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第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点null第一节解析函数的洛朗展式第一节解析函数的洛朗展式1. 双边幂级数2. 解析函数的洛朗展式3. 洛朗级数与泰勒级数的关系4. 解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式5. 典型例题第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点null1. 双边幂级数定义称级数（1）为双边幂级数（1）的系数。双边幂级数为双边幂级数，其中复常数负幂项部分非负幂项部分主要部分解析部分注: 主要部分与解析部分同时收敛称幂级数收敛null 若收敛域为的收敛半径为R,收敛域为时收敛,两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分H:这时,级数(1)在圆环H:r...

null第一节解析函数的洛朗展式第一节解析函数的洛朗展式1. 双边幂级数2. 解析函数的洛朗展式3. 洛朗级数与泰勒级数的关系4. 解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式5. 典型例题第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点null1. 双边幂级数定义称级数（1）为双边幂级数（1）的系数。双边幂级数为双边幂级数，其中复常数负幂项部分非负幂项部分主要部分解析部分注: 主要部分与解析部分同时收敛称幂级数收敛null 若收敛域为的收敛半径为R,收敛域为时收敛,两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分H:这时,级数(1)在圆环H:r<|z-a||z|>r≥0 内解析,则称点∞为f(z)的一个孤立奇点.设点∞为f(z)的孤立奇点,利用变换 ,于是在去心邻域:(5.12)内解析，则null(1)对于扩充z平面上无穷远点的去心邻域 N-{∞},有扩充z/平面上的原点的去心邻域; (2)在对应点z与z/上,函数(3)或两个极限都不存在.注：null定义5.5 若z/=0为的可去奇点(解析点)、m级极点或本性奇点,则相应地称z=∞为f(z)设在去心邻域内将展成罗朗级数:的可去奇点(解析点)、m级极点或本性奇点.null定理5.3/ (对应于定理5.3)f(z)的孤立奇点z=∞为可去奇点的充要条件是下列三条中的任何一条成立: (1)f(z)在的主要部分为零; (2) (3)f(z)在的某去心邻域N-{∞}内有界.null定理5.4/(对应于定理5.4)f(z)的孤立奇点z =∞为m级极点的充要条件是下列三条中的任何一条成立: (1) f(z)在 z=∞的主要部分为(2) f(z)在z =∞的某去心邻域N-{∞}内能表成(3) g(z)=1/ f(z)以z =∞为m级零点(只要令g(∞)=0).其中在z =∞的邻域N内解析,且null定理5.5’(对应于定理5.5) f(z)的孤立奇点∞为极点的充要条件是定理5.6’(对应于定理5.6) f(z)的孤立奇点∞为本性奇点的充要条件是下列任何一条成立: (1)f(z)在z=∞的主要部分有无穷多项正幂不等于零广义不存在(即当z趋向于∞时,f(z)不趋向于任何(有限或无穷)极限).(2)第四节整函数与亚纯函数第四节整函数与亚纯函数1. 整函数2. 亚纯函数1. 整函数1. 整函数在整个z平面上解析的函数f(z)称为整函数. 设f(z)为一整函数,则f(z)只以z=∞为孤立奇点,且可设null定理5.10 若f(z)为一整函数,则 (1)z=∞为f(z)的可去奇点的充要条为:f(z)=c. (2)z=∞为f(z)的m级极点的充要条件:f(z)是一个m次多项式(3)z=∞为f(z)的本性奇点的充要条件为:展式(5.14)有无穷多个cn不等于零.(我们称这样的f(z)为超越整函数).null定义5.6 在z平面上除极点外无其他类型奇点的单值解析函数称为亚纯函数.2. 亚纯函数定理5.11 一函数f(z)为有理函数的充要条件为:f(z)在扩充平面z平面上除极点外没有其它类型的奇点.定义5.7 非有理的亚纯函数称为超越亚纯函数

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