实数有理数专题复习2011

有理数、实数专复习 2011年中考命题趋势： 实数是初中阶段的重要内容．这部分内容的中考题虽然年年有变化,但是其中的核心知识、重要内容是年年必考的，实数是数学知识的基础，也是其他学科的工具，随着新课改的不断深入，命题形式更加多样化，试题进一步以教材和实际生活题材为背景，结合当今社会的热点问题全方位触及，对这部分内容的考查仍将以大容量，小综合的形式单独命题，重点考查内容集中在：一是实数的概念如数轴、倒数、相反数、绝对值、平方根、立方根等以及实数的相关运算；二是加强与生产、生活及科学研究方面的研究的联系，主要体现在用科学记数法表示或估算实际问题中的数据．试题难度为低、中档题为主，题量约占总题量的2%－5%，题型有选择、填空题和简单的，有时还结合开放题、探索性试题结合。 专题一　有理数与无理数的意义 知识回顾 1. 实数的分类 ２．在实际生活中正负数表示＿＿＿＿＿的量． 典例分析 例１：（2010四川巴中）下列各数： , QUOTE 0， ,0．2EQ \* jc2 \* "Font:Times New Roman" \* hps22 \o\ad(\s\up 11(·),3),cos60°， ，0．30003……，1－ 中无理数个数为（ ) A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 解析：无理数是无限不循环的小数，其中的无理数有 ,0．30003……，1－ ,故选Ｃ． 评注：解决此类问题的关键是准确把握有理数，无理数及实数的概念，不能片面的从形式上判断属于哪一类数，另外对有关实数进行归类时，必须对已给出的某些数进行化简，以最简的结果进行归类． 专题训练一 1．(2010年南宁)下列所给的数中，是无理数的是( 　 ) A．2 　　 B．eq \r(2) 　　 C．eq \f(1,2) 　　D．0．1 ２．(2010年湖北襄樊)下列说法错误的是（ 　　 ) A． 的平方根是 　Ｂ． 是无理数 C． 是有理数　　D． 是分数 ３．（2010年上海）下列实数中，是无理数的为（ ） A． 3．14 B． ４．（2010安徽）在－1，0，1，2这四个数中，既不是正数也不是负数的是（ ） A． B．0 C．1 D．2 ５．（2010四川乐山）把温度计显示的零上5℃用+5℃表示，那么零下2℃应表示为_____℃． 6．（2010年乌鲁木齐）在 这四个数中负整数是______． 专题二 实数的有关概念 知识回顾 １． 数轴：规定了＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿的直线叫数轴．数轴上的点与＿＿＿是一一对应． ２．相反数:到原点的距离相等且符号不同的两个数称为相反数,实数 的相反数是＿＿,零的相反数是＿＿， 与 互为相反数，则＿＿＿＿＿； ３． 绝对值：在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫这个数的绝对值． ４．倒数：若实数 不为０,则 的倒数为＿＿＿，若 ，则 与 互为＿＿＿． 典例分析 例1：（2010．湘潭）下列判断中，你认为正确的是（ ) 　 　A．0的绝对值是0　　B． 是无理数 C．|—2|的相反数是２ D． 的倒数是 解析：Ａ 评注：解决本题的关键是弄清实数中的有关的概念，关于绝对值除了了解几何意义是表示点到原点的距离，还应理解“正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数”的内涵；关于无理数应从概念上突破：表示无限不循环小数；|—2|＝２,２的相反数为－２；对于倒数，掌握它们的乘积为１． 专题训练 １．（2009年滨州）对于式子 ，下列理解：（1）可表示 的相反数；（2）可表示 与 的乘积；（3）可表示 的绝对值；（4）运算结果等于8．其中理解错误的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 ２．（2010年内蒙古鄂尔多斯）如果 与1互为相反数，则 等于（ ）． A． B． C． D． ３．（2010年山东菏泽）负实数 的倒数是（ ）． A． B． C． D． ４．（2010年绵阳）－ 是 的（ ）． A．相反数 B．倒数 C．绝对值 D．算术平方根 ５．（2010年镇江） 的倒数是 ； 的相反数是 ． ６．（2010年四川成都）若为实数，且，则的值为________． 7．（2010吉林）如图，数轴上点 所表示的数是_________． 8（2010河南）若将三个数 表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是　　　　． 专题三　实数的大小比较 知识回顾 比较实数大小的一般： 1 性质比较法：正数大于___,负数____0,正数_____任何负数； 2 数轴比较法：在数轴上的实数，右边的数总是比左边的数___；差值法： 3 设 ， 是任意实数，如 － ．>0,则 ___ ，如 － ．<0,则 EMBED Equation.DSMT4 ，如 － =0,则 ___ ; 4 商值法：如 ÷ ．>1,则 ___ ，如 ÷ ．<1,则 ___ ，如 ÷ ．=1,则 ___ ，⑤扩大法；⑥倒数比较法，当然还有分子、分母有理化和换元法等。 典例分析 例3：(2010天津)比较2， ， 的大小，正确的是（ ）Ｃ Ａ． 　　Ｂ． 　　Ｃ． 　　Ｄ． 解析：2与 采用扩大法，即平方法可得4和5，可知2< ，2与 采用扩大法，即立方法可得８和７，可知2> ，故选Ｃ。 评注：比较实数大小的一般方法：①性质比较法：②数轴比较法：③差值法：④商值法：⑤扩大法；⑥倒数比较法，当然还有分子、分母有理化和换元法等。本题可采用扩大法比较 专题训练三 １．（2010年温州）给出四个数0， ， ，0．3，其中最小的是（ ）Ｃ A．0 B． C． D．0．3 2．（2010年内蒙古鄂尔多斯）如图，数轴上的点P表示的数可能是（ ）． A． B．- C． D． ３.（2010吉林）如图，检测4个足球，其中超过质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是 （　　）． ４．（2010四川自贡）下列各数中，最小的实数是（ ） A．－ B．－ C．－2 D． ５．（2010山西）估算 －2的值（ ） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 6.（2010呼和浩特）已知：a、b为两个连续的整数，且a < < b，则a + b = ． 7．（2010河南）若将三个数 表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是　　　　． 8．（2010年东阳） 如图，在数轴上点A和点B之间的整数是 ． 专题四　实数的运算 知识回顾： 1.有理数的运算定律在实数范围内都适用,其中常用的运算律有________、__________、___________、___________、____________. 2.在实数范围内进行运算的顺序是先算________、________，再算_________，最后算__________，运算中有括号的，先算________，同一级运算从_____到______依次进行。 3. ， （ ， 为正整数） 典例分析 例４： (2010年南宁市)计算：－(－1)＋(π－2010)0－eq \r(3)tan60°＋(2)－-1 解析： 评注：实数的运算题　常常将零指数幂、负指数幂、倒数、算术平方根、立方根、特殊角的三角函数值、幂的运算性质等集于一题，综合考查运算能力，对于一个非零数 ，则 ，需要注意 必须是一个非零数，否则没有意义；对于一个数的负指数幂的求法公式： （ ， 为正整数），对于特殊角的三角函数值，关键是要熟记相关的概念及锐角三角函数值，实数的运算关键是要理清运算顺序，其次是正确运用运算法则及运算律，切记运算时一定要看清数据及细心。 专题训练四 1．(2010年济南)某市2009年元旦的最高气温为2℃，最低气温为－8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（ ）D A．-10℃ B．-6℃ C．6℃ D．10℃ 2．（2010年云南楚雄州）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． ３．（2010年山东泰安市）如图，数轴上A、B两点对应的实数分别为，b， 则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D．||—|b|>0 ４．（2010年，潍坊）如图，数轴上A、B两点对应的实数分别是1和 ，若点A关于B点的对称点为点C，则点C所对应的实数为（ ）．Ａ A．2 －1 B．1＋ C．2＋ D．2 ＋1 ５．(2010江西南昌)按照下图所示的操作步骤，若输入x的值为－2，则给出的值为 ． ６．（2009湖北省荆门市）定义 ，则 ______． ７． （2010山西）（1）计算： ． ８（2010年广东梅州）计算： ． 专题五 数的表示与应用 知识回顾： １．科学记数法：将一个数记作 （ ，n是整数）的记数方法叫做科学记数法．当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的＿＿＿＿＿＿＿；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）； ２．有效数字：一个数从左边第一个＿＿＿＿的数字起，到右边精确到的数位止，所有的数字都叫这个数的有效数字． ３． 精确度的形式有两种：（１）＿＿＿＿＿＿＿＿；（２）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，用科学记数法表示数的有效数字位数，只看乘号前的部分． 典例分析 例５：( 2010年湖北襄樊)我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国年可利用的淡水资源总量为 亿米3，人均占有淡水量居全世界第110位，因此我们要节约用水， 亿这个数用科学记数法表示并保留两个有效数字为（ ）．Ｄ A． 　　　　　B． 　　　　　C． 　　　　　D． 解答：把“亿”转化为 ，Ｄ 评注：解答＂近似数、有效数字和科学记数法“这一类题目主要把握以下几点：（１）若遇较大时要注意数清它是几位数， 应等于原数的整数位数减１,（２）看清数据后面是否带有“万”、“亿”等单位；（３）准确理解精确度，如 与 的区别．用科学记数法表示数的有效数字位数，只看乘号前面的部分 专题训练五 １．（2010青岛）由四舍五入法得到的近似数8．8×103，下列说法中正确的是（ ）． A．精确到十分位，有2个有效数字 B．精确到个位，有2个有效数字 C．精确到百位，有2个有效数字 D．精确到千位，有4个有效数字 ２．（2010江苏泰州）据新华社2010年2月9日报道：受特大干旱天气影响，我国西南地区林地受灾面积达到43050000亩．用科学计数法可表示为（ ） A． 亩 B． 亩 C． 亩 D． 亩 3．(2010年辽宁丹东市)在“2008北京”奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构施工建设中，首次使用了我国科研人员自主研制的强度为 帕的钢材，那么 的原数为（ ） A．4 600 000 B．46 000 000 C．460 000 000 D．4 600 000 000 ４．(2010年浙江省义乌市)28 cm接近于（ 　 ） A．珠穆朗玛峰的高度 B．三层楼的高度 C．姚明的身高 D．一张纸的厚度 ５.（2010浙江湖州）2010年5月，湖州市第11届房产会总成交金额约2.781亿元，近似数2.781亿元的有效数字的个数是（ ） A．1 B． 2 C．3 D．4 ６． （2010年潍坊）将5.62×10－8用小数表述为（ ）． A．0．000 000 005 62 B．0．000 000 056 2 C．0．000 000 562 D．0．000 000 000 562 ７．（2010贵州毕节）2008北京奥运会火炬传递的路程约为13.7万公里．近似数13.7万是精确到（ ） A．十分位 B．十万位 C．万位 D．千位 ８．（2010年山东东营）上海世博会主题馆屋面太阳能板面积达3万多平方米，年发电量可达280万度．这里的280万度用科学记数法表示（保留三个有效数字）为____________度． ９. （2010广东珠海）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数 （只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将(101)2, (1011)2换算成十进制数应为： 按此方式，将二进制(1001)2换算成十进制数的结果是_______________. 专题六　平方根　立方根　　 知识回顾： 1. 若 ，则 叫做 的＿＿＿＿，记做＿＿＿＿；正数的平方根有＿＿个，它们互为＿＿＿，０的平方根是＿＿,负数没有平方根，正数 的正的平方根叫做＿＿＿＿＿＿＿，记做 ，０的算术平方根是０； 2. 若 ，则 叫做 的＿＿＿＿，记做＿＿＿＿；正数的立方根有１个正的立方根，０的立方根是０,负数的立方根是负数， 典例分析 例６：(2010年南京)如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是(　)Ｃ A．4的算术平方根 B．4的立方根 C．8的算术平方根 D．8的立方根 解答：4的算术平方根是２, 4的立方根是 ，8的算术平方根是 ，8的立方根２,而点Ａ接近于３,故选Ｃ 评注：本题主要考查算术平方根及立方根的概念，数形结合及数的估算能力，解答这类题关键是弄清相关的概念，并将其计算出结果， 专题训练六 １.（2010年山东东营市）64的立方根是( ) （A）4 （B）－4 （C）8 （D）－8 ２. （2010年济宁市) 4的算术平方根是 A. 2 B. －2 C. ±2 D. 4 ３（2010湖南长沙）4的平方根是（ ）． A、 B、2 C、 2 D、 EMBED Equation.DSMT4 ４ (2010年眉山市)2．计算 的结果是（ ） A．3 B． C． D． 9 ５.（2010年山东烟台市）-8的立方根是（ ） A、2 B、 -2 C、 D、 ６．（ 2010年湖北黄冈）2的平方根是_________. 专题七　规律探究题 知识回顾：规律探究题是指在一定的背景或特定的条件下，通过观察、分析、比较、概括和探究，从中发现有关数学对象所具有的某种规律或不变性的结论，进而利用这个规律或结论进一步解决相关的实际问题。它体现了“从特殊到一般”及转化的数学思想方法，一般的解题思路是通过观察，进而寻找规律，猜想出相关的结论并加以验证。出现的形式可能以填空、选择或解答为主． 典例分析 例７：．（2010江苏淮安）观察下列各式： …… 计算：3×(1×2+2×3+3×4+…+99×100)= A．97×98×99 B．98×99×100 C．99×100×101 D．100×101×102 解析：从材料可以得出1×2，2×3，3×4，……可以用式子表示，即原式=． = =99×100×101，所以选择C. 评注：解这类问题的关键在于从简单问题入手，通过观察、分析、推理、发现与猜想，注意把握相关图形的性质与内在联系，进而寻找出解题方法与技巧，逐步进行推广、拓展与应用，化特殊为一般，使问题得以解决与突破。 专题训练七 １．（2010广东湛江市）观察下列算式： ， 通过观察，用你所发现的规律确定 的个位数字是（ ） A.3 B.9 C.7 D.1 ２.( 2010年盐城)填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（ ） A．38 B．52 C．66 D．74 ３．(2010年深圳市)观察下列算式，用你所发现的规律得出22010的末位数字是（ ） 21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…， A．2 B．4 C．6 D．8 ４．（2010内蒙古赤峰）观察式子： ……．由此计算： … _____________. ５. （2010重庆江津） …… 则计算 ． ６．（2010年湖南常德）如图，一个数表有7行7列，设 表示第i行第j列上的数(其中i=1,2,3,…,7,j=1,2,3,…,7). 例如：第5行第3列上的数 . 则（1） = ； （2）此数表中的四个数 满足 = . 参考答案 知识回顾 1． 2. 相反意义 专题训练一 １．Ｂ　 ２．Ｄ　 ３．Ｃ　 ４．Ｂ　 ５． 6． -2 知识回顾 １． 原点，正方向，单位长度　实数　 ２．　 　零　 　 ３． 　 ４． 　倒数 专题训练二 １． Ｃ　 ２． Ｃ　 ３． Ｂ　 ４． A　 5． 　 　 6．１　 7． 8． 知识回顾 ①0 小于 大于 ②大 ③> < = ④> < = 专题训练三 1． Ｃ 2． B　结合数轴上的点Ｐ可知可能表示的数接近于－２,故可排除Ａ和Ｃ选项，而 介于－４到－３之间，故也可排除，由此可选择Ｂ． ３.Ｃ　这是个实际问题，足球的标准程度关键是看是否接近于０,从选项中可知接近于０的数是Ｃ选项． ４．C ５.C　 介于 到 之间，也就是介于5到6之间,再减去2之后便是3和4之间 6.7 7. 8.2 知识回顾 1.加法交换律 乘法交换律 加法结合律 乘法分配律 乘法结合律 2.乘方 开方 乘除 加减 括号内的 左 右 3.1 专题训练四 1．D 2．B ３．D 4.A 5. 根据题意得 6.解析：本题是一种新定义运算题，定义 ， 所以 ，故填－2 7.解：原式＝ ＝ ＝1． 8.原式= 知识回顾： １.整数位数减1　　 ２. 不是0　 ３. 精确到哪一位　　保留几个有效数字 专题训练五 １．Ｃ　 ２．Ｄ　 ３.Ｃ　 ４.Ｃ　 ５.Ｄ　 ６.Ｂ　 ７Ｄ　 ８.2．80×106； ９.９ 知识回顾： 1. 平方根　 　 2. 　相反数　０　算术平方根　 3. 立方根　 　 专题训练六 １.Ａ　 ２.Ａ　 ３．Ｃ　 ４.Ａ　 ５.Ｂ　 ６. ±2 专题训练七 1．Ｂ　认真研究题中3n（n为正整数）的末位数字的变化情况，不难发现，3n的末位数字呈现以3，9，7，1这四个数字为周期的循环规律. 因为2000能被4整除，所以32000的个位数字就是34的个位数字1. ２.Ｄ　根据图形所填数字可以看出：2×4-0=8；4×6-2=22；6×8-4=44；8×10-6=74. ３.Ｂ　观察可知，末位数字每4个算式是一个周期，末位分别为2、4、8、6．把2010除以4余数为2，所以22010的末位数字同22的末位数字4．４． 　根据题目提供的方法得 … = = 。 ５． .　 ６. （1）0 （2）0 第二行第三列上的数字是4，第二行第二列上的数字3，第五行第二列上的数字是6，第五行第三列上的数字是7，所以第（1）题的结果为4―3+6―7=0.（2）中的算式也满足（1）中的运算规律，其结果仍然是0. � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 输入x 平方 乘以3　 输出x 减去5 1 2 3 4 3 2 1 2 3 4 5 4 3 2 3 4 5 6 5 4 3 4 5 6 7 6 5 4 5 6 7 8 7 6 5 6 7 8 9 8 7 6 7 8 9 10 9 8 7 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 6 m 44 8 6 4 22 6 4 2 4 8 2 0 _1338106127.unknown _1339922332.unknown _1345050199.unknown _1345095889.unknown _1345103978.unknown _1345105381.unknown _1345106943.unknown _1345106970.unknown _1345105429.unknown _1345105170.unknown _1345104980.unknown _1345104992.unknown _1345105028.unknown _1345104942.unknown _1345102818.unknown _1345103113.unknown _1345103480.unknown _1345102840.unknown _1345096336.unknown _1345099078.unknown _1345102732.unknown _1345099063.unknown _1345096314.unknown _1345050556.unknown _1345050631.unknown _1345050642.unknown _1345050610.unknown _1345050578.unknown _1345050294.unknown _1345050482.unknown _1345050541.unknown _1345050330.unknown _1345050281.unknown _1345050223.unknown _1340018719.unknown _1341120337.unknown _1341125540.unknown 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