ARMA模型（钟腾龙）

null周期性建模：MA、AR和ARMA模型周期性建模：MA、AR和ARMA模型本节课的内容安排： 一、移动平均（MA）模型 二、自回归（AR）模型 三、自相关函数 四、偏自相关函数 五、自回归移动平均（ARMA）模型 六、案例演示与分析 主讲人：钟腾龙 2012.11.20一、移动平均（MA）模型一、移动平均（MA）模型1.MA（1）过程表述：null非条件均值： 非条件方差：从方差可以看出，当保持σ不变的时候，随着θ绝对值的增大，非条件方差也会随之增大，这就是解释当θ=0.95时MA（1）过程波动幅度比θ=0.45时的要大。 如图8-1所示。null若条件信息集为则MA(1)的条件均值和方差分别为：null2.MA（q）过程表述：其中，（q阶的滞后算子多项式）二、自回归（AR）模型二、自回归（AR）模型1.AR（1）过程表述用滞后算子的形式，可以写为：越大，AR（1）过程呈现出的波动情况更持久，如图8-6所示。null自回归过程已经是可逆的，但是它并没有满足协方差平稳这一特定条件， 而满足这一条件的前提是 ，其推导过程见教材p124-125满足了协方差平稳之后，便能求其非条件均值和非条件方差如下：其条件均值和条件方差：null2.AR（p）过程表述：用滞后算子的形式，可以写为：当且仅当自回归滞后算子多项式 的所有根的倒数都落在单位圆内时，AR（p） 过程才是协方差平稳的，在协方差平稳的情况下，可以写出该过程收敛的无限阶 移动平均形式：三、自相关函数三、自相关函数1.MA（1）过程自相关函数先计算自协方差函数，即自相关函数就是自协方差函数除以方差的，即nullMA(1)过程自相关函数的特征：截尾。 当时间间隔大于1，即超过MA过程的阶数时，所有自相关系数都等于0， 如图8-2和8-3所示。 MA（q）具有相同的截尾性，但是它是在时间间隔超过q时，所有自相 关系数为0.null2.AR（1）过程自相关函数先求自协方差：等式两边同乘以在τ≥1时，两边取期望值得Yule-Walker equation递归方程null已知所以有：等等其一般形式是除以方差便得自相关系数null与移动平均过程不同的是，自回归过程的自相关系数会呈现 逐渐衰减的特征。只有时间间隔趋近于无穷大时、自相关系 数取极限时，它的值才会趋近于零。 若 为正数，自相关系数呈现直接衰减，若其为负数，自相关 系数呈现上下震荡衰减， 越大，图形持续更久，如图8-7和8-8 所示。四、偏自相关函数四、偏自相关函数1.MA（1）过程的偏自相关函数MA(1)过程可逆的条件：或者，移动平均滞后算子多项式的倒数 根的绝对值必须小于1(移动平均过程的推导（略）见教材p120)MA(1)的自回归表达式为：结论：因为偏自相关系数恰好是自回归方程对应的系数，，所以MA（1）过程的 偏自相关函数会逐渐衰减到零，如果θ＞0，则衰减模式呈现震荡衰减，否 则呈现为单侧衰减。 Θ越大时，对应的衰减比较缓慢，如图8-4和8-5所示。null2.AR（1）过程偏自相关函数呈现一个截尾的特征，当时间间隔超过了1，则偏自相关系数为0， 如图8-9和8-10所示。：MA（q）自相关函数具有截尾的特点，但是偏自相关函数是逐渐衰减的， AR（p）是相反的，自相关函数是逐渐衰减的，而偏自相关系数函数具有截尾 的特点。五、自回归移动（ARMA）模型五、自回归移动（ARMA）模型ARMA（1,1）表述用滞后算子形式表示为：平稳性条件为 ，可逆性条件是可以得到移动平均过程表达式和自回归过程表达式如下：null同自回归过程和移动平均过程一样，ARMA过程也有恒定的非条件均值 和随时间变化的条件均值；与纯移动平均或纯自回归过程不同的是，ARMA 过程的自相关系数和偏自相关系数都不会在任何特定的时间间隔时截尾， 相反，它们会依赖于ARMA过程呈现出严格的逐渐衰减模式。由于同时考虑到移动平均成分和自回归成分，ARMA模型通常只需要 较少的参数就可以给出精确的Wold表述的近似值，也就是说ARMA模 型通常具有既简练又精度高的特点。这可以在后面的案例中可以看出 来。六、案例演示与分析六、案例演示与分析1 模型的识别：自相关函数和偏自相关函数是识别ARMA模型最主要的工具，我们可以 利用其来识别模型和定阶。也就是说可以帮助我们选择是AR、MA还是 ARMA，以及决定p和q的大小。例1 序列pt是某国1960-1993年GNP平减指数的季度时间序列，共136个 观测值（易p135）。要求对平稳序列iilpt进行模型识别，然后建立模型， 最后对你建立的模型进行检验。null偏自相关系数在k=2后便很快地趋于0，所以取p=2，自相关系数在k=1时显著不 为0，k=3时也与0有显著差异，可考虑q=1或q=2，所以建立ARMA(2，1)或ARMA(2,2) 模型。null2 模型的参数估计（1）建立ARMA（2,1）模型的估计结果null（2）建立ARMA（2,2）模型的估计结果其调整后的R2为0.2543，小于前面ARMA（2,1）模型中的0.2691，而AIC和 SC分别为-8.1627和-8.0754，分别大于ARMA（2,1）模型中的-8.1803和-8.1148,， 所以可以认为ARMA（2,1）模型更合适。null3 模型检验参数估计后，应对模型进行检验，即对模型的残差序列进行白噪声检验， 若残差序列不是白噪声序列，意味着残差序列还存在有用的信息没有被 提取，需要进一步改进模型。检验原理：检验残差序列的随机性，即滞后期k≥1，残差序列的样本 自相关系数应近似为0.检验： 1.直观法。自相关分析图中给出了显著性水平为0.05时的 置信带，自相关系数落入置信区间内表示与0无显著差异，如果几乎 所有自相关系数都落入随机区间，可认为序列是纯随机的。则残差序列 服从白噪声分布。 2.残差序列的卡方检验。null残差序列样本量n=132，最大滞后期可以取130/10，即k=13， 相应的检验统计量Q值为7.5961，拒绝原假设犯第一类错误的 概率是0.668，即残差序列相互独立即为白噪声的概率较大，故 不能拒绝序列相互独立的原假设，检验通过。用直观法，也可以证明是通过检验的。null4模型的预测ARMA模型采用L步预测，即根据已知n个时刻的序列观测值y1,y2,…yn,对 未来的n+L个时刻的序列值做出估计，线性最小方差预测是常用的一种方法， 其主要思想是使预测误差的方差达到最小。例2 利用我国1990年1月至1997年12月工业总产值的月度资料（1990年不变 价格），记作IPt，共有96个观测值，对序列IPt建立ARMA模型。1.时间序列特征分析做统计分析图，看是否有趋势性和季节性，如果有，要将它们消除。null消除了趋势和季节性之后的序列silip的自相关和偏自相关分析图。null2 模型识别因为经过一阶逐期差分，序列趋势消除，故d=1，经过一阶季节差分，季节性 消除，故D=1，所以选用ARIMA（p，d，q）（P,D,Q）s模型，根据上图， P=2或p=3合适，自相关图显示q=1.考虑到AR模型是线性方程估计，相对于MA和ARMA模型的非线性估计容易， 且参数意义便于解释，故实际建模时希望用高阶的AR模型替代相应的MA或 ARMA模型。综合考虑，可供选择的（p,q）组合有（3,1）（4,0）（2,1）（3,0）由k=12时， 样本自相关和偏自相关系数都不显著不为0，所以P=Q=1.null3 模型建立1.ARIMA（3,1,1）（1，1，1）12ls d(log(ip),1,12) ar(1) ar(2) ar(3) ma(1) sar(12) sma(12)null2.ARIMA（4,1,0）（1，1，1）12ls d(log(ip),1,12) ar(1) ar(2) ar(3) ar(4) sar(12) sma(12)null3.ARIMA（2,1,1）（1，1，1）12ls d(log(ip),1,12) ar(1) ar(2) ma(1) sar(12) sma(12)null4.ARIMA（3,1,0）（1，1，1）12ls d(log(ip),1,12) ar(1) ar(2) ar(3) sar(12) sma(12)nullnull4 预测利用ARIMA（2,1,1）（1，1，1）12模型对我国1998年工业总产值进行预测， 首先，扩展样本器 expand 1990:1 1998:12