椭圆和椭圆扇形的面积

教李研免⋯ 椭圆和椭圆扇形的面积 孙 群 〔 〕文中已了圆的面积 , 本文将采用 同样的方法来推导椭圆以及椭圆扇形 的面积公式 。 我们假设读者只学过《解析几何 》以及一些基本的极限知识 。 一 〔 〕已经证明了以定长 为半径的圆的面积为 二 。 ’ , 现在我们把圆面积公式展开成 另一种形状的级数 设 已知圆的方程为 工 夕 如果记这个圆的面积为 , 那么有 一 卜 ‘“ “才 叉 一 。一“ ”一 、, 一 证明 由于圆关于坐标轴对称 , 所以只考虑它在第一象限的部分 ”等分〔。 , 〕, 则每一等分〔男 一 , ‘ “ 〕的 长为奋 其中为 ” , 一 并注意 。 口 , 一 其佘 一 个分点设为 戈儿 戈 一 “ ’ ‘ ” 月 一 “ 一 ,一扩 一一 则有 户 , 八 广 从而得相应的 , , 为 ” 二 参了乞 几五豆 夕 , “ 矛亿 “一 含 , ⋯ ⋯ 。、 参侧矛 面二 , 刀 。 一 作内接矩形 △ , , 二 芬“户二 一 口心的 △ , · 一 △’ · · ⋯△ , · , 则其面积分别是 △ 二 备侧乞丽 几 豆 ‘ △ “ 绘俨乏。二厄 乙 一 ‘ ⋯⋯ , ⋯ , ‘ ⋯⋯, △“ 笋丫砰平 △ 竺, 绘丫护矿二丈砂五介 乙 一 设这些矩形的面积为 。 , 则 一 ” 一 一 艺 △、一 笋艺 、矛 , 几 · 一 寿一 这种用加倍等分点的方法等分〔 , 〕, 即增加的分点是前一次所分 各线段的中点 的做法 , 当分点无限增加时 , 即。一 。时 , 如果反。的极限存在 , 那么这个极限就是圆面 积的久 , 即 一 一 手 , 兜“一 。 黑笋艺 侧 二 事实上 , 由于 一 个 。 “ , 二笋艺 、 “ 。 厂一一一 一一一协二 扁飞 孙 侧砰 一 十 训严 左 一 分异 · ⋯ ⋯ 十 ““ , 二 “ “ ‘ 从一目 一 —一产 “ 个 故数列 。有界 如果在 ’等分〔 , 〕的基础上 , 又增加 了一次等分 点 , 即 抢 ‘等 分【 , 〕, 这 就是在 ”等分〔 , 〕的每一等分〔二 、一 , 二月中又增加一个分点劣 、‘ , 这 个 点 犷就是 〔二 、一 , 劣日的中点 , 图一 , 从而可知 二 工 、 。 兀 一 , 。 田 了 舌一 二 二 汀 气 “ 一 , “ ,乙 几 , 萝斥 “ , 所以 劣 石面不 ‘ 匕 一 显然有 大‘一 , 义么 料 食食食食 玛玛玛玛 从从 由于 夕‘一 , 萝记 一 一 ’ 。 二 多斌乏可二而‘ 。 ·参价万万砚下 故有 夕 刀 六 刀几一 可以求得矩形 尸 尸 一 的面积为 △左 梦左 续侧沪二 兀二 乙 一 一尸‘之﹂‘ 由于〔 一 二日中增加一个分点二工, 把矩形 、 。尸 。一 , 换成两个矩形 尸 , 及口 ‘ 尸 , 一 , 的面积 , 依次可表达为 △尸 鑫 矛醉 夕 、一 “ 士 侧 ” 一 “ △,, 二 从而可知 △ 左 △气 所以 止 了 夕 , 人一 土 瓦丁一一丁一 几飞 , ‘ 一 ” 一 气 召 一 一二 , 艺 萍 ‘ , ‘ “ , 疥 , 二 共 盏二 △‘ 九一 勺‘ ‘ 二 △‘ 、十 △“ 壳 叉 △ 庵一 其中 △义, 。 ‘ 注意到 , 二 上人 “ 一 叉 △ 掩, ” 一 , 砚, , 广 乙 尹了 一 人 另一方面 淤熟 一 污 一 ,‘ , 艺 “ 伟 户 了 ” 少’ , 一 无 “ , 一 艺 丈’ 侧 艺 士‘ 一 , , ” , 一 艺 寿, 丫 , , 疙豆万蔺而 犷 了 士王 一 一 邹 以上记号表示在夕 , , 不 的表达式中 , 有 偶数项集中在第尸式「奇数项集中 在 第二式 , 那么 孔一 艺声一 侧 “ 一 念 、矛 二万万万 万万万 一 ‘ 砰丁 户 一 厂 气 月 一 百 夕 一 ” 艺 ‘ △‘ 冷 △气 其中 △雀。 井 。 所以 十 , 这就证明了当 ”无限增大时 , 为 , 叭凋上升数列 , 且有上界 , 从而可 知今有极 限 , 这 个极限就是圆面积的遗一 ,气而公式 得证 。 ‘ 一 由公式 , 容易得到 推味仑 园周率 二 可丧示为下面的形式的级数 力 一 兀 , ‘ , 。 二 二于二 言下 ‘ ’‘ 一 秃‘‘曰 ‘ ’‘ “ 十阅 · 二 设椭园的方程为 其中 。 , 一 兴 那么椭园的面积 , 为 匆一 “ ‘ ·“ ,兜艺声训厕平 召 秃· 气 证明 由于椭园关于坐标轴对称 , 故也只要考虑在第 , 象限的部分 。 , 和推导园的公式 类似方法进行 , 仍然把 〔 , 。 〕进行 ”等分 , 且等分点用加 倍的方法无限增加时 , 即 ” , 所作内接矩形面积之和的极限 , 如果这个极限存在 , 则 它就是椭园面积的壹 。 · 、 设 , , 等分 〔 , △。 , ⋯ △ 。 表示 , , , 则每一等分 〔为‘ 一 , 寿 」的 长 为 沙“ , 内 接 矩 婚 用 △‘ , 完全与园的情况一样 , 可 以得到 △ 一 井亿 △ 攀、 ‘ 二 , , ⋯ , ⋯, 甲 △ ‘ 打二 ‘ ⋯ ⋯ △ 妇一 把它们的和记为 ” , 则 侧 么 ”“ ”一 岛 么 些‘、 几 训 “ ” 一 工 , ,曰 扑﹃﹄、尸 ,曰,‘介 当 , 时 , 么的极限存在 , 从而公式 得证 。 由此容易推得 如果椭园的半长轴为 , 半矩轴为 , 兀 那么它的面积 有下面公式 由 一 中推论及公式 立刻可得上述结论 。 从而容易得到下面的推论 推论 如果已知园的半径为 , 椭园的半长轴为 ‘与园的面积 之 比等于半短轴 与半长轴 之 比 , , 半短轴为 , 那么椭 园的面积 旦 三 由上述证明方法稍加改 动就可得椭园 扇形的面积公式 若用 〔久。 、 。 〕 其中 。 几 代替上面所述的 〔 。 , 。 〕, 则可以求得公 式 , 图二 件 一 架艺声。不石医不户 粤 甲 一 “ ‘ 切 ’ · 其中拼十 久 事实上 , 由上述分法知 一 几 口 拼 各 则得 为 工 拼。 劣 一 , 一 拼习 臼 一户 ︸今自 一一 夕 燕了玄“ 石乏玄 乙 ‘ 夕 参侧“ ” 一 拼 , 夕 ’‘一参了矛‘五牙不 了下万‘一 丝户则有 △寿 训矛砚灭面巧 ‘ 若弓形 面积记为言弓则 ”一 、 二 二 艺贾了 。〔 硬而两云 左一 另一方面‘。 合。 一合, · ’ 。 , 合 。 ‘ 一 ‘ ’ , 从而得 “ 一 勺 卫些 今的 石曰 “ ”侧 艺九 一 寿拜 , , 丁 气甲 一 人 “ 甲 ‘ · 由公式 可以推导椭圆弓形 的面积 弓 。 鲍一 。 戈 , 拜 , 一 百弓 “ 二‘ 丁认 井二竺训 , 妇 一 寿“ 盆一 ‘ 叮冲阅 ‘‘ ” ’ “ 、 曰 尸 一 石 气 切 一 几 一 卯 少 ‘ 又 丫 弓 弓 △ 面积 二 奋几’。 ’ 切一一 ’ 一 ’ 一 ’ ‘ , 。 。 。 , , 。 , , 压刀口 七 四 公屯 不 人 一 “ 工 口 ‘ 又 粼字 及 亿 二丁 盈 义 乙一 一一 ︸日︷切一杏‘奋‘ 从而 △ 面积 五 △ 面积 ’ 这样得 扇 扇 这里 扇表示椭圆扇形 之面积 , 厅扇表示园扇形 之面积 , 从而 。 扇 — 二 一 己 扇 万 下 一 切‘ 一 碧一 , 考‘ “ 由公式 我们就可以计算椭圆上任意 弧段所张的扇形的 面 积 , 例 如 图三 中 弧 ‘尸 , 、 。 ‘ 互 尺 所张的扇形 可以通 过弧 产 及刀 ‘ 所 张 之扇形面积 , 来计算 , 事实上 一 一 一 “ ’ 图 三 参考资料 〔见 〕孙群 《圆的周长和面积 》《青海师范学院学报 》 自然版 年第一期 。