三角函数的对称轴
三角函数图象的对称性质及其应用
一、正弦曲线和余弦曲线都是轴对称图形
性质1、函数和的图象关于过最值点且垂直y,Asin(,x,,)y,Acos(,x,,)于轴的直线分别成轴对称图形, x
对称轴方程的求法是:令,得y,Asin(,x,,)sin(,x,,),,1
,,(2k,1),2,x,,则为函数的图象的对称轴x,,k,,,,y,Asin(,x,,)(k,Z)22,
方程。
对称轴方程的求法是:令,得y,Acos(,x,,)cos(,x,,),,1
,,k,,则为函数的图象的对称轴方程。 x,,x,,,k,y,Acos(,x,,)(k,Z),
,y,3sin(2x,)例1、函数图象的一条对称轴方程是( ) 6
2,,,x,0x,x,,x,(A) (B) (C) (D) 363
,,,23sin(2x,),,1x,,k,解:由性质1知,令得,即,(k,Z)626
2,,kk,1x,,x,,取时,,故选(B)。 ,(k,Z)263
1,f(x),cos(3x,)例2、函数的图象的对称轴方程是 23
,,cos(3x,),,13x,,k,解:由性质1知, 令得,即(k,Z)33
,,,kkx,,f(x),cos(3x,)x,,,所以的图象的对称轴方程。 ,(k,Z),(k,Z)39393
二、正弦曲线和余弦曲线都是中心对称图形
性质2、函数和的图象关于其与x轴的交点y,Asin(,x,,)y,Acos(,x,,)分别成中心对称图形,
y,Asin(,x,,)的对称中心求法是:令sin(,x,,),0,得,x,,,k,(k,Z),
,,,,k,k,(,0)x,则(k,Z),所以函数y,Asin(,x,,)的图象关于点(k,Z)成中,,心对称;
y,Acos(,x,,)cos(,x,,),0对称中心的求法是:令,得
1
,,(2k,1),2,,则,所以函数的图x,x,,k,,,,y,Acos(,x,,)(k,Z)(k,Z)22,
,,(21)2k,,象关于点成中心对称; (,0)(k,Z),2
,例3、函数的图象的一个对称中心是( ) y,4sin(2x,)6
,,,,(A) (B) (C) (D) (,0)(,0)(,,0)(,0)12636
,k,,解:由性质2知,令得,即,sin(2x,),02x,,k,x,,,(k,Z)(k,Z)21266
,k,0取时,,故选(A)。 x,12
1,例4、函数的图象的对称中心是 y,2cos(x,)28
11,,,解:由性质2知, 令cos(x,),0得x,,k,,即,(k,Z)28228
51,,2x,k,,所以函数y,2cos(x,)的图象的对称中心是,(k,Z)428
5,(2k,,0)。 ,(k,Z)4
三、正切曲线和余切曲线都是中心对称图形 性质3、函数和的图象关于其与轴的交点xy,Atan(,x,,)y,Acot(,x,,)分别成中心对称图形,
对称中心的求法是:令,得,y,Atan(,x,,)tan(,x,,),0,x,,,k,(k,Z)
,,,,k,k,(,0)x,则,所以函数的图象关于点成中心对y,Atan(,x,,)(k,Z),,称;
,x,,k,对称中心求法是:令,得,y,Acot(,x,,)cot(,x,,),0,,,(k,Z)2
,,(2k,1),2x,则,所以函数的图象关于点y,Acot(,x,,)2,
,,(21)2k,,(,0)成中心对称; (k,Z),2
,y,3tan(2x,)例5、求函数的对称中心的坐标。 3
,,,ktan(2x,),02x,,k,x,,解:由性质3知, 令得(k,Z),即,(k,Z),2633
,k,y,3tan(2x,)(,,0)所以函数,(k,Z)的图象的对称中心是。 263
四、对称性规律:
2
1.若是或的对称轴,则 xa,fxAx()sin(),,,,faA(),,fxAx()cos(),,,,
fxAx()tan(),,,,(,0)a2.若是或或的对称中fxAx()sin(),,,,fxAx()cos(),,,,
fa()0,心,则解
思路:解选择题的思路即代入法。 五、应用
1(解析式问题
由于对称轴都是通过函数图像的最高点或者最低点的直线,所以把对称轴的方程代入到函数解析式,函数此时可能取得最大值或最小值。
例1(设函数=(),图像的一条对称轴是直f(x)sin(2x,,) ,,,,,0f(x)
,线x,,求的值。 ,8
,,x,sin(2,,,),,1解析:?是函数y=的图像的对称轴,?, f(x)88
,,,3,,k,,,?,k?Z,而,则。 ,,,,,,,0,424
2(参数问题
,,x,,过函数y=Asin()图象最值点与y轴平行(或重合)的直线都是函数图象的对称轴。
,例2(如果函数y,sin2x,acos2x的图象关于直线x,,对称,则a的8值为( )
22A( B(, C(1 D(,1
121,a,,解法一:y,sin2x,acos2x=sin(2x,),其中cos=,21,a
a,,sin=,由函数的图象关于x=,对称知,函数y,sin2x,acos2x在x=281,a
,,,21,a,处取得最大值或最小值,?sin(,),acos(,),?, 844
221,a即(1,a)=?,解得a,,1,所以应选择
:D。 2
3
,解法二:?f(x),sin2x,acos2x的图象关于直线x,,对称, 8
,,,,,,,,,,?,令x=,,得, ,,f,,x,f,,xf,,f0,,,,,,8884,,,,,,
,,,,,,?sin,acos=sin0,acos0,得a,,1, ,,,,,,22,,,,
3(单调区间问题
一般运用正、余弦函数的对称轴方程求其单调区间,可先运用对称轴方
程求其一个单调区间,然后在两端分别加上周期的整数倍即得。
,例3(在下列区间中函数y,sin(x,)的单调增区间是( ) 4
,,,,A(,,, B(,0,, C(,,,0, D(,,, ,,2442
,,,,解析:函数y,sin(x,)的对称轴方程是:xk=k,,=k,(k,,4244
,3?Z),照选择支,分别取k,,1、0、1,得一个递增或递减区间分别是,,,4
,,,5,或,,,,对照选择支思考即知应选择答案:B。 444
4(函数性质问题
例4(设点P是函数的图象C的一个对称中心,若点P到图象f(x),sin,x
,C的对称轴上的距离的最小值,则的最小正周期是( ) f(x)4
,,A(2π B(π C( D( 24
解析:设点P是函数的图象C的一个对称中心,若点P到图象f(x),sin,x
,C的对称轴上的距离的最小值,而图象的对称中心到一条对称轴的距离的最4
1,小值等于周期,?最小正周期为T=×4=π,即选择答案:B。 44
,2k函数y=Asin(,,x,,)的对称轴有无数条,它们的周期不是T=,而是,,kT=,可以理解为对称轴的周期是函数周期的一半。 ,
4