范德蒙德行列式在多项式的应用_第三章行列式

范德蒙德行列式在多项式的应用_第三章行列式 第三章 行列式 ?1 引言 解方程是代数中的一个基本的问题，特别是在中学所学代数中，解方程占有重要地位. 这一章和下一章主要讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组. 线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容. 对于二元线性方程组 当时，此方程组有唯一解，即 我们称为二阶行列式，用符号示为 . 于是上述解可以用二阶行列式叙述为: 当二阶行列式 时，该方程组有唯一解，即 . 对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组 称代数式为三阶行列 式，用符号表示为: . 当三阶行列式 时，上述三元线性方程组有唯一解，解为 其中 . 在这一章我们要把这个结果推广到元线性方程组 的情形.为此，首先给出阶行列式的定义并讨论它的性质，这是本章的主要内容。 ?2 排列 一、排列的定义 定义1 由组成的一个有序数组称为一个阶排列. 显然也是一个阶排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的; 其它的排列或多或少地破坏自然顺序. 定义2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面 的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数. 排列的逆序数记为: 定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列;逆序数为奇数的排列称为奇排列. 应该指出，我们同样可以考虑由任意个不同的自然数所组成的排列，一般也称为 阶排列.对这样一般的阶排列，同样可以定义上面这些概念. 二、排列的奇偶性 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列.这样一个变换称为一个对换.显然，如果连续施行再次相同的对换，那么排列就还原了.由此得知，一个 对换把全部阶排列两两配对，使每两个配成对的阶排列在这个对换下互变. 定理1 对换改变排列的奇偶性. 这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列. 推论 在全部阶排列中，奇、偶排列的个数相等，各有个。 定理2 任意一个阶排列与排列都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性。 ?3 阶行列式 一、阶行列式的概念 在给出阶行列式的定义之前，先来看一下二阶和三阶行列式的定义.我们有 , (1) (2) 从二阶和三阶行列式的定义中可以看出，它们都是一些乘积的代数和，而每一项乘积都是由 行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘 积组成.另一方面，每一项乘积都带有符号.这符号是按什么原则决定的呢,在三阶行列式的 展开式(2)中，项的一般形式可以写成 , (3) 其中是1，2，3的一个排列.可以看出，当是偶排列时.对应的项在(2)中带有 正号，当是奇排列时带有负号. 定义4 阶行列式 (4) 等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积 (5) 的代数和，这里是的一个排列，每一项(5)都按下面规则带有符号;当 是偶排列时，(5)带有正号，当是奇排列时，(5)带有负号.这一定义可 写成 , (6) 这里表示对所有阶排列求和。 定义表明，为了计算阶行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素构成的乘 积.把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号。 由定义看出，阶行列式是由项组成的。 计算行列式 . 例1 例2 计算上三角形行列式 . (7) 解:这个行列式就等于主对角线(从左上角到右下角这条对角线)上元素的乘积 . (8) .特别主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式.对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积。 容易看出，当行列式的元素全是数域中的数时，它的值也是数域中的一个数. 二、行列式的性质 在行列式的定义中，为了决定每一项的下正负号，把个元素按行指标排起来.事实上，数的乘法是交换的，因而这个元素的次序是可以任意写的，一般地，阶行列式中的项可以写成, (11) 其中是两个阶排列.利用排列的性质，不难证明，(11)的符号等于 (12) 按(12)来决定行列式中每一项的符号的好处在于，行指标与列指标的地位是对称的，因而为了决定每一项的符号，同样可以把每一项按列指标排起来，于是定义又可以写成 . (15) 由此即得行列式的下列性质: 性质1 行列互换，行列式不变.即 . (16) 性质1表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立. 例如由(8)即得下三角形的行列式 . ?4 阶行列式的性质 行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很复杂的问题. 阶行列式一共有项， 计算它就需做个乘法.当较大时，是一个相当在的数字.直接从定义来计算行列式几乎 是不可能的事.因此有必要进一步讨论行列式的性质.利用这些性质可以化简行列式的计算. 在行列式的定义中，虽然每一项是个元素的乘积，但是由于这个元素是取自不同 的行与列，所以对于某一确定的行中个元素(譬如)来说，每一项都含有其 中的一个且只含有其中的一个元素.因之，阶行列式的项可以分成组，第一组的项 都含有，第二组的项都含有等等.再分别把行的元素提出来，就有 (1) 其中代表那些含有的项在提出公因子之后的代数和.至于究竟是哪一些项 的和暂且不管，到?6 再来讨论.从以上讨论可以知道，中不再含有第行的元素，也 就是全与行列式中第行的元素无关.由此即得. 性质2 这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行相当于用这个数乘此行列式. 令，就有如果行列式中一行为零，那么行列式为零. 性质3 . 这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行 列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样. 性质3显然可以推广到某一行为多组数的和的情形. 性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零.所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等. 性质5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零. 性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变. 对换行列式中两行的位置，行列式反号. 性质7 例1 计算阶行列式 例2 计算行列式 ,235 . 301 12,1 由于上(下)三角形行列式容易计算，因此计算行列式的一个基本方法是利用行列式的性质，把行列式化成上(下)三角形行列式进行计算. 例3 一个阶行列式，假设它的元素满足 , (4) 证明，当为奇数时，此行列式为零. ?5 行列式的计算 下面利用行列式的性质给出一个计算行列式的方法. 在?3我们看到，一个上三角形行列式 就等于它主对角线上元素的乘积 这个计算是很简单的.下面我们想办法把任意的阶行列式化为上三角形行列式来计算. 定义5 由个数排成的行列的数表 (1) 称为一个矩阵。一般用字母A,B,C等表示。 数,称为矩阵(1)的元素，称为元素的行指标，称 为列指标.当一个矩阵的元素全是某一数域中的数时，它就称为这一数域上的矩阵. 矩阵也称为阶方阵。.一个阶方阵 定义一个阶行列式 称为矩阵的行列式，记作. 定义6 所谓数域上矩阵的初等行变换是指下列三种变换: 1)以中一个非零的数乘矩阵的某一行; 2)把矩阵的某一行的倍加到另一行，这里是中任意一个数; 3) 互换矩阵中两行的位置. 一般说来，一个矩阵经过初等行变换后，就变成了另一个矩阵.当矩阵经过初等行变 换变成矩阵时，我们写成 若一个矩阵的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方全为零，则称这样的矩阵为阶梯形矩阵. 可以证明，任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形矩阵. 现在回过来讨论行列式的计算问题.一个阶行列式可看成是由一个阶方阵决 定的，对于矩阵可以作初等行变换，而行列式的性质2，6，7正是说明了方阵的初等行变换对于行列式的值的影响.每个方阵总可以经过一系列的初等行变换变成阶梯形方阵. 由行列式性质2，6，7，对方阵每作一次初等行变换，相应地，行列式或者不变，或者差一非零的倍数，也就是 显然，阶梯形方阵的行列式都是上三角形的，因此是容易计算的. 例 计算 不难算出，用这个方法计算一个阶的数字行列式只需要做次乘法和除法. 特别当比较大的时候，这个方法的优越性就更加明显了.同时还应该看到，这个方法完全 是机械的，因而可以用电子计算机按这个方法来进行行列式的计算. 对于矩阵同样可以定义初等列变换，即 1)以中一个非零的数乘矩阵的某一列; 2)把矩阵的某一列的倍加到另一列，这里是中任意一个数; 3) 互换矩阵中两列的位置. 为了计算行列式，也可以对矩阵进行初等列变换.有时候，同时用初等行变换和列变换，行列式的计算可以更简单些. 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换. ?6 行列式按一行(列) 展开 在?4看到，对于阶行列式，有 . (1) 现在来研究这些,究竟是什么. 三阶行列式可以通过二阶行列式表示: . (2) 定义7 在行列式 中划去元素所在的第行与第列，剩下的个元素按原来的排法构成一个 阶行列式 (3) 称为元素的余子式，记作 . 定义8 上面所谈到的称为元素的代数余子式. 下面证明 . (4) 为此先证明阶行列式与阶行列式的下面这个关系， . (5) 这样，公式(1)就是说，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.在 (1)中，如果令第行的元素等于另外一行，譬如说，第行的元素，也就是 于是 右端的行列式含有两个相同的行，应该为零，这就是说，在行列式中，一行的元素与另一行 相应元素的代数余子式的乘积之和为零. 定理3 设 表示元素的代数余子式，则下列公式成立: (6) (7) 用连加号简写为: 在计算数字行列式时，直接应用展开式(6)或(7)不一定能简化计算，因为把一个阶行列式的计算换成个()阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用公式(6)或(7)才有意义.但这两个公式在理论上是重要的. 例1 计算行列式 例2 行列式称为阶的范德蒙德(Vandermonde)行列式 (8) .证明对任意的，阶范德蒙德行列式等于这个数的所有可能的差 的乘积. 用连乘号，这个结果可以简写为 . 由这个结果立即得出，范德蒙德行列式为零的充要条件是这个数中至少有 两个相等. 例3 证明 ?7 克拉默(Cramer)法则 现在应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情 形. 定理4 如果线性方程组 (1) 的系数矩阵 (2) 的行列式 那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为 , (3) 其中是把矩阵中第列换成常数项所成的矩阵的行列式，即 (4) )方程组有解;2)解是唯一的;3)解由公式(3)给出. 定理中包含着三个结论:1 这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是: 1. 把代入方程组，验证它确是解. 2. 假如方程组有解，证明它的解必由公式(3)给出. 定理4通常称为克拉默法则. 例1 解方程组 应该注意，定理4所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组;至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情形中一并讨论. 常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组.显然齐次方程组总是有解的，因为 就是一个解，它称为零解.对于齐次线性方程组，我们关心的问题常常是，它 除了零解以外，还有没有其它解，或者说，它有没有非零解. 对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有 定理5 如果齐次线性方程组 (10) 的系数矩阵的行列式，那么它只有零解.换句话说，如果方程组(10)有非零解，那么 . 必有 例2 求在什么条件下，方程组 有非零解. 克拉默法则的意义主要在于:它明确给出了解与系数的关系。这一点在以后许多问题的讨论中是重要的.但是用克拉默法则进行计算是不方便的，因为按这一法则解一个个未知 量个方程的线性方程组就要计算个阶行列式，这个计算量是很大的. ?8 拉普拉斯(Laplace)定理 行列式的乘法规则 一、拉普拉斯定理 定义9 在一个阶行列式中任意选定行列()，位于这些行和列的交 点上的个元素按照原来的次序组成一个阶行列式，称为行列式的一个阶 子式.在中划去这行列后余下的元素按照原来的次序组成的阶行列式 称为阶子式的余子式. 从定义立刻看出，也是的余子式.所以和可以称为的一对互余的 子式. 例1 在四阶行列式 中选定第一、三行，第二、四列得到一个二阶子式:, 的余子式为:. 例2 在五阶行列式 中 和是一对互余的子式. 定义10 设的阶子式在中所在的行、列指标分别是，则的余子式前面加上符号后称做的代数余子式. 因为与位于行列式中不同的行和不同的列，所以有下述 引理 行列式的任一个子式与它的代数余子式的乘积中的每一项都是行列式 的展开式中的一项，而且符号也一致. 定理6(拉普拉斯定理) 设在行列式中任意取定了()个行.由这行 元素所组成的一切阶子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式. 例3 利用拉普拉斯定理计算行列式 从这个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是理论方面的应用. 二、行列式的乘积法则 阶行列式 定理7 两个 和 的乘积等于一个阶行列式 , 其中是的第行元素分别与的第列的对应元素乘积之和: . 这个定理也称为行列式的乘法定理.它的意义到第四章?3中就完全清楚了. 第二章 行列式(小结) 一、行列式理论 1. 阶排列 (1) 基本概念:排列,反序,反序数,排列的奇偶性 (2) 主要结论 (a)阶排列共有个,其中奇偶排列各占一半 (b)对换改变排列的奇偶性 (c)任意一个阶排列都可以经过一些对换变成自然顺序,并且所作对换的个数与这个排 列有相同的奇偶性 2. 阶行列式的概念 其中 3. 行列式的性质 (1) 有关行列式的转置 ——行列互换,行列式不变 (2) 有关行(列)的变换 ——互换行(列),行列式反号 ——用一个数乘某行(列),就等于用这个数乘这个行列式 ——把某行(列)的倍数加到另一行(列),行列式不变 (3) 有关按行(列)分解为两个行列式的和—— 如果某行(列)是两组数的和,那么行列式可以写成两个行列式的和,这两个行列式的这一 行(列)分别是第一组数与第二组数,而其它各行(列)都与原行列式相同 (4) 有关行列式等于零 ——两行(列)成比例,行列式等于零 4. 行列式依行依列展开 (1) 基本概念:子式,余子式,代数余子式 (2) 主要公式 5. 克拉默规则 若线性方程组 的行列式,则它有唯一解 其中是把的第列换成常数项所得的行列式 二、行列式计算方法 1. 定义法 2. 化为三角形行列式的方法 3. 降阶法 4. 拆行(列)法 5. 化为范得蒙行列式的方法 6. 加边法 7. 递推法 8. 数学归纳法 9. 因式分解法 本章主要内容的内在联系: 重点 行列式的计算 难点 行列式概念,行列式的展开定理及用定义证明行列式性质 例1 计算行列式 (化为范德蒙行列式) 解 作如下行列式,使之配成范德蒙行列式 = 易知等于中的系数的相反数,而中的系数为 ,因此, . 例2 计算行列式(拆行(列)法) . 解: . 例3 计算行列式(降阶法) . 解:易得 . 例4 计算行列式(加边法) . 解: 而当时可分只有一个因子为零或至少有两个因子为零可得同样的结果. 例5 计算行列式 (数学归纳法) . 解:, 于是猜想 . 证明:对阶数用第二数学归纳法证明. 时,结论成立.假设对阶数小于时，结论成立.将阶行列式按第行展开，有 . 利用已给行列式的特点，建立起同类型的阶行列式和阶或更低阶行列式之间 的关系式，称为递推公式. 例6 计算行列式(递推法) . 解:将行列式按第列展开,有 , 得。 同理得 , 例7 计算 解 同理 联立解得 当时, 如果行列式是某个变数的多项式，可对行列式施行某些变换，求出 的互不相同的一次因式，设这些一次因式的乘积为，则，再比较 与的某一项的系数，求出值. 例8 计算行列式(因式分解法) . 解:注意时，所以，. 同理均为的因式 又与各不相同，所以 但的展开式中最高次项的系数为1，所以 注:此题也可将的第行减去第一行化为三角形行列式计算。