六西格玛中的1.5σ偏移

六西格玛中的 1.5σ偏移 刚接触六西格玛的人，往往会被 1.5σ偏移搞的焦头烂额。大多数人认 为，6σ偏移 1.5σ后，应该是 4.5σ。其实这种说法是不完全正确的。 大家知道，质量问大多可以转化为正态分布 X～（μ，σ 2 ）来研究，如 图 1所示： 1.5σ偏移可以分为两种情况，一种如图 1所示的双边规格限问题；另一种 则是只有单边规格限的问题。单边规格限又分为两种情况： ① 只有下规格限 LSL（如图 2）。特殊情况下，LSL＝0（如图 3）。如位 置度、平面度、端面跳动等形位公差，方法同图 2。 μ+σ 0 μ X LSL USL 图 1 0 μ+σ μ X LSL 图 2 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com ② 只有上规格限 USL（如图 4）。 在研究 1.5σ偏移时，单边规格限问题的两种情况（图 2、图 4），其中一 种在经过镜像、移位等处理后与另一种完全相同。故仅以后一种情况，即只有 上规格限（图 4）的情况为例来研究（后文不作特殊说明，单边规格限均指只 有上规格限）。单边规格限 1.5σ偏移问题又包括左偏移（图 5）和右偏移（图 6）两种情况（又称为正偏移和负偏移）。 μ+σ 0 μ X USL 图 4 0 μ+σ μ X LSL＝0 图 3 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com 单边规格限情况下，左偏移时，不合格品率减少；右偏移时，不合格品率 增加。如果未偏移时的不合格品率用 P来示，则 P＝1－P（USL）＝1－Ф è ç æ ø ÷ öUSL－μ σ 左偏移时（图 5），σ、USL均不变，分布中心左偏移 1.5σ，即σ左′= σ,USL 左′=USL，μ左′=μ－1.5σ。偏移后的不合格品率 P 左′为 P 左′＝1－P（USL 左′） ＝1－Ф è ç æ ø ÷ öUSL左′－μ左′ σ左′ ＝1－Ф è ç æ ø ÷ öUSL－（μ－1.5σ） σ ＝1－Ф è ç æ ø ÷ ö（USL＋1.5σ）－μ σ μ+σ 0 μ X USL 图 5 μ左′=μ－1.5σ USL μ+σ 0 μ X 图 6 μ右′＝μ＋1.5 σ PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com 令 USL 左″=USL＋1.5σ，σ左″=σ,μ左″=μ，则此问题即转化为一个均值 未动，上规格限右偏移 1.5σ的正态分布问题（如图 7）。转化后的正态分布模 型中，不合格品率 P 左″为 P 左″＝1－P（USL 左″） ＝1－Ф è ç æ ø ÷ öUSL左″－μ左″ σ左″ ＝1－Ф è ç æ ø ÷ ö（USL＋1.5σ）－μ σ ＝P′ 右偏移时（图 6），σ、USL均不变，分布中心右偏移 1.5σ，即σ右′= σ,USL 右′=USL，μ右′=μ＋1.5σ。不合格品率 P 右′为 P 右′＝1－P（USL 右′） ＝1－Ф è ç æ ø ÷ öUSL右′－μ右′ σ右′ ＝1－Ф è ç æ ø ÷ öUSL－（μ＋1.5σ） σ ＝1－Ф è ç æ ø ÷ ö（USL－1.5σ）－μ σ USL 左″=USL＋1.5σ USL μ+σ 0 μ左″＝μ X 图 7 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com 令 USL 右″=USL－1.5σ，σ右″=σ,μ右″=μ，则此问题即转化为一个均值 未动，上规格限左偏移 1.5σ的正态分布问题（如图 8）。转化后的正态分布模 型中，不合格品率 P 右″为 P 右″＝1－P（USL 右″） ＝1－Ф è ç æ ø ÷ öUSL右″－μ右″ σ右″ ＝1－Ф è ç æ ø ÷ ö（USL＋1.5σ）－μ σ ＝P 右′ 若一个流程为 6σ水平时，用正态分布模型来研究只有上规格限的单 边规格限问题，即 X～（0，1），则μ＝0，σ=1，USL=6。未偏移的不合格品 率 P为 P＝1－P（6）＝1－Ф è ç æ ø ÷ ö6－0 1 ＝1－Ф（6）＝9.901×10 -10 左偏移 1.5σ，即μ左′=μ－1.5σ＝0-1.5＝-1.5时，不合格品率 P 左′为 P 左′＝1－P（USL 左′）＝1－Ф è ç æ ø ÷ ö（USL＋1.5σ）－μ σ ＝1－Ф è ç æ ø ÷ ö7.5－0 1 ＝1－Ф（7.5）＝3.220×10 -14 USL 右″=USL－1.5σ USL μ+σ 0 μ右″＝μ X 图 8 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com 右偏移 1.5σ，即μ左′=μ＋1.5σ＝0＋1.5＝1.5时，不合格品率 P 右′为 P 右′＝1－P（USL 右′）＝1－Ф è ç æ ø ÷ ö（USL－1.5σ）－μ σ ＝1－Ф è ç æ ø ÷ ö4.5－0 1 ＝1－Ф（4.5）＝3.401×10 -6 ＝3.401PPM 通常大家所说的考虑 1.5σ偏移时，6σ对应的不合格品率为 3.4PPM，即是 指这种情况——流程为 6σ水平，只有上规格限，右偏移 1.5σ（或者是只有下 规格限，左偏移 1.5σ）。对于只有上规格限，右偏移 1.5σ（或者是只有下规 格限，左偏移 1.5σ），其对应的不合格品率，可用相应的σ水平减去 1.5，查 标准正态分布表后得出。 以上讨论的是单边规格限问题，下面谈一谈双边规格限时的情况。双边规 格限又包括对称规格限（图 1）和非对称规格限两种情况。由于非对称规格限 原理与对称规格限相同，且讨论起来又较为复杂，此处仅讨论对称规格限问 题。对于非对称规格限问题，以下推导公式同样有效。与单边规格限问题一 样，对称规格限问题同样存在左偏移与右偏移两种情况，由于二者互为镜像， 所以仅以右偏移（图 9）为例来说明。用 P 双表示不发生偏移时的不合格品率， 则 P 双＝P（LSL）＋1－P（USL） ＝Ф è ç æ ø ÷ öLSL－μ σ ＋1－Ф è ç æ ø ÷ öUSL－μ σ ＝1－Ф è ç æ ø ÷ öLSL－μ σ ＋Ф è ç æ ø ÷ öUSL－μ σ 右偏移时，σ、LSL、USL均不变，分布中心右偏移 1.5σ，即σ′=σ,LSL ′=LSL，USL′=USL，μ′=μ＋1.5σ。不合格品率 P 双′为 P 双′＝P（LSL′）＋1－P（USL′） ＝1－Ф è ç æ ø ÷ öLSL′－μ′ σ′ ＋Ф è ç æ ø ÷ öUSL′－μ′ σ′ ＝1－Ф è ç æ ø ÷ öLSL－（μ＋1.5σ） σ ＋Ф è ç æ ø ÷ öUSL－（μ＋1.5σ） σ ＝1－Ф è ç æ ø ÷ ö（LSL－1.5σ）－μ σ ＋Ф è ç æ ø ÷ ö（USL－1.5σ）－μ σ PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com 令 LSL″=LSL－1.5σ，USL″=USL－1.5σ，σ″=σ,μ″=μ，则此问题 即转化为一个均值未动，上下规格限均左偏移 1.5σ的正态分布问题（如图 10）。转化后的正态分布模型中，不合格品率 P 双″为 P 双″＝P（LSL″）＋1－P（USL″） ＝1－Ф è ç æ ø ÷ öLSL″－μ″ σ″ ＋Ф è ç æ ø ÷ öUSL″－μ″ σ″ ＝1－Ф è ç æ ø ÷ ö（LSL－1.5σ）－μ σ ＋Ф è ç æ ø ÷ ö（USL－1.5σ）－μ σ ＝P 双′ 若一个流程为 6σ水平时，用标准正态模型来研究双边规格限的问题，即 X～（0，1），则μ＝0，σ=1，LSL＝-6，USL=6。不偏移的不合格品率 P 双为 USL μ+σ 0 μ X 图 9 μ′＝μ＋1.5σ LSL USL μ+σ 0 μ″＝μ X 图 10 LSL″=LSL－1.5σ LSL USL″=USL－1.5σ PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com P 双＝P（LSL）＋1－P（USL） ＝1－Ф è ç æ ø ÷ öLSL－μ σ ＋Ф è ç æ ø ÷ öUSL－μ σ ＝1－Ф è ç æ ø ÷ ö－6－0 1 ＋Ф è ç æ ø ÷ ö6－0 1 ＝2[1－Ф（6）]＝1.980×10 -9 ＝0.002PPM 右偏移 1.5σ，即μ′=μ＋1.5σ＝0＋1.5＝1.5时，不合格品率 P 双′为 P 双′＝P（LSL′）＋1－P（USL′） ＝1－Ф è ç æ ø ÷ öLSL′－μ′ σ′ ＋Ф è ç æ ø ÷ öUSL′－μ′ σ′ ＝1－Ф è ç æ ø ÷ ö－6－1.5 1 ＋Ф è ç æ ø ÷ ö6－1.5 1 ＝1－Ф（7.5）＋Ф（4.5） ＝3.401×10 -6 ＝3.401PPM 虽然从最后结果看，6σ水平时，双边规格限偏移 1.5σ与单边规格限偏移 1.5σ对应的不合格品率都为 3.4PPM，但是将公式都回推一步，不难发现 P 右′＝1－Ф（4.5） P 双′＝1－Ф（7.5）＋Ф（4.5） 代表双边规格限偏移 1.5σ的 P 双′并不等于代表单边规格限偏移 1.5σ的 P 右′，二者相差Ф（7.5）。也就是说，若求双边规格限偏移 1.5σ对应的不合 格品率，就不能只简单用相应的σ水平减去 1.5，查标准正态分布表得出。分 析表明，当σ水平大于 1.2时，两种方法计算的相对误差小于 1%；当σ水平大 于 1.8时，两种方法计算的相对误差小于 1‰；当σ水平大于 2.8时，两种方 法计算的相对误差小于 0.1‰；只有σ水平小于 0.6时，两种方法计算的相对 误差才大于 10%。故一般情况下，可以简单的用相应的σ水平减去 1.5，查标准 正态分布表，求出相应的不合格品率。但是，并非说，知道流程的σ水平，减 去 1.5就是偏移后的σ水平。分析表明，对于双边规格限的偏移问题，当不考 虑偏移、σ水平等于 6时，此种方法计算的相对误差为 1.424%；当不考虑偏 移、σ水平等于 3时，此种方法计算的相对误差高达 18.919%。故对于双边规 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com 格限的偏移问题，知道不考虑偏移时的σ水平，应先求出对应的不合格品率， 再反查对照表得出考虑偏移时的σ水平，亦可编制软件用逼近的方法求出。 DrinkingSnow 2003年 9月 17日 注：六西格玛管理中的 1.5σ来源说法不一，本文不作具体研究。文中的 1.5σ均可用其他数据代替分析。 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com