用圆锥曲线的定义求一类最值问题

·42· 重庆 《数学教学通讯 }2003年 6月(上半月)(总第 175期) 用圆锥曲线的定义求一类最值问题 (重庆市荣昌中学 402460) 黄廷华 曹华荣 各种数学 资料 中，经常出现如下一类问 题 ：点 M 为圆锥曲线上一动点 ，求它到圆锥曲 线的一个焦点 F和平面上一定点 A的距离和的 最值．大多数学生对这类问题感到困难，不知如 何 人手．本文利用圆锥曲线的定义巧妙地求出 这类问题． 1 椭圆、双曲线、抛物线中的有关结论 1．1 椭 圆 一 2 2 结论 1 设椭圆 + y-=1(口>6>0)的 左、右焦点分别为 F。、F ，平面上一定点 Q( 。， Y。)，M 为椭圆上任意一点． (1)定点Q(x。，Y。)在椭圆内部(即 +yj 6z < 1)，则 IMF I+ IMQ I的最 小值 是 2口一 IQF。I；最大值是 2口+ IQF。I． 一 2 ， (2)定点Q(x。，Y。)在椭圆外部(即 +yj 6z > 1)，则 IMF I+ IMQ I的最小值是 IQF I； 最大值是 2n+ IQF。I． 证 明 ：(1)如图 1， 因为 IMF I+ IMF。I一 2a， 所以 IMF I= 2a— IMF。I， IMF I+ IMQ I=2a— IMF。I+ IMQ I． 所以 IMF I+ IMQI= 2a+ IMQI— I MF。I≤ 2口+ IQF。I 其中当且仅当 M 为射线 QF。与椭 圆的交 点时取得等号． IMF I+ IMQ I= 2a+ IMQ I— IMF，I ≥ 2口一 IQF，I． 其中当且仅当 M 为射线 F Q与椭 圆的交 点时取得等号． 所以，IMF I+ IMQ I的最小值是 2n— IQF。I；最大值是 2n+ IQF。I． M／一 ＼ ＼ } 图 1 Mf Q 图 2 现在又 了解到，油漆工从来不说假话 ，泥 瓦 工从来不说真话 ，而木工说的话总是时真时 假，问究竟是谁的责任? 分析：因为 3个人的话分别都具有真假意 义，所以其中每个人的话都是一个命题 ，而每一 个命题都有其真值．一般地，如果一个命题 户是 真命题记为 1，如果命题 户为假命题记为 0，则 任 一个命题的值只能是 0或 1且不能兼得．根 据 3人的话 ，3个命题 ，都有其真值，我们可以利 用各命题间的逻辑关系列(另一形式的真值 表)加以讨论解决． 解：将 3人所述命题依次记为 P 、P 、 则由这 3个命题的逻辑关系知 ： 与 同 真 同假，P 与P。一真一假 ，3人中C是木工．如 下表所示，如果 为假 ，则 P 必为假 ，因而 P 必为真，而由 P 内容知 A、B两人都做坏了与 题意不符，所以 应为真 ，即 C做对了，因而 是油漆工，B是泥瓦工． P ^ P8 Pf 0 1 1 答 ：A是油漆工 ，B是 泥瓦工 ，C是木工 ，是 木 工做坏 了． 本题 是 生活 中 的逻 辑 问题 ，有 很 强 的生 活 气 息，关键是将实际问题转化为数学语言来处 理 ，在本题的分析解答过程中，是用列表讨论来 解决的，这就是真值表的另一重要应用，真值表 法是解决有关简易逻辑问题的一种常用方法． 维普资讯 http://www.cqvip.com 《数学教学通讯}2003年 6月 (上半月)(总第 175期) 重庆 ·43· (2) 如 图 2，因 为 l MF l+ lMQ l≥ lQF l，其 中当且仅当 M 为线段 QF 与椭圆的 交 点时取得等 号． 又 因为 l MF l+ lMF l一 2a， 所 以 l MF l一 2a— l MF l lMF l+ l MQ l一 2a— lMF l+ lMQ l 所 以 IMF I+ IMQ I一 2a+ I MQ l— l MF I≤ 2n+ lQF I 其中当且仅当 M 为射线 QF 与椭圆的交 点时取得等号． 所 以，l MF I+ IMQ l的最小值是 lQF l； 最大值是 2n+ lQF 1． 1．2 双 曲 线 一 2 ．．2 结论 2 设双曲线 一 一1(n> 0，b> O)的左 、右 焦 点 分 别 为 F ，F ，平 面 上 一 定 点 Q(z。，Y。)，M 为双曲线右支上任意一点． (1)定点 Q(z。，Y。)与双 曲线右焦点 F 在 双 曲 线 右 支 的 同 侧 (如 图 3)，则 lMQ l+ IMF l的最小值是 IQF I一 2a；最大值不存 在． y ／／ q F】 0 l。 ’ F】 0 l 图 3 图 4 (2)定点 Q(z。，Y。)与双曲线右焦点 F 在 双 曲线 右 支 的 异 侧 (如 图 4)，则 IMQ I+ IMF I的最小值是 IQF l；最大值不存在． 结论 2的证 明可 以参照结论 1的证 明给 出． 1．3 抛 物线 结论 3 设抛物线 Y 一 2px(户> O)的焦 点 为 F，定点 Q(z。，Y。)，M 为抛物线上任意一 点． (1)定点Q(z。，Y。)与焦点 F在抛物线的一 侧 (如图 5)，则 IMF I+ IMQ I的最小值是 z + ；最大值不存在． (2)定点Q(z。，y。)与焦点 F在抛物线的异 ， 、 f 0 ＼＼、一 y r，M Q 0 ＼＼＼一 图 5 图 6 侧 (如图 6)，则 IMF l+ l MQ l的 最小值 是 lQF l；最大值不存在． 用抛物线的定义很容易给出结论 3的证 明，这里从略． 2 结论 的应 用 例1尸为双曲线等一 z一1右支上一动 点 ，定点 A(3，1)，F 为 双 曲线 的右 焦 点，则 尸 l+ l尸F I的最小值是 解：双曲线 一Y 一 1的左焦点 F (一 2， O)，由题设易验证 ：定点 (3，1)与右焦点 F满 足结论 2中的(1)． 所以，I尸 I+ l尸F l的最小值是 l尸F l一 2a一 、／， 一 2 了． 2 ． ． 2 例2 已知椭圆 X-+等一1，左、右焦点 分别为 F，、F ，定点 B(2，2)是其 内部一点 ，M 为椭圆上动点 ，求 lMF I+ IMBl的最大值和 最 小值． 解 ：由 已知得 n 一 25，b。一 9 所以 f一 = 一 4，左焦点 F (一 4， O)，右焦 点 F (4，O) 由结论 1得 ：l MF I+ IMB l的最大值是 2n+ IMF I一 10+ 2 1O；最小值是 2n— lMF1 I一 10— 2~／10． 例 3 已知点 A(2，1)，抛物线 Y。一 4x的 焦点是 F，M 是抛物线上的一点 ，求 I尸FI+ l尸 l的最小值及取得最小值 时的点 M 的坐 标 ． 解：容易验证点 、F满足结论 3中(1)的 条件．所以 I尸F I+ I尸 I的最小值是 2+ 厶 一 3，这时点 M 的坐标为( ，1)． 维普资讯 http://www.cqvip.com