六西格玛中的 1.5σ偏移
刚接触六西格玛的人,往往会被 1.5σ偏移搞的焦头烂额。大多数人认
为,6σ偏移 1.5σ后,应该是 4.5σ。其实这种说法是不完全正确的。
大家知道,质量问
大多可以转化为正态分布 X~(μ,σ
2
)来研究,如
图 1所示:
1.5σ偏移可以分为两种情况,一种如图 1所示的双边规格限问题;另一种
则是只有单边规格限的问题。单边规格限又分为两种情况:
① 只有下规格限 LSL(如图 2)。特殊情况下,LSL=0(如图 3)。如位
置度、平面度、端面跳动等形位公差,
方法同图 2。
μ+σ 0 μ X
LSL USL
图 1
0 μ+σ μ X
LSL
图 2
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② 只有上规格限 USL(如图 4)。
在研究 1.5σ偏移时,单边规格限问题的两种情况(图 2、图 4),其中一
种在经过镜像、移位等处理后与另一种完全相同。故仅以后一种情况,即只有
上规格限(图 4)的情况为例来研究(后文不作特殊说明,单边规格限均指只
有上规格限)。单边规格限 1.5σ偏移问题又包括左偏移(图 5)和右偏移(图
6)两种情况(又称为正偏移和负偏移)。
μ+σ 0 μ X
USL
图 4
0 μ+σ μ X
LSL=0
图 3
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单边规格限情况下,左偏移时,不合格品率减少;右偏移时,不合格品率
增加。如果未偏移时的不合格品率用 P来
示,则
P=1-P(USL)=1-Ф
è
ç
æ
ø
÷
öUSL-μ
σ
左偏移时(图 5),σ、USL均不变,分布中心左偏移 1.5σ,即σ左′=
σ,USL 左′=USL,μ左′=μ-1.5σ。偏移后的不合格品率 P 左′为
P 左′=1-P(USL 左′)
=1-Ф
è
ç
æ
ø
÷
öUSL左′-μ左′
σ左′
=1-Ф
è
ç
æ
ø
÷
öUSL-(μ-1.5σ)
σ
=1-Ф
è
ç
æ
ø
÷
ö(USL+1.5σ)-μ
σ
μ+σ 0 μ X
USL
图 5
μ左′=μ-1.5σ
USL
μ+σ 0 μ X
图 6
μ右′=μ+1.5
σ
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令 USL 左″=USL+1.5σ,σ左″=σ,μ左″=μ,则此问题即转化为一个均值
未动,上规格限右偏移 1.5σ的正态分布问题(如图 7)。转化后的正态分布模
型中,不合格品率 P 左″为
P 左″=1-P(USL 左″)
=1-Ф
è
ç
æ
ø
÷
öUSL左″-μ左″
σ左″
=1-Ф
è
ç
æ
ø
÷
ö(USL+1.5σ)-μ
σ
=P′
右偏移时(图 6),σ、USL均不变,分布中心右偏移 1.5σ,即σ右′=
σ,USL 右′=USL,μ右′=μ+1.5σ。不合格品率 P 右′为
P 右′=1-P(USL 右′)
=1-Ф
è
ç
æ
ø
÷
öUSL右′-μ右′
σ右′
=1-Ф
è
ç
æ
ø
÷
öUSL-(μ+1.5σ)
σ
=1-Ф
è
ç
æ
ø
÷
ö(USL-1.5σ)-μ
σ
USL 左″=USL+1.5σ
USL
μ+σ 0
μ左″=μ
X
图 7
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令 USL 右″=USL-1.5σ,σ右″=σ,μ右″=μ,则此问题即转化为一个均值
未动,上规格限左偏移 1.5σ的正态分布问题(如图 8)。转化后的正态分布模
型中,不合格品率 P 右″为
P 右″=1-P(USL 右″)
=1-Ф
è
ç
æ
ø
÷
öUSL右″-μ右″
σ右″
=1-Ф
è
ç
æ
ø
÷
ö(USL+1.5σ)-μ
σ
=P 右′
若一个流程为 6σ水平时,用
正态分布模型来研究只有上规格限的单
边规格限问题,即 X~(0,1),则μ=0,σ=1,USL=6。未偏移的不合格品
率 P为
P=1-P(6)=1-Ф
è
ç
æ
ø
÷
ö6-0
1
=1-Ф(6)=9.901×10
-10
左偏移 1.5σ,即μ左′=μ-1.5σ=0-1.5=-1.5时,不合格品率 P 左′为
P 左′=1-P(USL 左′)=1-Ф
è
ç
æ
ø
÷
ö(USL+1.5σ)-μ
σ
=1-Ф
è
ç
æ
ø
÷
ö7.5-0
1
=1-Ф(7.5)=3.220×10
-14
USL 右″=USL-1.5σ
USL
μ+σ 0
μ右″=μ
X
图 8
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右偏移 1.5σ,即μ左′=μ+1.5σ=0+1.5=1.5时,不合格品率 P 右′为
P 右′=1-P(USL 右′)=1-Ф
è
ç
æ
ø
÷
ö(USL-1.5σ)-μ
σ
=1-Ф
è
ç
æ
ø
÷
ö4.5-0
1
=1-Ф(4.5)=3.401×10
-6
=3.401PPM
通常大家所说的考虑 1.5σ偏移时,6σ对应的不合格品率为 3.4PPM,即是
指这种情况——流程为 6σ水平,只有上规格限,右偏移 1.5σ(或者是只有下
规格限,左偏移 1.5σ)。对于只有上规格限,右偏移 1.5σ(或者是只有下规
格限,左偏移 1.5σ),其对应的不合格品率,可用相应的σ水平减去 1.5,查
标准正态分布表后得出。
以上讨论的是单边规格限问题,下面谈一谈双边规格限时的情况。双边规
格限又包括对称规格限(图 1)和非对称规格限两种情况。由于非对称规格限
原理与对称规格限相同,且讨论起来又较为复杂,此处仅讨论对称规格限问
题。对于非对称规格限问题,以下推导公式同样有效。与单边规格限问题一
样,对称规格限问题同样存在左偏移与右偏移两种情况,由于二者互为镜像,
所以仅以右偏移(图 9)为例来说明。用 P 双表示不发生偏移时的不合格品率,
则
P 双=P(LSL)+1-P(USL)
=Ф
è
ç
æ
ø
÷
öLSL-μ
σ
+1-Ф
è
ç
æ
ø
÷
öUSL-μ
σ
=1-Ф
è
ç
æ
ø
÷
öLSL-μ
σ
+Ф
è
ç
æ
ø
÷
öUSL-μ
σ
右偏移时,σ、LSL、USL均不变,分布中心右偏移 1.5σ,即σ′=σ,LSL
′=LSL,USL′=USL,μ′=μ+1.5σ。不合格品率 P 双′为
P 双′=P(LSL′)+1-P(USL′)
=1-Ф
è
ç
æ
ø
÷
öLSL′-μ′
σ′
+Ф
è
ç
æ
ø
÷
öUSL′-μ′
σ′
=1-Ф
è
ç
æ
ø
÷
öLSL-(μ+1.5σ)
σ
+Ф
è
ç
æ
ø
÷
öUSL-(μ+1.5σ)
σ
=1-Ф
è
ç
æ
ø
÷
ö(LSL-1.5σ)-μ
σ
+Ф
è
ç
æ
ø
÷
ö(USL-1.5σ)-μ
σ
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令 LSL″=LSL-1.5σ,USL″=USL-1.5σ,σ″=σ,μ″=μ,则此问题
即转化为一个均值未动,上下规格限均左偏移 1.5σ的正态分布问题(如图
10)。转化后的正态分布模型中,不合格品率 P 双″为
P 双″=P(LSL″)+1-P(USL″)
=1-Ф
è
ç
æ
ø
÷
öLSL″-μ″
σ″
+Ф
è
ç
æ
ø
÷
öUSL″-μ″
σ″
=1-Ф
è
ç
æ
ø
÷
ö(LSL-1.5σ)-μ
σ
+Ф
è
ç
æ
ø
÷
ö(USL-1.5σ)-μ
σ
=P 双′
若一个流程为 6σ水平时,用标准正态模型来研究双边规格限的问题,即
X~(0,1),则μ=0,σ=1,LSL=-6,USL=6。不偏移的不合格品率 P 双为
USL
μ+σ 0 μ X
图 9
μ′=μ+1.5σ LSL
USL
μ+σ 0
μ″=μ
X
图 10
LSL″=LSL-1.5σ
LSL
USL″=USL-1.5σ
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P 双=P(LSL)+1-P(USL)
=1-Ф
è
ç
æ
ø
÷
öLSL-μ
σ
+Ф
è
ç
æ
ø
÷
öUSL-μ
σ
=1-Ф
è
ç
æ
ø
÷
ö-6-0
1
+Ф
è
ç
æ
ø
÷
ö6-0
1
=2[1-Ф(6)]=1.980×10
-9
=0.002PPM
右偏移 1.5σ,即μ′=μ+1.5σ=0+1.5=1.5时,不合格品率 P 双′为
P 双′=P(LSL′)+1-P(USL′)
=1-Ф
è
ç
æ
ø
÷
öLSL′-μ′
σ′
+Ф
è
ç
æ
ø
÷
öUSL′-μ′
σ′
=1-Ф
è
ç
æ
ø
÷
ö-6-1.5
1
+Ф
è
ç
æ
ø
÷
ö6-1.5
1
=1-Ф(7.5)+Ф(4.5)
=3.401×10
-6
=3.401PPM
虽然从最后结果看,6σ水平时,双边规格限偏移 1.5σ与单边规格限偏移
1.5σ对应的不合格品率都为 3.4PPM,但是将公式都回推一步,不难发现
P 右′=1-Ф(4.5)
P 双′=1-Ф(7.5)+Ф(4.5)
代表双边规格限偏移 1.5σ的 P 双′并不等于代表单边规格限偏移 1.5σ的
P 右′,二者相差Ф(7.5)。也就是说,若求双边规格限偏移 1.5σ对应的不合
格品率,就不能只简单用相应的σ水平减去 1.5,查标准正态分布表得出。分
析表明,当σ水平大于 1.2时,两种方法计算的相对误差小于 1%;当σ水平大
于 1.8时,两种方法计算的相对误差小于 1‰;当σ水平大于 2.8时,两种方
法计算的相对误差小于 0.1‰;只有σ水平小于 0.6时,两种方法计算的相对
误差才大于 10%。故一般情况下,可以简单的用相应的σ水平减去 1.5,查标准
正态分布表,求出相应的不合格品率。但是,并非说,知道流程的σ水平,减
去 1.5就是偏移后的σ水平。分析表明,对于双边规格限的偏移问题,当不考
虑偏移、σ水平等于 6时,此种方法计算的相对误差为 1.424%;当不考虑偏
移、σ水平等于 3时,此种方法计算的相对误差高达 18.919%。故对于双边规
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格限的偏移问题,知道不考虑偏移时的σ水平,应先求出对应的不合格品率,
再反查对照表得出考虑偏移时的σ水平,亦可编制软件用逼近的方法求出。
DrinkingSnow
2003年 9月 17日
注:六西格玛管理中的 1.5σ来源说法不一,本文不作具体研究。文中的
1.5σ均可用其他数据代替分析。
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