圆内垂直弦为对角线的四边形面积问题

sjh5551 来自爱问知识人 圆内垂直弦为对角线的四边形面积问题 问题 设圆 422 =+ yx 内互相垂直的两条弦 AC与BD交于点 )2,1(M ， 求四边形 ABCD面积的最大值与最小值. 解：设一条弦 AC斜率为 k，则方程是 kkxy −+= 2 ，代入圆的方程 422 =+ yx ，得 0222)2(2)1( 222 =−−+−++ kkxkkxk , 得 2122121 4)( xxxxxx −+=− 2 2 1 22232 k kk + ++= ， 则弦 2 2 1 22232 k kkAC + ++= . 将 k更换为 k 1− ，得弦 2 2 1 32222 k kkBD + +−= . 则四边形 ABCD的面积 2 )( BDAC kS ⋅= 2 22 1 )3222)(2223(2 k kkkk + +−++= . 即 22 234 2 )1( )6225226(4)( k kkkkkS + +++−= ， 32 2342 )1( )272672(8 d )(d k kkkk k S + +−−+= . 令 0 d )(d 2 = k S ，经观察 2=k 满足, 则 2 1−=k 也满足， 得另两根为 223−=k ， 223 −−=k . 经验证，每组根互为负倒数，两组根之间的关系是所表示的直线夹角为 o45 . 4) 2 1()2( =−= SS ， 5)223()223( =−−=− SS ， 891.462)0( ≈=S ， = ∞→ )(lim kS k 2 22 1 )3222)(2223(2 lim k kkkk k + +−++ ∞→ sjh5551 来自爱问知识人 891.462 11 )3222)(2223(2 lim 2 22 ≈= + +−++ = ∞→ k kkkk k . 故当 223−=k 或 223 −−=k 时，四边形 ABCD的面积最大， 5max =S ； 当 2=k 或 2 1−=k 时，四边形 ABCD的面积最小， 4min =S .