中考数学

2006年中考第一轮复习（五）二次函数 基础达标验收卷 1、 选择题： 1. （03大连）抛物线 的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 2. （04重庆）二次函数 的图象如右图，则点 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. （04天津）已知二次函数 ，且 ， ，则一定有（ ） A. B. C. D. ≤0 4. （03杭州）把抛物线 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是 ，则有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. （03南通）已知反比例函数 的图象如右图所示，则二次函数 的图象大致为（ ） 6. （03哈尔滨）下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数 与一次函数 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） 7. （05甘肃）抛物线 的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 8. （05南京）二次函数 的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 1 9. （05江苏）二次函数 的图象如图所示，若 EMBED Equation.3 ， ，则（ ） A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ， 二、填空题： 10. （04河北）将二次函数 配方成 的形式，则y=______________________. 11. （03甘肃）已知抛物线 与x轴有两个交点，那么一元二次方程 的根的情况是______________________. 12. （03黑龙江）已知抛物线 与x轴交点的横坐标为 ，则 =_________. 13. （03新疆）请你写出函数 与 具有的一个共同性质：_______________. 14. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点： 甲：对称轴是直线 ； 乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： 15. （04武汉）已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：_____________________. 16. （05宁夏）如图，抛物线的对称轴是 ，与x轴交于A、B两点，若B点坐标是 ，则A点的坐标是________________. 17. （05江苏）已知抛物线 的部分图象如图，则抛物线的对称轴为直线x=____________，满足 的x的取值范围是______________，将抛物线 向________平移_________个单位，可得到抛物线 . 三、解答题： 1. （03安徽）已知函数 的图象经过点（3，2）. （1）求这个函数的解析式； （2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标； （3）当 时，求使y≥2的x的取值范围. 2. 如右图，抛物线 经过点 ，与y轴交于点B. （1）求抛物线的解析式； （2）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标. 3. （03辽宁）某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）. （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？ 4. （03上海）卢浦大桥拱形可以近似地看作抛物线的一部分. 在大桥截面1:11000的比例图上去，跨度AB=5cm，拱高OC=0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）. 在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）. （1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域； （2）如果DE与AB的距离OM=0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据： ≈1.4，计算结果精确到1米）. 5. （05武汉）已知二次函数 的图象交x轴于 、 两点， ，交y轴的负半轴与C点，且AB=3，tan∠BAC= tan∠ABC=1. （1）求此二次函数的解析式； （2）在第一象限，抛物线上是否存在点P，使S△PAB=6？若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由. 能力提高练习 一、学科内综合题 1. （04天津）已知抛物线 与x轴只有一个交点，且交点为 . （1）求b、c的值； （2）若抛物线与y轴的交点为B，坐标原点为O，求△OAB的面积（答案可带根号）. 二、实际应用题 2. （03山西）启明星、公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件. 为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告. 根据，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且 ，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费： （1）试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元？ （2）把（1）中的最大利润留出3万元做广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表： 项 目 A B C D E F 每股（万元） 5 2 6 4 6 8 收益（万元） 0.55 0.4 0.6 0.5 0.9 1 如果每个项目只能投一股，且所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元，问有几种符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的项目. 3. （03吉林）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m. （1）求此抛物线的解析式； （2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）. 货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）. 试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？ 4. （05河北）某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套. 经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出. 在此基础上，当每套设备的月租金提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）20元，设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入－支出费用）为y（元）. （1）用含x的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用； （2）求y与x之间的二次函数关系式； （3）当月租金分别为4300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该租出多少套机械设备？请你简要说明理由； （4）请把（2）中所求的二次函数配方成 的形式，并据此说明：当x为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？ 三、开放探索题 5. （03济南）某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要的结论：一是发现抛物线 （a≠0），当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a变化时，若把抛物线 的顶点的横坐标减少 ，纵坐标增加 ，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加 ，纵坐标增加 ，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线 上. （1）请你协助探求实数a变化时，抛物线 的顶点所在直线的解析式； （2）问题（1）中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？并说明理由； （3）在他们第二个发现的启发下，运用“一般——特殊——一般”的思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你的猜想表述出来吗？你的猜想成立吗？若能成立，请说明理由. 6. （04河南）某市近年来经济发展速度很快，根据统计，该市国内生产总值1990年为8.6亿元人民币，1995年为10.4亿元人民币，2000年为12.9亿元人民币. 经论证，上述数据适合一个二次函数关系. 请你根据这个函数关系，预测2005年该市国内生产总值将达到多少？ 参考答案 基础达标验收卷 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D D A A D D D B D 二、填空题： 1. 2. 有两个不相等的实数根 3. 1 4. （1）图象都是抛物线；（2）开口向上；（3）都有最低点（或最小值） 5. 或 或 或 6. 等（只须 ， ） 7. 8. ， ，1，4 三、解答题： 1. 解：（1）∵函数 的图象经过点（3，2），∴ . 解得 . ∴函数解析式为 . （2） . 图象略. 图象的顶点坐标为 . （3）当 时， . 根据图象知当x≥3时，y≥2. ∴当 时，使y≥2的x的取值范围是x≥3. 2. 解：（1）由题意得 . ∴ . ∴抛物线的解析式为 . （2）∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为 . ∴OA=1，OB=4. 在Rt△OAB中， ，且点P在y轴正半轴上. ①当PB=PA时， . ∴ . 此时点P的坐标为 . ②当PA=AB时，OP=OB=4. 此时点P的坐标为（0，4）. 3. 解：（1）设s与t的函数关系式为 ， 由题意得 或 解得 ∴ . （2）把s=30代入 ，得 解得 ， （舍去） 答：截止到10月末公司累积利润可达到30万元. （3）把 代入，得 把 代入，得 . 答：第8个月获利润5.5万元. 4. 解：（1）由于顶点在y轴上，所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为 . 因为点 或 在抛物线上，所以 ，得 . 因此所求函数解析式为 （ ≤x≤ ）. （2）因为点D、E的纵坐标为 ，所以 ，得 . 所以点D的坐标为 ，点E的坐标为 . 所以 . 因此卢浦大桥拱内实际桥长为 （米）. 5. 解：（1）∵AB=3， ，∴ . 由根与系数的关系有 . ∴ ， . ∴OA=1，OB=2， . ∵ ，∴ . ∴OC=2. ∴ , . ∴此二次函数的解析式为 . （2）在第一象限，抛物线上存在一点P，使S△PAC=6. 解法一：过点P作直线MN∥AC，交x轴于点M，交y轴于N，连结PA、PC、MC、NA. ∵MN∥AC，∴S△MAC=S△NAC= S△PAC=6. 由（1）有OA=1，OC=2. ∴ . ∴AM=6，CN=12. ∴M（5，0），N（0，10）. ∴直线MN的解析式为 . 由 得 EMBED Equation.3 （舍去） ∴在 第一象限，抛物线上存在点 ，使S△PAC=6. 解法二：设AP与y轴交于点 （m>0） ∴直线AP的解析式为 . ∴ . ∴ ，∴ . 又S△PAC= S△ADC+ S△PDC= = . ∴ ， ∴ （舍去）或 . ∴在 第一象限，抛物线上存在点 ，使S△PAC=6. 能力提高练习 1. 解：（1）∵抛物线 与x轴只有一个交点， ∴方程 有两个相等的实数根，即 . ① 又点A的坐标为（2，0），∴ . ② 由①②得 ， . （2）由（1）得抛物线的解析式为 . 当 时， . ∴点B的坐标为（0，4）. 在Rt△OAB中，OA=2，OB=4，得 . ∴△OAB的周长为 . 2. 解：（1） . 当 时， . ∴当广告费是3万元时，公司获得的最大年利润是16万元. （2）用于投资的资金是 万元. 经分析，有两种投资方式符合要求，一种是取A、B、E各一股，投入资金为 （万元），收益为0.55+0.4+0.9=1.85（万元）>1.6（万元）； 另一种是取B、D、E各一股，投入资金为2+4+6=12（万元）<13（万元），收益为0.4+0.5+0.9=1.8（万元）>1.6（万元）. 3. 解：（1）设抛物线的解析式为 ，桥拱最高点到水面CD的距离为h米，则 ， . ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为 . （2）水位由CD处涨到点O的时间为1÷0.25=4（小时）， 货车按原来速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280， ∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥. 设货车的速度提高到x千米/时， 当 时， . ∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米/时. 4. 解：（1）未出租的设备为 套，所有未出租设备的支出为 元. （2） . ∴ .（说明：此处不要写出x的取值范围） （3）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时出租的设备为37套；当月租金为350元时，租赁公司的月收益为11040元，此时出租的设备为32套. 因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应选择出租32套；如果考虑市场占有率，应选择出租37套. （4） . ∴当 时，y有最大值11102.5. 但是，当月租金为325元时，租出设备套数为34.5，而34.5不是整数，故租出设备应为34套或35套. 即当月租金为为330元（租出34套）或月租金为320元（租出35套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为11100元. 5. 解：（1）当 时， 的顶点坐标为 ；当 时， 的顶点坐标为 . 设抛物线 的顶点在直线 上，将 、 代入，得 解得 即抛物线 的顶点在直线 上. （或由抛物线 的顶点坐标为 ，得其顶点在直线 上） （2）直线 上有一个点（0，3）不是抛物线的顶点. 抛物线 的顶点坐标为 ， 当a≠0时，顶点横坐标 ≠0. ∴点（0，3）不是抛物线的顶点. （3）得出猜想：对于抛物线 （a≠0），将其顶点的横坐标增加或减少 ，纵坐标增加 ，所得到的两个点一定仍在抛物线上. （其他猜想，只要合理也对） 理由：∵抛物线 的顶点坐标为 ， ∴将其横坐标减少 ，纵坐标增加 ，得 . 同理可得 . 把 代入 ， 得 . ∴点A在抛物线 上. 同理可证点B在抛物线 上. ∴所提出的猜想能够成立.（此问题可利用 的形式进行证明，过程同上） 6. 解：由题意，可以把三组数据看成三个点： ， ， . 设二次函数解析式为 ，把A、B、C三点坐标代入，得 解得 ∴二次函数解析式为 . 当 时， . 所以2005年该市国内生产总值将达到16.1亿元人民币. � EMBED Word.Picture.8 ��� � EMBED Word.Picture.8 ��� � EMBED Word.Picture.8 ��� � EMBED Word.Picture.8 ��� � EMBED Word.Picture.8 ��� � EMBED Word.Picture.8 ��� � EMBED Word.Picture.8 ��� PAGE 9 _1197788309.unknown _1197831469.unknown _1197867722.unknown _1197871105.unknown _1197916852.unknown _1197918975.unknown 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