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1 CH5 多水平正交设计 二水平设计的特点是所需的试验次数少（在给定因子个数的前提下）。但是 在许多情况下我们要考虑三水平甚至更多水平的因子。当因子是分类变量，且 有三个或更多个类，或者因子是连续变量，但两水平的离散化不能令人满意时， 都需要考虑多于 2 水平的因子。一般情况下，如果试验是完全而且均衡的，则 方差的一般原理已经在第 3 章中讨论过了。同时在 3.2 节中我们介绍了正 交试验设计的概念。正交设计是一类不完全、但具有优良性质的试验设计。在 这种设计下，各因子的主效应的估计是相互独立的，而且方差分析是简单直观 的。在本章中我们来进一步讨论多水平的正交设计。 在第 3 章中我们用给出了正交试验设计的一般定义：一个有 m 个因子和 n 次试验的设计称为是正交的，若它对任意两个因子构成完全、等重复试验。具 体地说，正交试验满足下面两个条件： 1) 每一因子的不同水平在试验中出现相同次数（均衡性）； 2) 任意两因子的不同水平组合在试验中出现相同次数（正交性）. 正交试验设计的可以用一张来表示, 这张表就称为“正交设计表”或 简称为“正交表”. 表 3.2.1 就是一张正交表. 一般, 正交表第一行为表头, 标明 每列所代表的因子, 最左一列标明试验的序号. 表中每列中的数字代表相应因子 的水平序号; 每行的数字代表在相应试验中各因子的水平序号. 在正交设计表 中, 1) 每列中不同数字出现的次数相同(试验的均衡性); 2) 每两列中不同的数字组合出现的次数相同(试验的正交性). 若一张正交表在 n 次试验中安排 k 个 t 水平因子，则记为 )( kn tL 。有的正交 表可以安排具有不同水平的因子。例如，若一张正交表在 n 次试验中安排 k1个 t1水平因子和 k2个 t2水平因子，则记为 )( 21 21 kk n ttL ´ 。正交表的构造在数学上也 是很困难的，下面介绍一些正交表的基本知识及使用方法。 5.1 拉丁方 拉丁方是一种有 t 行 t 列的方形表格，其中的每一格中有一个拉丁字母，满 足：1）总共有 t个不同的拉丁字母；2）在每一行中，所有 t 个拉丁字母各出现 一次；3）在每一列中，所有 t个拉丁字母各出现一次。例如，表 5.1.1为一个 4 阶拉丁方，其中的四个拉丁字母为 a, b, c, d。这四个字母在每行中各出现一次， 同时在每列中各出现一次。也可以换一种说法：t 个字母，每个字母在每行每列 中都恰出现一次。 2 表5.1.14阶拉丁方 cbad badc adcb dcba 4 3 2 1 4321 一个拉丁方称为是“标准”的，若它的第一行和第一列中字母出现的顺序按拉 丁字母的自然排序。表 5.1.1 给出的是一个 4 阶标准拉丁方。一般，很容易得到 一个 t阶标准拉丁方。其构造方法是，先将 t 个字母按自然排序放置在第一行。 然后，从第二行开始，每行将上一行的字母依次向左移一格（上一行的第一个 字母变成当前行的最后一个）。这个构造原则对于列也同样适用。因此，t阶标 准拉丁方一定存在。 利用一个 t阶拉丁方可以在 n=t2次试验中安排三个 t 水平因子，使得试验具 有“正交”性。根据正交性要求，任意两个因子的所有水平组合在试验中出现 相同的次数。如果试验中所考虑的因子都是 t 水平的，则任意两个因子的水平 组合总数为 t2。因此，t 水平因子正交试验设计的试验次数必为 t2的整数倍，而 t2为保持正交性的最小试验次数。 利用 t 阶拉丁方安排三个 t 水平因子的正交试验的方法是：将行指标看成是 一个因子的 t个水平，列指标看成是第二个因子的 t 个水平，拉丁字母看成是第 三个因子的 t 个水平。拉丁方中的每一格对应一次试验，相应的因子水平组合 为（行号，列号，拉丁字母）。显然，这是一个正交试验。因为在每行上作 t 次 试验，对应 t 个不同列，且对应 t个不同字母；同样，在每列上作 t 次试验，对 应 t 个不同行，且对应 t 个不同字母；最后，在每个字母上作 t 次试验，对应 t 个不同行，且对应 t 个不同列。由于三个 t 水平因子的完全试验要求作 t 3次试 验，因此，用 t阶拉丁方作正交试验可以大大减少试验次数（完全试验的 1/ t）。 在实际用 t 阶拉丁方作正交试验时，为便于安排试验，可以将其展开为 t 2 行，三列的一张表，每行为一次试验；其三列分别依次对应拉丁方中的：行、 列、字母。这样的表就是正交设计表。例如，表 5.1.1 中的 4 阶拉丁方展开后就 得到表 5.1.2。 3 表5.1.2三个4水平因子、16次试验的正交设计表 3 2 1 4 2 1 4 3 1 4 3 2 )(4 )(3 )(2 )(1 )(3 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 )(2 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 )(1 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 d c b a 字列行试验序号 正交设计下参数估计和方差分析的方法可一般地归纳如下: 1) 总均值的估计=试验数据的总平均值, 2) 某因子的某个水平主效应的估计 =该因子的该水平所出现的试验数据的平均值 - 总平均值, 3) 总平方和=(试验数据-总平均值)的平方和, 自由度=n-1, 4) 某因子的主效应平方和=重复数×参数估计的平方和, 自由度=水平数-1, 5）残差平方和=总平方和-(因子效应平方和的和), 自由度=总平方和自由 度-(因子效应自由度的和). 以上计算步骤可用下面的例子来说明。 例 5.1.1表 5.1.3中左边给出 3阶标准拉丁方，右边是由此拉丁方展开所 得到的n=9次试验的三个3水平因子的正交设计表。 三个因子的主效应分别记为 ja , kb , lg ,j,k,l=1,2,3。根据上述的步骤 1) 和 2），试给出 ja , kb , lg 的参数估计。记 9次试验数据的总平均值为 y。由于 第一因子的水平1出现在前三次试验中，因此 1a 的估计为 yyyy -++= )( 3 1ˆ 3211a 第二因子的水平3出现在试验3、6、9中，因此 3b 的估计为 4 yyyy -++= )( 3 1ˆ 9633b 第三因子的水平2出现在试验2、4、9中，因此 2g 的估计为 yyyy -++= )( 3 1ˆ 9422g 其它6个参数的估计均可循此法求得。 表5.1.3 3阶标准拉丁方与n=9次试验的三个3水平因子的正交设计表 bac acb cba 3 2 1 321 2 1 3 1 3 2 )(3 )(2 )(1 )(3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 )(2 3 3 3 2 2 2 1 1 1 )(1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 c b a 字列行试验序号 得到参数估计之后，按上述步骤 3)、4)、5)计算平方和和自由度。每个因 子的重复数为t，相应的自由度为 t-1。在例5.1.1中，第一因子的效应平方和 为 )ˆˆˆ(3)1( 232221 aaa ++=SS ，其自由度为 3-1=2。残差平方和为总平方和减所有因 子效应平方和，相应的自由度为t 2-1-3(t-1)=(t-2)(t-1)。 5.2 正交拉丁方 两个 t阶拉丁方，为便于识别，其中一个的元素为拉丁字母，另一个元素 为希腊字母。若将两个拉丁方重叠在一起时，t个拉丁字母和 t个希腊字母的 所有 t 2个组合各出现一次，则这两个拉丁方称为是相互正交的。下面为两个 3 阶正交拉丁方及它们重叠后的情形。 bac acb cba 3 2 1 321 agb bag gba 3 2 1 321 agb bag gba bac acb cba 3 2 1 321 若存在两个正交的t阶拉丁方，则可以在t 2次试验中安排 4个t水平因子， 使得试验是正交的。作法是：按第一个拉丁方依行、列、字母的顺序展开得到 一个 3 列的正交表，再将第二拉丁方展开添加为第四列。参数估计以及平方和 与自由度的计算的方法与使用一个拉丁方时的方法一样。残差平方和的自由度 5 现在为t 2-1-4(t-1)=(t-3)(t-1)。一般，有可能存在 m个正交的 t阶拉丁方， 则可以在t 2次试验中安排 m+2个t水平因子，使得试验是正交的。 问是：对任意给定的自然数t，是否至少存在一对正交的 t阶拉丁方？若 存在，最多有多少个两两正交的t阶拉丁方？对此问题的答案是：1）当t=2 和 6时，不存在正交拉丁方，除此以外，对所有自然数 t都至少存在一对正交的 t 阶拉丁方。2）t阶正交拉丁方若存在，最多不超过 t-1 个。上面所给的是唯一 的一对 3 阶正交拉丁方（3-1=2）。一般，当 t为素数或素数幂时，总可以构造 t -1个两两正交的t阶拉丁方。因此，当t =3, 4(22), 5, 7, 8(23), 9(32)时，可以构 造t-1 个两两正交的 t阶拉丁方。这 t -1 个两两正交的 t阶拉丁方可以展开成 为 n=t 2行和t +1列的正交表。 在用正交拉丁方安排试验时，比较方便的办法是将所有正交拉丁方展开成 正交表。这些表在某些专门的手册中可以找到。例如，中科院数学所编制的《常 用数理统计表》，科学出版社，1979年。 5.3 其它类型的正交设计 当t为素数或素数幂时，对任意自然数 k 和 n= t k，可以构造 n 次试验的 t 水平因子的正交表，列数为(n-1)/(t-1)。例如，当 n=27=33时，(n-1)/(2-1)=13。 因此可以构造 27次试验、最多容纳 13个三水平因子的正交表。 此外，还可以构造混合水平因子的正交表。例如，有在 n=18 次试验中安排 7 个三水平因子和 1 个二水平因子的正交表。这些正交表都可以在上面介绍的 文献中找到。 在使用各种正交表安排试验时，要注意：如果要作方差分析，则不能将所 有的列都用因子占满，否则就没有多余的自由度留给残差。