高三同步测控优化训练数学A：导数A卷（附答案）

第三章 导数 第一单元 导数 ●知识网络 ●范题精讲 【例1】 已知曲线y= 和这条曲线上的一点P(2, ),判断曲线y= 在点P处是否有切线,如果有,求出切线方程. 分析一:本题考查导数的几何意义.对斜率存在的情况,可将切线是否存在的问题转化为研究割线PQ的斜率的极限问题,因而可先求出函数的增量Δy,写出kPQ,再讨论kPQ的极限. 解法一:在曲线y= 上点P附近取一点Q.设Q点的横坐标为2+Δx,则点Q的纵坐标为 . ∴函数的增量Δy= . ∴割线PQ的斜率 . ∴Δx→0时,kPQ有极限为 ,这明曲线y= 在点P处有切线,且切线的斜率是 ,由点斜式可得切线方程为y－ = (x－2),即 x－4y+2 =0. 分析二:函数y= 是可导的.对y= 求导,就得到曲线y= 的切线的斜率.在x=2处切线的斜率就是导函数在该点处的函数值. 解法二:y′=( )′= . ∴y′|x=2= . 由点斜式可得在P点处切线的方程为y－ = (x－2), 即 x－4y+2 =0. 评注:本题主要考查导数的几何意义.过曲线上一点P,若存在切线,则切线是过该点的割线PQ的极限位置,从而反映了事物之间量变到质变的辩证关系. 【例2】 求函数y=lg(1+cos2x)的导数. 分析:求复合函数的导数关键在于分清函数的复合关系,选好中间变量.复合函数的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.解题的过程不必写出中间步骤,可直接运算. 解:由y=lg(1+cos2x)得 :可先把1+cos2x化简为2cos2x,再求导. 评注:对复合函数的求导,关键是要分清函数的复合过程.中间变量选取的依据是该变量是我们熟悉的导数公式的形式.我们要牢记导数的运算法则和常见函数的导数.注意观察分析函数的结构形式,有的题目经过同解变形后再求导更简单. 【例3】 物体的运动方程是s=－ t3+3t2－2,求物体在t=3时的速度. 分析:以题目的物理意义为切入点,即瞬时速度是位移函数s(t)对时间t的导数,同时应掌握常见函数的导数及导数的运算法则. 解:∵s=－ t3+3t2－2, ∴s′=－ ×3t2+3×2t=－ t2+6t. ∴s′|t=3=－ ×32+6×3=15, 即物体在t=3时的速度为15. 评注:掌握导数的物理意义,即s(t)对t的导数是t时刻的瞬时速度.v(t)对t的导数是t时刻的加速度.学会用数学的方法解决物理问题,以培养学生的应用能力. ●试题详解 高中同步测控优化训练(五) 第一单元 导数(A卷) 说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分,考试时间90分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共30分) 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为 A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44 分析:本题主要考查如何求函数的增量. 解:由函数值的增量公式Δy=f(x0+Δx)－f(x0), 得Δy=f(2+0.1)－f(2)=(2+0.1)2+1－(22+1)=0.41. 答案:B 2.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y+1=0,则 A.f′(x0)>0 B.f′(x0)=0 C.f′(x0)<0 D.f′(x0)不存在 分析:本题考查导数的几何意义.曲线在点x=x0处的导数,即为切线的斜率. 解:切线的方程为2x+y+1=0,即y=－2x－1, 斜率为－2,故曲线在x=x0处的导数为－2, 即f′(x0)=－2<0. 答案:C 3.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)－f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a、b为常数),则 A.f′(x)=a B.f′(x)=b C.f′(x0)=a D.f′(x0)=b 分析:本题主要考查导数的概念. 解:∵f(x0+Δx)－f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a、b为常数),∴ =a+bΔx. ∴f′(x0)= EMBED Equation.3 = (a+bΔx)=a. 答案:C 4.下列四个命题中,正确命题的个数为 ①若f(x)= ,则f′(0)=0 ②若函数f(x)=2x2+1,图象上点(1,3)的邻近一点为(1+Δx, 3+Δy),则 =4+2Δx ③加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数 ④曲线y=x3在(0,0)处没有切线 A.1 B.2 C.3 D.4 分析:本题考查导数的定义及导数的几何意义、物理意义. 解:①中,f′(x)= 在x=0处无导数; ③中,s(t)对时间t的导数为动点在某时刻的瞬时速度; ④中,曲线在(0,0)处的切线为x轴. 故只有②正确. 答案:A 5.函数y=xcosx－sinx的导数为 A.xsinx B.－xsinx C.xcosx D.－xcosx 分析:本题主要考查两个函数的差的导数的运算法则,即两个函数差的导数等于它们的导数的差. 解:y′=(xcosx)′－(sinx)′=x′cosx+x(cosx)′－cosx=cosx－xsinx－cosx=－xsinx. 答案:B 6.已知函数y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2=0平行,则y′|x=2等于 A.－3 B.－1 C.3 D.1 分析:本题主要考查导数的几何意义,即函数y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率是y= f′(x0). 解:∵函数在点(2,1)处的切线的斜率等于直线3x－y－2=0的斜率,∴y′|x=2=3. 答案:C 7.设f(x)= (x≠－1),则f′(x)等于 A.3x2－2x+1 B.3x2+2x+1 C.3x2－2x－1 D.x2－2x+1 分析:本题主要考查积、商函数的导数.可直接求导,也可先将函数变形,化成更便于求导的形式,这样可减少运算量. 解法一:f′(x)= =3x2－2x－1. 解法二:∵f(x)= =(x+1)(x－1)2=x3－x2－x+1, ∴f′(x)=3x2－2x－1. 答案:C 8.数y=sin2x在点M( )处的切线斜率为 A.－1 B.－2 C.1 D.2 分析:本题主要考查常见函数的导数及导数的几何意义. 解:∵y′=(sin2x)′=cos2x(2x)′=2cos2x, ∴ . 答案:C 9.函数y=exlnx的导数是 A.y′= B.y′=exlnx C.y′=exlnx+ D.y′= 分析:本题主要考查两个函数积的导数.我们要准确记忆指数与对数函数的导数. 解:y′=(ex)′lnx+ex(lnx)′=exlnx+ . 答案:C 10.若曲线y=x2－1与y=1－x3在x=x0处的切线互相垂直,则x0等于 A. B.－ C. D. 或0 分析:本题主要考查导数的几何意义及两直线垂直的位置关系,即若两直线的斜率都存在,则它们垂直的条件是斜率的乘积等于－1. 解:因为两直线垂直且导数都存在且分别为y′=2x,y′=－3x2,所以(2x)·(－3x2)=－1, 即x= . 答案:A 第Ⅱ卷(非选择题 共70分) 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在横线上) 11.已知曲线y= －1上两点A(2,－ )、B(2+Δx,－ +Δy),当Δx=1时,割线AB的斜率为__________. 分析:本题考查直线斜率的求法,割线的斜率k= . 解: . ∴ , 即k= . ∴当Δx=1时,k=－ =－ . 答案:－ 12.设f(x)=sin2 ,则f′(x)=__________. 分析:本题主要考查复合函数的导数.解题的关键是搞清函数的复合关系. 解:f′(x)=2sin ·(sin )′=2sin cos ( )′=－ sin . 答案: 13.若曲线y=－x3+3与直线y=－6x+b相切,则b为__________. 分析:本题考查导数的几何意义.关键是确定曲线上哪一点的导数等于－6. 解:y′=－3x2. 令y′=－3x2=－6,得x=± . 把x= 代入曲线方程中,得y=3－2 . 把x=－ 代入曲线方程中,得y=3+2 . 因为曲线与直线y=－6x+b相切,所以切点也在直线y=－6x+b上. 分别把( ,3－2 )、(－ ,3+2 )代入直线方程中,得b1=3+4 ,b2=3－4 . 答案:3±4 14.若f′(x0)=1,则 =__________. 分析:本题考查导数的定义及极限的运算法则.根据导数的定义式,把原式进行一系列变形,凑定义式的结构形式.至于用什么字母或符号表示自变量增量无关紧要. 解: . 答案:－ 三、解答题(本大题共5小题,共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题10分)求函数y= 的导数. 分析:本题主要考查导数的概念.可直接运用导数的运算法则求解,也可用导数的定义求解,若用定义求解时,应先求函数值的增量Δy,再求平均变化率 ,最后求极限,得导数. 解法一:∵y= ,∴y′= . 解法二:∵Δy= , 4分 ∴ . 6分 ∴ = ［－4· ］=－ . ∴y′=－ . 10分 16.(本小题10分)设函数f(x)=ax3+3x2+2,若f′(－1)=4,试求a的值. 分析:本题考查利用导数求的值.解题的关键是利用导数会列参数的方程. 解:∵f(x)=ax3+3x2+2,∴f′(x)=(ax3)′+(3x2)′ 4分 =3ax2+6x. 6分 ∵f′(－1)=4,∴3a－6=4. 8分 ∴a= . 10分 17.(本小题10分)求函数y=( +1)( －1)的导数. 分析:本题主要考查函数的和、差、积的导数,培养灵活地处理问题的能力.可以整体运用u·v型求导公式,也可先把函数式展开变形后再求导.做一做,比较一下. 解法一:∵y=( +1)( －1), ∴y′=( +1)′( －1)+( +1)( －1)′ 5分 = ( －1)－( +1) 7分 =－ (1+ ). 10分 解法二:y=( +1)( －1)= . ∴ . 18.(本小题12分)设f(x)= 试讨论当a、b为何值时,f(x)在x=1处可导. 分析:本题考查分段函数在接点处的导数.需依据导数的定义,分别求解此函数在接点处的左导数与右导数. 解:要使f(x)在x=1处可导,则f(x)在x=1处必连续, 则 f(x)=f(1),即a+b=1. 3分 又若 EMBED Equation.3 存在,则当x=1时,有 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . 6分 ∵ EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = (2+Δx)=2, EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =b, 9分 ∴b=2,a=－1, 即当a=－1,b=2时,函数f(x)在x=1处可导. 12分 19.(本小题12分)已知抛物线y=ax2+bx+c通过点(1,1),且在点(2,－1)处与直线y=x－3相切,求a、b、c的值. 分析:本题考查导数的几何意义.函数在x=2处的导数等于直线y=x－3的斜率.由题意构造出关于a、b、c的方程组,然后求解. 解:∵f(1)=1,∴a+b+c=1. ① 2分 又f′(x)=2ax+b, ∵f′(2)=1,∴4a+b=1. ② 5分 又切点(2,－1),∴4a+2b+c=－1. ③ 8分 把①②③联立得方程组 解得 11分 即a=3,b=－11,c=9. 12分 _1170242971.unknown _1170243722.unknown _1170244018.unknown _1170244554.unknown _1170496902.unknown _1170496943.unknown _1170496960.unknown _1170244555.unknown _1170244203.unknown _1170244256.unknown _1170244328.unknown _1170244484.unknown _1170244553.unknown _1170244552.unknown _1170244433.unknown _1170244286.unknown _1170244162.unknown _1170244067.unknown _1170243818.unknown _1170243931.unknown _1170243966.unknown _1170243984.unknown _1170243850.unknown _1170243920.unknown _1170243770.unknown _1170243809.unknown _1170243738.unknown _1170243748.unknown _1170243734.unknown _1170243334.unknown _1170243550.unknown _1170243617.unknown _1170243720.unknown _1170243721.unknown _1170243686.unknown _1170243584.unknown _1170243510.unknown _1170243548.unknown _1170243364.unknown _1170243468.unknown _1170243171.unknown _1170243233.unknown _1170243273.unknown _1170243333.unknown _1170243255.unknown _1170243187.unknown _1170243194.unknown _1170243035.unknown _1170243102.unknown _1170243136.unknown _1170243146.unknown _1170243099.unknown _1170243034.unknown _1170242982.unknown _1170241771.unknown _1170242328.unknown _1170242689.unknown _1170242830.unknown _1170242906.unknown _1170242969.unknown _1170242970.unknown _1170242968.unknown _1170242871.unknown _1170242763.unknown _1170242530.unknown _1170242659.unknown _1170242340.unknown _1170242041.unknown _1170242102.unknown _1170242155.unknown _1170242327.unknown _1170242101.unknown _1170241874.unknown _1170242040.unknown _1170241790.unknown _1170241270.unknown _1170241388.unknown _1170241561.unknown _1170241653.unknown _1170241668.unknown _1170241422.unknown _1170241305.unknown _1170241342.unknown _1170241387.unknown _1170241336.unknown _1170241304.unknown _1170241279.unknown _1170241096.unknown _1170241268.unknown _1170241269.unknown _1170241224.unknown _1170241240.unknown _1170241141.unknown _1170240855.unknown _1170240909.unknown _1170240808.unknown _1170240508.unknown