高三同步测控优化训练数学A：导数B卷（附答案）
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高三同步测控优化训练数学A：导数B卷（附答案）
高中同步测控优化训练(六)
第一单元 导数(B卷)
说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分,考试时间90分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.设函数f(x)在x=x0处可导,则
A.与x0、h都有关
B.仅与x0有关，而与h无关
C.仅与h有关,而与x0无关
D.与x0、h均无关
分析:本题考查导数的定义.在导数的定义式中,自变量增量可正、可负,但不为0.导数是一个局部...
高中同步测控优化训练(六)
第一单元 导数(B卷)
说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的填入题后括号内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分,考试时间90分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.设函数f(x)在x=x0处可导,则
A.与x0、h都有关
B.仅与x0有关，而与h无关
C.仅与h有关,而与x0无关
D.与x0、h均无关
分析:本题考查导数的定义.在导数的定义式中,自变量增量可正、可负,但不为0.导数是一个局部概念,它只与函数在某一点及其附近的函数值有关,与自变量增量无关.
答案:B
2.曲线y=f(x)在点(0,0)处的导数的值是－1,则过该点的切线一定
A.平行于Ox轴
B.平行于Oy轴
C.平分第一、三象限
D.平分第二、四象限
分析:本题考查曲线的切线.曲线在某点处的导数,即为该点处切线的斜率.
解:因为f(x)在点(0,0)处的导数等于－1,即切线的斜率为－1.
根据直线的点斜式方程,可得y－0=－1×(x－0),即y=－x.
故它平分第二、四象限.
答案:D
3.物体自由落体运动方程为s=s(t)=
gt2,g=9.8 m/s2,若v=
=g(m/s),那么说法正确的是
A.9.8 m/s是在0~1 s这段时间内的速率
B.9.8 m/s是从1 s到(1+Δt) s这段时间内的速率
C.9.8 m/s是物体在t=1 s这一时刻的速率
D.9.8 m/s是物体从1 s到(1+Δt) s这段时间内的平均速率
分析:本题考查导数的物理意义.s(t)在某一时刻的导数为在这一时刻的瞬时速度.
解:s′=
EMBED Equation.3 =
EMBED Equation.3 =
(gt+gΔt)=gt,
∴s′|t=1=g×1=g=9.8(m/s).
答案:C
4.已知曲线y1=x2, y2=x3, y3=2sinx,这三条曲线与x=1的交点分别为A、B、C,又设k1、k2、k3分别为经过A、B、C且分别与这三条曲线相切的直线的斜率,则
A.k10,
即函数在点(4,f(4))处的斜率为正值. ∴切线的倾斜角为锐角.
答案:C
9.曲线y=x3－3x上切线平行于x轴的点为
A.(0,0),(1,3)
B.(－1,2),(1,－2)
C.(－1,－2),(1,2)
D.(－1,3),(1,3)
分析:本题主要考查导数的应用.根据与x轴平行的直线的斜率为零,构造方程f′(x)=0解得x值,进一步求出交点的坐标即可.
解:y′=3x2－3,令3x2－3=0,得x=±1.
代入曲线方程得
或
答案:B
10.抛物线y=x2上点A处的切线与直线3x－y+1=0的夹角为45°,则点A的坐标是
A.(－1,1)
B.(
)
C.(1,1)
D.(－1,1)或(
)
分析:本题主要考查导数概念的灵活应用及两条直线的夹角公式.
解:设切线的斜率为k,由两条直线的夹角公式,得|
|=1.
从而k=－2或k=
.
因为y′=2x,得2x=－2,或2x=
.
所以x=－1或x=
,从而A(－1,1)或(
).
答案:D
第Ⅱ卷(非选择题 共70分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在横线上)
11.函数y=
的导数是__________.
分析:本题主要考查指数函数以及复合函数的导数.
解:设y=eμ,μ=x2, 则yx′=yμ′·μx′=(eu)′·(x2)′=eμ·2x=2x
.
答案：2x
12.函数y=ln
的导数是__________.
分析:本题主要考查对数函数以及复合函数的导数.
解:y′=
·
.
答案:
13.点P在曲线y=x3－x+
上移动,设过点P的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是__________.
分析:本题主要考查导数的几何意义,以及直线的倾斜角与斜率之间的关系.
解:∵y′=3x2－1,即tanα=3x2－1, ∴tanα∈［－1,+∞). ∴α∈［0,
)∪［
,π).
答案:α∈［0,
)∪［
,π)
14.设生产x个单位产品的总成本函数是C(x)=8+
x2,则生产8个单位产品时，边际成本是__________.
分析：本题考查导数的实际应用.当产量为q0时,产量变化Δq对成本C的影响可用
来刻画.若
=A,经济学上称A为边际成本，它明当产量为q0时，增加单位产量需付出的成本A.
解:∵C′(x)=
x, ∴C′|x=8=
×8=2.
答案:2
三、解答题(本大题共5小题,共54分.解答应写出文字说明、过程或演算步骤)
15.(本小题10分)过曲线y=x－ex上某点的切线平行于x轴,求这点的坐标及切线方程.
分析:利用导数的几何意义,先求切点,再求切线的方程.
解:∵y′=1－ex,
3分
又切线与x轴平行,∴切线的斜率k=0.
5分
∴令y′=1－ex=0,得x=0.
7分
∴切点坐标为(0,－1).
8分
∴切线方程为y=－1.
10分
16.(本小题10分)设f(x)在x=1处连续,且
EMBED Equation.3 =2,求f′(1).
分析:本题考查抽象函数在某点处的导数.根据f(x)在某点连续的定义及导数的定义求解.
解:∵f(x)在x=1处连续, ∴
f(x)=f(1).
2分
又
f(x)=
(x－1)·
=
(x－1)·
EMBED Equation.3 =0·2=0.
∴f(1)=0.
6分
根据导数的定义，得
f′(1)=
EMBED Equation.3 =
EMBED Equation.3 =2.
10分
17.(本小题10分)在曲线y=x3－x上有两个点O(0,0)、A(2,6),求弧OA上使△AOP的面积最大的点P的坐标.
分析:本题主要考查数形结合的数学思想及导数的几何意义.将点P的位置转化到与曲线y=x3－x相切且与OA平行的位置,此时点P到|OA|的距离最大.也可设点,构造目标函数求最值.
解法一:∵kOA=3,∴过弧OA上点P的直线的斜率k′=kOA=3.
2分
∴k′=y′=3x2－1=3.∴3x2=4.
6分
∴x=
或x=－
(舍去).
8分
∴x=
, y=
, 即P(
,
).
10分
解法二:设P(a,a3－a), ∵O(0,0),A(2,6), ∴直线OA的方程为3x－y=0.
点P到它的距离d=
∵0a3. ∴d2=
(4a－a3).
把d2视作一个整体, ∵(d2)′=
(4－3a2),
令4－3a2=0,得a=
或a=－
.
又∵0要求
具有某种性质的切线,只需求出对应的x0即可,一般要求出x0所需满足的方程或方程组,解之即可.
解:设直线L与C1相切于点(x1,x12), ∵y=x2,∴y′=2x.
∴y′
=2x1.
3分
∴L：y－x12=2x1(x－x1), 即y=2x1x－x12.
5分
设直线L与C2相切于点(x2,－(x2－2)2),
∵y=－(x－2)2, ∴y′=－2(x－2).
∴y′
=－2(x2－2).
7分
∴L：y+(x2－2)2=－2(x2－2)(x－x2),
即y=－2(x2－2)x+x22－4.
8分
比较L的两个方程, 应有
将x1=2－x2代入第二个方程,得－(2－x2)2=x22－4,
解得x2=0或x2=2,于是x1=2或x1=0.
10分
当x1=2,x2=0时,直线L经过两点(2,4)、(0,－4),
∴直线L的方程为y=4x－4;
当x1=0,x2=2时,直线L经过(0,0)、(2,0)两点,
∴直线L的方程为y=0.
12分
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