不等式sinx...引申出的诸问题

不等式的引申出的诸问题 不等式 引申出的诸问题 王永洪 （北京市海淀区北京理工大学机电学院，100081） 在高三数学选修教材中，导数 中隐含着重要极限 ，而导数的极值定理得到不等式 （ ），于是围绕这个形式上简单的不等式及其过程引申出诸多的数学问题和思想方法。其主要是将导数与不等式、极限结合用于函数和数列问题，蕴含着实数无穷小分析的基本原理与辨证方法。以下论述的关于这个不等式延伸的两个问题蕴含典型的分析学原理，这些问题是在已有的一些结果基础上类比猜想，并经过严格证明得到。在这些问题进行论述之前，有必要将不等式 ( )的进行深入的推广。 首先，由不等式 ，和 （ ）利用导数可以证明： ，接着利用这个不等式，即可证明： MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT (0.1) 另外，利用导数可证明的不等式 ，之所以要引入这些不等式，是因为下面的问题解答是需要求个别函数极限，并且利用这些不等式来证明一些稍复杂的不等式。 例 AUTONUM \* Arabic ：（ AUTONUM \* ROMAN ）已知 对于任意 的实数 都成立， ，求 的取值范围． （Ⅱ）设数列 ： ， ．求证： ． （Ⅰ）解法一：设 ，不等式等价于 ． 设 ， 以上过程中利用了一个不等式 (2.1) ： GOTOBUTTON ZEqnNum773663 \* MERGEFORMAT ， ．这个不等式的证明可参看例2（Ⅱ）解答． 当 时， ，于是 ，即 单调递减，于是 ． 当 时， . 以上过程利用了不等式 EMBED Equation.DSMT4 (2.2) ： GOTOBUTTON ZEqnNum840622 \* MERGEFORMAT 。 取 ，则 时， ，即 ，于是 时， 是增函数，即 ，这与题意矛盾． 解法二：设 ， ． 可以利用导数证明 ， MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT (1.1) 这里直接利用(1.1) 得 当 时， ，于是 ， ． 当 时，和(1.1) 相对的有不等式 ， MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT (1.2) 因此， 取 ，当 时， ，则 ，这与题意矛盾． 综上所述， 的取值范围是 ． （Ⅱ）证明：由数学归纳法可以证明： ， ．而由（Ⅰ）得 ，则 . MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT (1.3) 且由不等式 (0.1) 得 GOTOBUTTON ZEqnNum680110 \* MERGEFORMAT ，令 ， ．由于 ，于是 ， 因此，由 (1.3) 得 GOTOBUTTON ZEqnNum371496 \* MERGEFORMAT ． MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT (1.4) 上述不等式进行前 项累加之后得 ． MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT (1.5) ，于是 ，即 ． 上例引入中引入的不等式 EMBED Equation.DSMT4 (0.1) 和极限的夹逼性质可求极限(1.1) ，利用(1.2) 蕴含着函数极限，可在求得函数极限的前提下利用导数判断不等式的符号，例如，对于不等式(1.1) GOTOBUTTON ZEqnNum560677 \* MERGEFORMAT ，然后再利用导数证明不等式。此外，对于上例问（Ⅰ），用分离变量法把常数直接提到不等式的一边的做法要得到严密的解答很困难，这里不再多做说明。 例2：已知 ， ， . （Ⅰ）求证： . （Ⅱ）求证： ，并求常数 EMBED Equation.DSMT4 的取值范围，使得 ． （Ⅰ）证明：设 ， ．由不等式 ， ．得 当 时， ，即 ， 在 单调递减，即 ． 当 时， 取 ，于是 时， ，这与题意矛盾． 或者由下列的过程证明 取值范围的必要性： 这里取 ． 综上所述， 取值范围是 ． （Ⅱ）首先证明： ， ． MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT (2.1) 设 ， ． ． 由于 ， ，于是 在 单调递增，即 ． 下面求不等式 EMBED Equation.DSMT4 中 的取值范围． 设 ， ．问题转化为求 EMBED Equation.DSMT4 的取值范围，使得对任意 ， 。对 求一阶和二阶导数，并在二阶导数中利用(2.1) 得 当 时， ， 单调递减，则 ，于是， 单调递减，即有 ． 当 时， 时，可以证明下列不等式成立。 ， MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT (2.2) ， ． MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT (2.3) 直接应用(2.3) 得(2.2) 和 其中最后一步不等式放缩利用了 ， 。由于 ， ．取 ，则 时， ， 在 单调递增，于是 ， 在 单调递增， ．这与题意矛盾． 综上所述， 的取值范围是 ． 以上两例的解法中引入的诸多不等式都能利用 (2.1) 可以是(0.1) 简单求解对应的函数极限，再利用导数判断不等号方向，具体做法在前文已述及，求极限的目的，是为了得到更“精确”的不等式，如例2（Ⅱ）中的不等式 GOTOBUTTON ZEqnNum680110 \* MERGEFORMAT ，其中 是任意不大于1/3的数均可，如取1/4，但在用不等式“放缩法”和传递性质进行推理时，将会得到一个错误的结果，而且后面证明 取值的必要性的过程会矛盾重重，最终证明失败。 以上两例中变量 都定义在 这个点的右侧区域，由不等式构造的函数在0点函数值和一阶导数值为0，只要能判断二阶导数的符号，就能判断一阶导数的单调性，即与0点一阶导数值0的大小关系，也就能判断函数的单调性，这种做法的本质归纳如下：若函数 在一点 存在前 阶导数 、 、…、 ，且 而 ，则该点是函数 的极小值点，反之 ，该点是极大值点。上文中的例题也正是利用了所构造的函数在0点二阶导数的上述性质，这是一个利用导数解题的新的思路。 参考文献： [1] 陈纪修，施於华，金路.数学分析[M].第2版.北京：高等教育出版社，2004 [2] 谢惠民，恽自求，易法魁，钱定边.数学分析习题课讲义[M].北京：高等教育出版社，2003-2004：239 [3] 周强民.数学分析习题演练[M].第2版.北京：科学出版社，2006-2009 2 5 _1375221216.unknown _1375221490.unknown _1375221762.unknown _1375221951.unknown _1375222249.unknown _1375222332.unknown _1375222398.unknown _1375222450.unknown _1375222513.unknown _1375222549.unknown _1375222576.unknown _1375222480.unknown _1375222422.unknown _1375222359.unknown 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