排列数、组合数和式的计算方法

www.MathsChina.com 彰显数学魅力！演绎华软传奇！ 排列数、组合数和式的计算方法 江苏 蔡道平 排列数、组合数和式的计算是本章的难点之一，在解题时，要根据和式的结构灵活运用各种方法才能解决问题，下面举例说明常用的求和方法。 1． 拆项法 例1 计算： 解 因为 所以 , 在上式中将 用1，2，3，…， 依次代入，再将各式相加，得 = 例2 计算： － ＋ －…＋ . 解 ∵ …m), EMBED Equation.3 ∴ …… 将上述m+1个等式相加得 … 说明 例1是分式的和，故运用了数列中求分式的和的方法：拆项法；例2中各项符号正、负相间，故利用了组合数的性质： ，使其前后相消求得和. 2． 并项法 例3 计算： 解 = = =……= = 说明 本例结构特征是组合数中的“上标”均为 ,而“下标”是公差为1的等差数列, 这类问题可用组合数性质 并项,另外组合数中的“上标”“下标”均为公 差1的等差数列时,也可用上面的方法.如计算: ,即求: ,转化为本例类型. 3.转化通项法 例4 计算： … 解 ∵ EMBED Equation.3 ∴ （*）， 在（*）式中令k=0，1，2，…，n时，有 … 将以上各式相加即得 … … = 说明 本例中各项组合数的系数是不同的，通常是转化通项使其组合数的系数化为相同，然后再用二项式系数的性质或组合数的性质求解. 4.倒序相加法 例5 计算： 解 设S= ① 由于 ，上式即为 S= = ② ①，②两式相加，2S= = = 所以S= . 说明 因为 ,而系数的顺序与组合数中取出的元素数相同,故可利用等差数列前 项和公式的证明方法——倒序相加法来证明.另外由于 ,故本题也可用转化通项法来解. 5．二项式定理赋值法 例6 计算： 解 由 在此式中令 有 = 故 说明 对于一个组合数数列 和一个等比数列 ,它们对应项乘积的和往往可以利用 二项式定理,在等式两边赋予 适当的值来解. 6.构造法 例7 求证： 将以上两式相乘，得 又 这个展开式与（＊）式展开式恒等。比较 的系数就有 证二 设有 个男生和 个女生共2 个学生，现从中要选 个学生去参加某项活动。 共有不同的选法为 种。 另外我们可把选 个学生分成 类方法，即从 个男生中选 个，再从 个女生中选 个 ，这样每类选法种数为 .由分类计数原理,知共有不同 的选法种数为 . 这两种选法种数是一样的,所以 说明 证一与证二是两种不同的构造法.证一考虑等式右边是 ,是 展开式中第 项的二项式系数,左边和中每一项的幂底数恰是 展开式中的二项式系数,而幂指数都是2,故可构造两个二项展开式相乘再比较系数,从而 得证.证二的实质是通过构造集合来证明,即全集U含有2 个元素,集合A,B各有 个元素, 且 ,然后分两种情况来考虑取 个元素. PAGE 学数学 用专页 第 1 页 共 4 页 教数学 用华软 _1195665575.unknown _1195836295.unknown _1195839328.unknown _1195903514.unknown _1195908437.unknown _1195924073.unknown _1195924928.unknown _1195925798.unknown _1195927292.unknown _1195925168.unknown _1195925564.unknown _1195924994.unknown _1195924321.unknown _1195924818.unknown _1195924138.unknown _1195923268.unknown _1195923885.unknown _1195908450.unknown _1195905800.unknown _1195906691.unknown _1195906809.unknown _1195906529.unknown _1195904987.unknown _1195905746.unknown _1195904148.unknown _1195839745.unknown _1195903023.unknown _1195903186.unknown _1195903210.unknown _1195903061.unknown _1195840091.unknown _1195900775.unknown _1195839795.unknown _1195839526.unknown _1195839627.unknown _1195839468.unknown _1195837851.unknown _1195838003.unknown _1195838447.unknown _1195838649.unknown _1195839303.unknown _1195838550.unknown _1195838146.unknown _1195837880.unknown _1195836829.unknown _1195837244.unknown _1195837663.unknown _1195837372.unknown _1195836842.unknown _1195749685.unknown _1195750413.unknown _1195751793.unknown _1195753045.unknown _1195753090.unknown _1195751818.unknown _1195751127.unknown _1195751271.unknown _1195751326.unknown _1195751199.unknown _1195750425.unknown _1195750219.unknown _1195750392.unknown _1195750168.unknown _1195749978.unknown _1195745043.unknown _1195748596.unknown _1195737705.unknown _1195665613.unknown _1195662146.unknown _1195663224.unknown _1195665097.unknown _1195665245.unknown _1195665384.unknown _1195665395.unknown _1195665127.unknown _1195664440.unknown _1195662581.unknown _1195662909.unknown _1195662428.unknown _1195661808.unknown _1195661922.unknown _1195662020.unknown _1195661874.unknown _1195659181.unknown _1195659216.unknown _1195659062.unknown _1195659112.unknown