很自然的。1748 年，歐拉（Leonhard Euler, 1707~1783）在他的名著《無窮微量分析引論》（Introduction in analysin infinitorum） 中主張用半徑為單位來量弧長，設半徑等於 ， 圓周長是 ，所對的圓心角的正 弦值等於 可記作 。 但是，他們都沒有使用 radian 這個名稱。英文的 radian 一詞第一次出現在印刷品中，是在 1873 年愛爾蘭工程師湯普遜（James Thomson,1822~1892）於伯斯發特的女王學院（Queen’s College in Belfast）所出的 試題中。radian 是由 radius（半徑）與 angle（角）兩字合成。 radian 中文曾譯為「弳」，弳是弧與徑兩字合成。直到 1956 年，在中國科學院出 版的《數學名詞》中，才正式定名為「弧度」。 許多人都曾經試圖為弧度制的存在辯駁，以下就提供各家道理供大家參考。 原因一 公式漂亮 毛爾（Eli Maor）在《毛起來說三角》中提到，弧度制大大簡化原本的弧長及扇 形面積公式，如下，弧度制比角度制少 的因子，確實簡潔不少。 原因二 圖形漂亮 下圖是某個函數 一部分圖形，猜的到 是什麼嗎？ 提示一： 過 ， 。 提示二： 軸的單位是角度。 提示三：若把 軸、 軸的比例改為 ，則圖如下。 是否呼之欲出了呢？沒錯，函數 就是正弦函數，即 ，注意到此 時 的單位為「度」，我們都知道正弦函數的圖形是美麗的波，但是在 的坐 標平面上，以「度」為單位的圖形幾乎看不到正弦的波形；同樣是 的圖形， 若 軸的單位改為弧度，圖形就漂亮多了，如圖三。 原因三 微分漂亮 最後一個理由是筆者最喜歡的理由。觀察每本課本附錄的三角函數表，左起第一 行是角度，第二行是其對應的正弦值，很容易發現隨著角度變大，正弦值幾乎以 線性遞增，即角度每增加 ，正弦值增加 ，更進一步，若將角度單位換成 弧度： （弧度） （弧度） （弧度） 觀察 的三角函數值表，會發現 ，即可體會到一個重要的極限： 所以也有人主張為了有此精簡的極限，我們需要弧度制，若再更仔細推敲，其實 更重要的是，有人此極限後，三角函數才會有漂亮的微分公式： 即 。 參考資料參考資料參考資料參考資料：：：： George B. Thomas, Jr / Ross L. Finney (1996). Calculus and analytic geometry-9th ed. 毛爾著、胡守人譯 (2000).《毛起來說三角》，台北：天下文化。 梁宗巨 (1998).《數學歷史典故》，台北：九章出版社。 http://en.wikipedia.org/wiki/Radian http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2007/12/roger-cotes.html