47多项式函数 多项式的根

47多项式函数 多项式的根 4.7多项式函数 多项式的根 授课题目:4.7多项式函数 多项式的根 教学目标:掌握多项式函数及多项式根的概念，掌握余式定理、综合除法、因式定理、根的 个数上限定理、拉格朗日插值公式 授课时数:2学时 教学重点:余式定理、综合除法、拉格朗日插值公式 教学难点:拉格朗日插值公式的推导 教学过程: 一( 多项式函数 1(多项式的值 n设在的表达式中把文字用f(x),F[x],f(x),a，ax，？，axf(x)c(c,F)x01n代替，就得到上的一个数 F n a，ac，？，ac01n这个数叫做当时的值，并用表示.若则称为在F中的一f(x)f(c)f(c),0,f(x)x,cc 个根. 2(多项式函数 设我们把法则 f(x),F(x), f:c!f(c),c,F称为一个又多项式所确定的多项式函数. f 3.多项式的可代入性 设 u(x),f(x)，g(x),v(x),f(x)g(x)容易验证有 u(c),f(x)，g(c),v(c),f(c)g(c)因此 多项式的和、差、积构成的表示式用代替后，等式仍成立。 xc 二、余式定理与综合除法 1( 余式定理 定理4.7.1(余式定理)设用除所得余式等于当f(x),F[x],c,F,f(x)x,cx,c 时的值 f(x)f(c). 证 因为的次数为1,所以除所得的余式或是零或是零 fx()xc,xc, 次多项式。即 fxxcqxrrF()()(),,,，,且 (证毕) 因此fcr()., 余式定理的用处: ?求值;?得综合除法。 2( 综合除法 根据这个定理，要求时的值，只需用带余除法求出用 fxxc()当,xc, 除所得的余式。由于除式为首1的一次多项式，因此这一除法可以简化，简化的除法fx() 称为综合除法。 n设 f(x),ax，？，ax，a10n 由余式定理(Th.4.8.1) 1n, (1)再设 f(x),(x,c)q(x)，rq(x),bx，？，bx，b110n,比较等式(1)中两端、移项得 b,an,n1 b,a，cbn,n,n,211 b,a，cbn,n,n,322 ？？？ b,a，cb011 r,a，cb00 认真分析上一串等式，总结出规律，用下竖式可快速地求出与 rq(x) aaaaannn,,1210 ，)cbcbcbcb cnn,,1210 bbbbrnnn,,,1230 42例1 设求用除的商和余式. f(x)f(x),x，x，4x,77,x，3注意:?缺项要用0补 ?除式一定要是形 x,c ?注意的符号 c ?只用加乘法 ?综合除法可推广 ?反复用综合除法来求的重数 x,c ?用综合除把多项式展成的多项式 x,c 43例3 把表成的多项式. f(x),x,3x，x,2x,1三，因式定理及多项式根的个数上限定理 1(因式定理 F定义2 若则称是在中的根. f(c),0,f(x),F[x],c,F,cf(x) 定理4.7.2(因式定理) 数是多项式的根的充分必要条件是能被整cf(x)f(x)x,c 除. 证 而所以 因为以为其根fxc(),所以fc()0.,fxxcqxfc()()()(),,,， 反之，因为所以于 xcfx,|().xcfx,|(),fxxcqx()()(),,, 是 (证毕) fc()0., 意义:?把根与一次因式对应起来了; ?求根与求一次因式是一回事. 3( 根的个数上限定理 定理4.7.3 设是中的一个次多项式，那么在中至多有Ff(x)F(x)n(,0)f(x)n 个不同根。 证 所以没有根，故结论成立。 当时n,0,fxF()是中一个不等于零的数, 设是的个不同的根cccfxm,,,(),则xcfxim,,|(),1,,,当时n,0,12mi 而两两互素所以xcxcxc,,,,,,,12m ()()()|(),xcxcxcfx,,,12m 因此故比较次数得 (证毕) fxxcxcxcqx()()()()(),,,,,mn,.12m 推论1 设当且仅当在F中有无穷多个根. f(x),F[x],f(x),0f(x) 推论2 设多项式=当且仅当它们所定义在F上的多项f(x),g(x),F[x],f(x)g(x),式函数相等. 四， 格朗日插值公式 1( 插值公式的唯一性 00 定理4.7.4 设非零多项式，若存在不f(x)g(x),F[x],,(f(x)),n,,(g(x)),n. 同的使得 c,c,？,c,c,F,12nn，1 fcgcinn()(),1,2,,,1,,,，ii 则= f(x)g(x). 证 而 fcgc()()0,,,令hxfxgx()()(),,,若则hxhxn()0,(()),,,:,ii 这与定理4.7.3矛盾， (证毕) inn,，1,2,,,1.所以fxgx()()., 2(拉格朗日插值公式 定理4.7.4告诉我们:给了一个数域里个互不相同的数以及任意a,a,？a,n，112n，1 个数后，至多存在的一个次数不超过的多项式，能使b,b,？bF[x]f(x)nn，112n，1 的多项式，我们先来构造个次多项式(较简单的f(a),b,i,1,？,n，1nn，1ii 使满足不难造出 f(a),b,f(a),0(i,j),f,f,？,ffiiij12n，1i f(x),c(x,a)？(x,a)(x,a)？(x,a)ii1i,1i，1n，1 为了使将代入上式推出所以 f(a),b,x,ac,iii b(x,a)？(x,a)(x,a)？(x,a)i1i,1i，1n，1f(x), i(a,a)？(a,a)(a,a)？(a,a)i1ii,1ii，1in，1于是 n，1b(x,a)？(x,a)(x,a)？(x,a)i1i,1i，1n，1 f(x),f(x)，？，f(x),,1n，1(a,a)？(a,a)(a,a)？(a,a)i,1i1ii,1ii，1in，1上公式叫做Lagrange插值公式. 例 求次数小于3的多项式，使 f(x) (用插值公式或待定系数法) fff(1)1,(1)(2)3.,,,, (1)(2)3(1)(2)3(1)(1)xxxxxx，,,,,，解 fx(),，，(11)(12)(11)(12)(21)(21)，,,,,,,， 2 ,,，xx1. 作业:P155，1—9题