考研数学辅导1

数学跟踪辅导系列之一 编者按：随着同学们对考研复习的进一步深入，许多同学发现数学复习越来越困难，面对众多的知识点，繁杂的公式往往会不知所措。针对此种情况，海文校刊从四月份开始开设“考研数学复习跟踪辅导系列”，该辅导系列适合于考数（一）和考数（二）的同学，数（二）中不作要求的内容我们会特别指出，望广大考生关注。 （一）函数、极限、连续 Ⅰ. 概念 数列极限，函数极限，左极限，右极限，无穷小量，无穷大量，无穷小量的比较（高阶无穷小，同阶无穷小，低阶无穷小，等价无穷小），函数连续性，间断点。 Ⅱ.重要与公式、技巧 ⅰ.注意几个等价无穷小，在求极限时，往往利用等价无穷小可以使题目“柳暗花明又一村”。但是，在利用等价无穷小代换时，要注意以下两点： ◆加减运算不可以用等价无穷小代换； ◆乘除运算可以用等价无穷小代换来简化运算。例如:求极限 时,分子中的 不能用 来等价代换,而求极限 时,可以用 来代换 ,则有: EMBED Equation.3 ,再用 来代换 ,则原极限= . ◆当x 0时，以下几项与x等价：sinx , tanx , arcsinx , arctgx , ln(1+x) , ex-1; ◆当x 0时，1-cosx与 等价； ◆当x 0时， —1与 等价，例如： —1 与 等价； ⅱ.注意以下几个极限： ◆ ；例如： 这个最常用最典型的公式就是这样推导过来的。 ◆ （n为正整数）； ◆ ; ◆ ; ◆ （a>1, >0）; ◆ (a>1); ◆ ◆ ; ◆ ; ◆ . ⅲ.函数极限的求法:等价无穷小代换;夹逼定理;洛必达法则;利用重要公式: 和 ;变量替换法(即换元法);n项和(或积)( )的极限常转换成积分运算。另外还要注意各种方法的结合使用。 Ⅲ.好题精选 例题1.求极限 ； 解：设 ＝ ，则有： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （ ），因此有： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . 也即： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . 又 ＝ . ＝ . 由夹逼定理有: ＝ . 例题2. 求极限 .（ ， ，• • • ， 均为大于0的数）. 解:设 中最大的为 , 则有 EMBED Equation.3 ( n个 )， 也即 EMBED Equation.3 ，又 ＝ ， ＝ ，所以有 ＝ .即 ＝ { }. 注意:要记住该结论，在很多题中可以套用该结论。例如：求极限 ，根据该结论可直接得出： 时， ， ＝1； 时， ， ＝x； 时， ， ＝ ； 类似的结论有: .(读者可以自己). 例题3.求极限: . 解:( + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ) < < ( + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ) , 又 ( + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ) = = = = . = = = . 由夹逼定理有: = . 注意: n项和 ( )的极限常转换成积分运算,转换为定积分求解的条件是: 1 每一项都可以提出一个 . 2 提出 后每一项都可以用一个通项示. 另外，还要注意： + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 是等比数列求和，但公比为 >1，不能直接计算处该和式的结果。 求n项积( )的极限可利用对数恒等式将n项积转换成n项和的形式。 （二）一元函数微分学 Ⅰ. 概念 导数,导数的几何意义,左导数,右导数,微分,导数的运算法则. Ⅱ.重要定理与公式、技巧 ⅰ.重要公式：基本求导公式（由于篇幅问题，恕不一一详述。） 高阶求导公式：◆ = . ◆ EMBED Equation.3 . ◆ ◆ . ◆ . ◆ . ◆ . 微分中值定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。 ⅲ. ◆复合函数求导数 : 连锁法则 ◆隐函数F(x,y)=0求导数 : 解法1.方程两边对x求导数,y的函数看作x的复合函数,用复合函数的连锁法则求解,各项的导数求完后将 的项移到等式一边,解出 即得导数. 解法2.公式法: F(x,y)=0, = 解法3:利用一阶微分形式不变性.对等式两边求微分,将 , 分别整理到等式得左右两边,求得的 即是所求结果。 ◆参数方程求导数：直接根据参数方程 ， ＝ ◆反函数求导：设函数 在 处可导，且 ，则其反函数 在相应的 处可导，且 ， ＝ . ◆分段函数求导数：在非分界点的导数按一般的方法来解,在分界点的导数用导数的定义来求解: , ,看 与 是否相等。 · 另外，还有幂指函数微分法，即通过对数恒等式处理。通用的解法是由 ,可变形为: , 则有: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Ⅲ.好题精选 例题1.设 ，求 . 解：此题是三角有理式高阶导数的求解问题。一般的解法时把三角有理式通过积化和差转换为多项三角式的和。 EMBED Equation.3 ＝ == = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 有： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . 例题2.设 连续，且 ，令 ，求 。 解：这是一道求分段函数导数的题目。 当 时， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ＋ . 当 时， ， ＝ . 当 时， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (一定要从定义入手) ＝ EMBED Equation.3 ＝ EMBED Equation.3 ＝1. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =1; 由 EMBED Equation.3 知： EMBED Equation.3 ； _1080322934.unknown _1080928809.unknown _1080972723.unknown _1080972971.unknown _1080973125.unknown _1080975001.unknown _1080975015.unknown _1080975251.unknown _1080973940.unknown _1080974084.unknown _1080974168.unknown _1080974065.unknown _1080973467.unknown _1080973575.unknown _1080973660.unknown _1080973482.unknown _1080973172.unknown _1080973046.unknown _1080973090.unknown _1080972998.unknown _1080972913.unknown _1080972950.unknown _1080972888.unknown _1080931798.unknown _1080932586.unknown _1080935380.unknown _1080972166.unknown _1080972182.unknown _1080971882.unknown _1080972024.unknown _1080935386.unknown _1080936587.unknown _1080932702.unknown _1080932795.unknown _1080935372.unknown _1080932740.unknown _1080932657.unknown _1080932036.unknown _1080932241.unknown _1080932329.unknown _1080932378.unknown _1080932435.unknown _1080932472.unknown _1080932423.unknown _1080932363.unknown _1080932300.unknown _1080932218.unknown _1080932224.unknown _1080932226.unknown _1080932089.unknown _1080932013.unknown _1080932022.unknown _1080931972.unknown _1080930466.unknown _1080931065.unknown _1080931468.unknown _1080931700.unknown _1080931744.unknown _1080931592.unknown _1080931349.unknown _1080930956.unknown _1080930972.unknown _1080930890.unknown _1080930921.unknown _1080930867.unknown _1080928979.unknown _1080929104.unknown _1080930388.unknown _1080929058.unknown _1080928879.unknown _1080928917.unknown _1080928947.unknown _1080928832.unknown _1080367036.unknown _1080927417.unknown _1080927855.unknown _1080928005.unknown _1080928171.unknown _1080928343.unknown _1080928395.unknown _1080928431.unknown _1080928189.unknown _1080928101.unknown _1080928156.unknown _1080928065.unknown _1080927909.unknown _1080927954.unknown _1080927888.unknown _1080927631.unknown _1080927718.unknown _1080927564.unknown _1080927054.unknown _1080927330.unknown _1080927370.unknown _1080927150.unknown _1080927208.unknown _1080925993.unknown _1080926656.unknown _1080926721.unknown _1080926738.unknown _1080926693.unknown _1080926023.unknown _1080926046.unknown _1080925595.unknown _1080925789.unknown _1080367121.unknown _1080326193.unknown _1080326412.unknown _1080327587.unknown _1080327701.unknown _1080327857.unknown _1080327872.unknown _1080327982.unknown _1080327780.unknown _1080327618.unknown _1080326581.unknown _1080326917.unknown _1080326391.unknown _1080325153.unknown _1080325583.unknown _1080325836.unknown _1080326121.unknown _1080326147.unknown _1080325735.unknown _1080325485.unknown _1080325303.unknown _1080325368.unknown _1080325445.unknown _1080325350.unknown _1080325284.unknown _1080323301.unknown _1080323351.unknown _1080324994.unknown _1080323275.unknown _1080323130.unknown _1080302574.unknown _1080309758.unknown _1080310005.unknown _1080321133.unknown _1080321555.unknown _1080321809.unknown _1080322136.unknown _1080322244.unknown _1080322900.unknown _1080322271.unknown _1080322178.unknown _1080322020.unknown _1080321719.unknown _1080321770.unknown _1080321785.unknown _1080321678.unknown _1080321686.unknown _1080321385.unknown _1080321409.unknown _1080321360.unknown _1080310123.unknown _1080320505.unknown _1080321026.unknown _1080321032.unknown _1080320977.unknown _1080320995.unknown _1080320800.unknown _1080310212.unknown _1080320483.unknown _1080310191.unknown _1080310023.unknown _1080309931.unknown _1080309227.unknown _1080309667.unknown _1080309715.unknown _1080309474.unknown _1080309621.unknown _1080309281.unknown _1080309455.unknown _1080308968.unknown _1080308237.unknown _1080308394.unknown _1080302128.unknown _1080302362.unknown _1080302462.unknown _1080302321.unknown _1080297934.unknown _1080302006.unknown _1080297846.unknown