能量守恒定律

§§22--4 4 能量守恒定律能量守恒定律 2-4-1 功和功率 功是度量能量转换的基本物理量，它反映了力 对空间的累积作用。 功的定义： 在力 的作用下， 物体发生了位移 ，则 把力在位移方向的分力与 位移 的乘积称为功。 F v rv∆ rv∆ θ x y z O 1r v rv∆ F vF v rFθrFW v vvv ∆cos∆ ⋅== 国际单位制单位：焦耳（J ） a b F vθr vd 质点由a点沿曲线运动到b点的过程中，变力 所 做的功 。 F v 元功： rFW v v dd ⋅= ∫∫ =⋅= baba rFrFW vvv dcosd α 合力的功： ( ) rFFFrFW b a n b a vvL vvvv dd 21 ⋅+++=⋅= ∫∫ ∫∫∫ ⋅++⋅+⋅= ba nbaba rFrFrF vvLvvvv ddd 21 n21 WWWW +++= L 结论：合力对质点所做的功等于每个分力对质点 做功之代数和 。 在直角坐标系Oxyz中 kFjFiFF zyx vvvv ++= kzjyixr vvvv ++= ( ) ( ) zFyFxF kzjyixkFjFiFrFW zy b a x b a zyx b a ddd dddd ++= ++⋅++=⋅= ∫ ∫∫ vvvvvvvv 功率是反映做功快慢程度的物理量。 功率：单位时间内所做的功。单位时间内所做的功。 t WP ∆ ∆= 单位：W = J·s-1平均功率： t W t WP t d dlim 0 =∆ ∆= →∆ 瞬时功率： vv vvv ⋅=⋅== F t rF t WP d d d d 例例1 1 设作用在质量为2kg的物体上的力F = 6t N。如 果物体由静止出发沿直线运动，在头2 s内这力做了 多少功？ 解：解： tt m Fa 3 2 6 === t a d dv=Q ttta d3dd ==∴ v 两边积分： ∫∫ = t tt00 d3dv v 223 t=v t x d d=v tttx d 2 3dd 2== v 2 0 42 0 2 4 9d 2 36d ttttxFW =⋅=⋅= ∫ ∫ J36= 2-4-2 动能和动能定理 1．质点动能定理 动能：动能： 质点因有速度而具有的对外做功本领。 2 2 1 vmEk = 单位：J rvd α F v a b 设质点m在力的作用下沿曲 线从a点移动到b点 元功：元功： sFrFW dcosdd α=⋅= vv )( 2 1dd 21 2 2 2 1 vvvv v v −=== ∫ ∫ mmWW vvv dd d ddcosd ms t msFW === α t mmaF d dcos t v==α 总功：总功： 质点的动能定理： 合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。 1k2k 2 1 2 2 2 1 2 1 EEmmW −=−= vv 2．质点系的动能定理 一个由n个质点组成的质点系，考察第i个质点。 质点的动能定理： ii EE 1k2k −=+ 内外 ii WW ∑∑ == − n i i n i i EE 1 1k 1 2k=+∑ ∑ = = n i n i ii WW 1 1 外内 iii iF v iF内 v 对系统内所有质点求和 1k2k EE −=+ 外内 WW 质点系的动能定理：质点系的动能定理： 质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和 内力做功之代数和。 值得注意：值得注意： 内力做功可以改变系统 的总动能。 2-4-3 保守力与非保守力 势能 （1）重力的功 bz az x y z O a b rv∆ gmv ),,( aaa zyxa初始位置 ),,( bbb zyxb末了位置 ∫ ⋅= baab rFW vv d ( )kzjyixkmgb a vvvv ddd ++⋅−= ∫ ( )baba zzmgzmg −=−= ∫ d 重力做功仅取决于质点的始、末位置za和zb， 与质点经过的具体路径无关。 （2） 万有引力做功 设质量为M的质点固 定，另一质量为m的质点 在M 的引力场中从a点运 动到b点。 rer mmGF v v 2 0−= ∫ ⋅−= b a r r r re r mmGW vv d20 rrrer dcosdd ==⋅ αvvv rv rdr vv + rvdαc rd m0 a b ar v br v ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−=−= ∫ ba r r rr mGm r rmGmW b a 11d 020 万有引力做功只与质点的始、末位置有关，而 与具体路径无关。 （3）弹性力的功 x2 bO x1 m x a mF x ikxF vv −=由胡克定律： ∫∫ ∫ −=⋅−=⋅= 2 1 2 1 ddd x x x x xkxixikxxFW vvvv 2 2 2 1 2 1 2 1 kxkxW −= 弹性力做功只与弹簧的起始和末了位置有关， 而与弹性变形的过程无关。 保守力：保守力： 做功与路径无关，只与始末位置有关的力。 保守力的特点：保守力的特点： 保守力沿任何闭合路径做功等于零。 ∫ =⋅ 0drF vv 证明：证明： 设保守力沿闭合路径acbda做功 a b c d 按保守力的特点： 因为： 所以： 证毕证毕 adbacb WW = bdaacb WW =− 0=−=+= acbacbbdaacb WWWWW 势能势能 由物体的相对位置所确定的系统能量称为势能（Ep） 保守力做的功与势能的关系： 物体在保守力场中a、b两点的势能Epa与Epb之差，等 于质点由a点移动到b点过程中保守力所做的功Wab。 ab b aba WrFEE =⋅=− ∫ vv dpp ppapbab EEEW ∆−=−−= )( 保守力做功在数值上等于系统势能的减少。保守力做功在数值上等于系统势能的减少。 说明：说明：（1）势能是一个系统的属性。 势能的大小只有相对的意义，相对势能的大小只有相对的意义，相对 于势能的零点而言。于势能的零点而言。 （2） （3）势能的零点可以任意选取。 设空间rO点为势能的零点，则空间任意一点 r 的势能为： ∫ ⋅=−= orro rFrErErE v v vvvvv d)()()( ppp 结论：结论： 空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该 点移动到势能零点时保守力做的功。 重力势能：重力势能： mghE =p （地面（h = 0）为势能零点） 弹性势能：弹性势能： 2 p 2 1 kxE = （弹簧自由端为势能零点） 引力势能：引力势能： r mmGE 0p −= （无限远处为势能零点） 保守力功与势能的积分关系： pEW ∆−= 保守力功与势能的微分关系： pdd EW −= zFyFxFrFW zyx ddddd ++=⋅= v v 因为：因为： z z E y y E x x E E dddd pppp ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂= 所以： y E Fy ∂ ∂−= p x E Fx ∂ ∂−= p z E Fz ∂ ∂−= p 保守力的矢量式： ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂−= k z E j y E i x E F vvvv ppp 结论： 保守力沿各坐标方向的分量，在数值上等于系 统的势能沿相应方向的空间变化率的负值，其方向 指向势能降低的方向。 2-4-4 机械能守恒定律 1k2k EE −=+ 外内 WW质点系的动能定理： 非保内保内内 WWW +=其中 1k2k EEWWW −=++ 非保内保内外 ( )1p2p EEW −−=保内Q ( ) ( )1p1k2p2k EEEEWW +−+=+ 非保内外∴ pk EEE +=机械能 12 EEWW −=+ 非保内外 质点系的功能原理 质点系机械能的增量等于所有外力和所有非保 守内力所做功的代数和。 0=外W如果 0=非保内W， pk EEE += 恒量= 机械能守恒定律 当系统只有保守内力做功时，质点系的总机 械能保持不变。 注意： （1）机械能守恒定律只适用于惯性系，不适合于 非惯性系。这是因为惯性力可能做功。 （2）在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性 系中机械能不一定守恒。这是因为外力的功与参 考系的选择有关。对一个参考系外力功为零，但 在另一参考系中外力功也许不为零。 例2 一长度为2l的匀质链条，平衡地悬挂在一光滑 圆柱形木钉上。若从静止开始而滑动，求当链条离 开木钉时的速率（木钉的直径可以忽略） l2 l O O C 解：设单位长度的质量为λ 始末两态的中心分别为C和C′ ′ C 机械能守恒： ( ) ( ) ( ) 22 2 12 2 2 vlglllgl λλλ +−=− lg=v解得 例3 计算第一、第二宇宙速度 Rm0 m1. 1. 第一宇宙速度第一宇宙速度 已知：地球半径为R，质量 为m0，卫星质量为m。要使 卫星在距地面h高度绕地球 作匀速圆周运动，求其发射 速度。 设发射速度为v1，绕地球的运动速度为v。解： hR mmGm R mmGm +−=− 0202 1 2 1 2 1 vv机械能守恒： ( ) hRmhR mmG +=+ 2 2 0 v由万有引力定律和牛顿定律： hR Gm R Gm +−= 00 1 2v解方程组，得： 2 0 R mmGmg ≈Q gR R Gm =∴ 0 )2(1 hR RgR +−=v代入上式，得： Rh <> m1, 则v1 = - v10, v2 = 0 2．完全非弹性碰撞 由动量守恒定律 21 202101 mm mm + += vvv 完全非弹性碰撞中动能的损失 2 21 2 202 2 101 (2 1) 2 1 2 1( )vvv mmmmE +−+=∆ )(2 )( 21 2 201021 mm mm + −= vv 3．非弹性碰撞 牛顿的碰撞定律：在一维对心碰撞中，碰撞后两物 体的分离速度 v2- v1 与碰撞前两物体的接近速度 v10- v20 成正比，比值由两物体的材料性质决定。 2010 12 vv vv e − −= e 为恢复系数 e = 0，则v2 = v1，为完全非弹性碰撞。 e =1，则分离速度等于接近速度，为完全弹性碰撞。 一般非弹性碰撞：0 < e < 1 §2-4 能量守恒定律 2-4-3 保守力与非保守力 势能 2-4-4 机械能守恒定律 2-4-5 碰撞