利用极限思维方法求解2011 年物理高考题

· 50 · 现代物理知识 利用极限思维方法求解 2011 年物理高考题 岳守凯 赵建平 极限思维方法是解决物理问题经常用到的一 种方法。伽利略应用极限思维方法探究力与运动的 关系。他作了著名的斜坡实验，在这个实验中，两 个光滑斜坡对接，其中一个斜坡的倾角可以调节， 当从一个斜坡某一点让小球自由滚下，能看到小 球滚到另一斜坡与起点等高处，这个实验最关键 的问题是要使阻力足够小，使小球达到与起点等 高处，只有这样，才能进行极限思维：当斜坡倾 角趋近于零时，小球运动到无穷远处，小球永不 停息地运动下去。这就是伽利略的理想实验，它 一方面以真实的科学实验为根据，抓住关键性的科 学事实，为理想实验的进行提供可靠的基础；另一 方面，又要充分发挥极限思维的能动作用，进行合 乎逻辑的推理。 极限思维方法实际上是依据一定的实验基础， 进行理想推演的思维过程，是思维由存在向虚无、 或由虚无向存在推进的过程，对于我们解决一些物 理问题有所启迪：一种情况是对于有些问题不容易 得出通解，我们可以应用极限思维方法求其特解（特 解是理想状况下的不存在的解），由特解再回溯通解 的有关特性；另一种情况是先求出问题的通解，再 由极限思维方法逼近其特解，得出极值。下面是笔 者应用极限思维方法对 2011 年物理高考有关试题 做出的求解过程。 例 1（2011 年福建物理高考卷 18 题）如图 1， 一不可伸长的轻质细绳跨过 滑轮后，两端分别悬挂质量为 m1 和 m2 的物体 A 和 B。若滑 轮有一定大小，质量为 m 且分 布均匀，滑轮转动时与绳之间 无相对滑动，不计滑轮与轴之 间的摩擦。设细绳对 A 和 B 的拉力大小分别为 T1和 T2，已 知下列四个关于 T1 的表达式 中有一个是正确的，请你根据 所学的物理知识，通过一定的 分析判断正确的表达式是 A. 2 11 1 2 ( 2 ) 2( ) m m m gT m m m += + + ； B. 1 21 1 2 ( 2 ) 4( ) m m m gT m m m += + + ； C. 2 11 1 2 ( 4 ) 2( ) m m m gT m m m += + + ； D. 1 21 1 2 ( 4 ) 4( ) m m m gT m m m += + + 。 解：假定滑轮质量 m 趋近于零（实际上滑轮总 有质量），对于物体 A 有： 1 1 1T m g m a− = 。 对于物体 B 有： 2 2 2m g T m a− = 。 又知 1 2T T= ， 以上三式解得： 1 21 2 1 2 2m mT T g m m = = + 。 把 0m → 代入本题四个选择项，可得出 C 答案 与之相符。 点评：本题的机械叫阿特伍德机，阿特伍德机 问题是大学物理经典问题，在高考试题中出现这样 给定选项的问题，显然不需要高深的理论推导。本 题如果考虑滑轮的质量，高中生是无法直接求解的， 因此要应用极限思维方法。 例 2（2011 年江苏高 考物理卷 14 题）如图 2 所示，长为 L、内壁光滑 的直管与水平地面成30° 角固定放置。将一质量为 m 的小球固定在管底，用一轻质光滑细线将小球与质 量为 M=km 的小物块相连，小物块悬挂于管口。现将 小球释放，一段时间后，小物块落地静止不动，小球 继续向上运动，通过管口的转向装置后做平抛运动， 小球在转向过程中速率不变。（重力加速度为 g） (1)求小物块下落过程中的加速度大小； (2)求小球从管口抛出时的速度大小； (3)试证明小球平抛运动的水平位移总小于 2 2 L 。 解：（1）设细线中张力为 T，对于物块 M 及小图 1 图 2 23 卷第 6 期 (总 138 期) · 51 · 球 m，由牛顿第二定律分别可得 Mg T Ma− = ， sinT mg maθ− = ， 又有 M km= 。 解得 ( ) 2 1 2 1 ka g k −= + 。 （2）设物块 M 落地时速度为 v，小球 m 从管 口射出时速度为 v0，物块 M 落地后小球 m 的加速度 为 a0 对小球 m 有 0sinmg maθ = ， 2 2 sinv aL θ= ， 2 2 0 02 (1 sin )v v a L θ− = − − 。 解得 ( )0 2 2 1 kv gL k −= + （k＞2） 。 （3）小球 m 射出后，作平抛运动，由平抛规 律得： 0x v t= ， 21sin 2L gtθ = ， 解得 ( ) 2 2 1 kx L k −= + 。 当 k →∞时 2 2 x L= （实际是不存在这样取值 的），所以 2 2 x L< 。 点评：本题要求出小球平抛的最大水平位 移，水平位移的大小取决于 M、m 的大小关系， 而体现 M、m 关系的 k 值未定，所以先要求出 水平位移的通解，再应用极限思维方法得出其 极大值。 极限思维方法在教学中会经常应用 到。把某一物理量趋近于无穷大、无穷小等，这个 物理量的取值及属性如何？或知道某一物理量在趋 近于无穷大、无穷小等情况下的取值及属性，来推 知通常情况下的取值及属性。希望一线教师在教学 中引导学生应用它来解决相关的物理问题，使学生 学会用极限思维的方法分析物理问题，促进其思维 能力的提高。 （江苏省淮安金湖中学 211600） JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ 海啸的第一道波浪为何 不是最高的 海啸通常有多重波浪，不过长久以来一直令人 不解的是，为什么海啸的第一道波浪经常不是最高 或最具毁灭性的。现在爱尔兰都柏林大学学院 （University College in Dublin）的迪亚斯（Frederic Dias）和同事已找到答案。当第一道波浪拍击海岸 时，后面的水面低于浪潮，导致积聚的能量如压缩 的喷泉一般。如果这时第二道波浪正好到来，能量 将传递给回弹的水流，产生更强劲的第二道波浪。 在理想光滑海岸的模拟中，研究人员发现这种 巨大的放大作用高达 60 倍。去年 10 月在印度尼西 亚西部明打威群岛（Mentawai Islands）的仿真模拟 海啸也显示出较小规模，但却巨大的增强效应。该 研究对未来的大范围海啸预警有一定作用。 （高凌云编译自 2011 年 10 月《欧洲核子中心 快报》） 太阳系形成之初的残留物 当欧洲太空署的罗塞塔探测器在 2010 年 7 月 10 日飞掠司琴星（Lutetia，如图）时，行星学家不 能确定他们看到的是什么类型的小行星。但是《科 学》最近报道，这颗 121 千米长的小行星是 1 万多 颗已知小行星中第一个被确认为 46 亿年前行星形 成之初的完整星子。它的密度很高，其引力已使罗 塞塔的路径发生弯曲。星子是太阳系形成初期，太 阳赤道面附近的粒子团由于自吸引而收缩形成的天 体。这次快速掠过有助于研究星子的矿物成分。 罗塞塔的最终目标是在 2014 年到达位于木星 附近的丘留莫瓦·格拉西梅（Churyumov-Gerasimenko） 彗星。届时，罗塞塔将卸下一个小型登陆器研究彗 星表面。 （高凌云编译自2011年10月27日www.sciencemag.org）