三角函数的对称轴

三角的对称轴 三角函数图象的对称性质及其应用 一、正弦曲线和余弦曲线都是轴对称图形 性质1、函数和的图象关于过最值点且垂直y,Asin(,x，,)y,Acos(,x，,)于轴的直线分别成轴对称图形, x 对称轴方程的求法是:令，得y,Asin(,x，,)sin(,x，,),,1 ,,(2k，1),2,x,，则为函数的图象的对称轴x，,k，,,,y,Asin(,x，,)(k,Z)22, 方程。 对称轴方程的求法是:令，得y,Acos(,x，,)cos(,x，,),,1 ,,k,，则为函数的图象的对称轴方程。 x,,x，,,k,y,Acos(,x，,)(k,Z), ,y,3sin(2x，)例1、函数图象的一条对称轴方程是( ) 6 2,,,x,0x,x,,x,(A) (B) (C) (D) 363 ,,,23sin(2x，),,1x，,k，解:由性质1知，令得，即,(k,Z)626 2,,kk,1x,，x,，取时，，故选(B)。 ,(k,Z)263 1,f(x),cos(3x，)例2、函数的图象的对称轴方程是 23 ,,cos(3x，),,13x，,k,解:由性质1知， 令得，即(k,Z)33 ,,,kkx,,f(x),cos(3x，)x,,，所以的图象的对称轴方程。 ,(k,Z),(k,Z)39393 二、正弦曲线和余弦曲线都是中心对称图形 性质2、函数和的图象关于其与x轴的交点y,Asin(,x，,)y,Acos(,x，,)分别成中心对称图形, y,Asin(,x，,)的对称中心求法是:令sin(,x，,),0，得,x，,,k,(k,Z)， ,,,,k,k,(,0)x,则(k,Z)，所以函数y,Asin(,x，,)的图象关于点(k,Z)成中,,心对称; y,Acos(,x，,)cos(,x，,),0对称中心的求法是:令，得 1 ,,(2k，1),2,，则，所以函数的图x,x，,k，,,,y,Acos(,x，,)(k,Z)(k,Z)22, ,,(21)2k，,象关于点成中心对称; (,0)(k,Z),2 ,例3、函数的图象的一个对称中心是( ) y,4sin(2x,)6 ,,,,(A) (B) (C) (D) (,0)(,0)(,,0)(,0)12636 ,k,,解:由性质2知，令得，即，sin(2x,),02x,,k,x,，,(k,Z)(k,Z)21266 ,k,0取时，，故选(A)。 x,12 1,例4、函数的图象的对称中心是 y,2cos(x,)28 11,,,解:由性质2知， 令cos(x,),0得x,,k，，即,(k,Z)28228 51,,2x,k，，所以函数y,2cos(x,)的图象的对称中心是,(k,Z)428 5,(2k，,0)。 ,(k,Z)4 三、正切曲线和余切曲线都是中心对称图形 性质3、函数和的图象关于其与轴的交点xy,Atan(,x，,)y,Acot(,x，,)分别成中心对称图形, 对称中心的求法是:令，得，y,Atan(,x，,)tan(,x，,),0,x，,,k,(k,Z) ,,,,k,k,(,0)x,则，所以函数的图象关于点成中心对y,Atan(,x，,)(k,Z),,称; ,x，,k，对称中心求法是:令，得，y,Acot(,x，,)cot(,x，,),0,,,(k,Z)2 ,,(2k，1),2x,则，所以函数的图象关于点y,Acot(,x，,)2, ,,(21)2k，,(,0)成中心对称; (k,Z),2 ,y,3tan(2x，)例5、求函数的对称中心的坐标。 3 ,,,ktan(2x，),02x，,k,x,,解:由性质3知， 令得(k,Z)，即,(k,Z)，2633 ,k,y,3tan(2x，)(,,0)所以函数,(k,Z)的图象的对称中心是。 263 四、对称性规律: 2 1.若是或的对称轴，则 xa,fxAx()sin(),，,,faA(),,fxAx()cos(),，,, fxAx()tan(),，,,(,0)a2.若是或或的对称中fxAx()sin(),，,,fxAx()cos(),，,, fa()0,心，则解思路:解选择题的思路即代入法。 五、应用 1(解析式问题 由于对称轴都是通过函数图像的最高点或者最低点的直线，所以把对称轴的方程代入到函数解析式，函数此时可能取得最大值或最小值。 例1(设函数=()，图像的一条对称轴是直f(x)sin(2x，,) ,,,,,0f(x) ,线x,，求的值。 ,8 ,,x,sin(2，，,),,1解析:?是函数y=的图像的对称轴，?， f(x)88 ,,,3，,k，,,?，k?Z，而，则。 ,,,,,,,0,424 2(问题 ,,x，,过函数y=Asin()图象最值点与y轴平行(或重合)的直线都是函数图象的对称轴。 ,例2(如果函数y,sin2x，acos2x的图象关于直线x,,对称，则a的8值为( ) 22A( B(, C(1 D(,1 121，a,,解法一:y,sin2x，acos2x=sin(2x，)，其中cos=，21，a a,,sin=，由函数的图象关于x=,对称知，函数y,sin2x，acos2x在x=281，a ,,,21，a,处取得最大值或最小值，?sin(,)，acos(,),?， 844 221，a即(1,a)=?，解得a,,1，所以应选择:D。 2 3 ,解法二:?f(x),sin2x，acos2x的图象关于直线x,,对称， 8 ,,,,,,,,,,?，令x=,，得， ，，f,，x,f,,xf,,f0,,,,,,8884,,,,,, ,,,,,,?sin，acos=sin0，acos0，得a,,1， ,,,,,,22,,,, 3(单调区间问题 一般运用正、余弦函数的对称轴方程求其单调区间，可先运用对称轴方 程求其一个单调区间，然后在两端分别加上周期的整数倍即得。 ,例3(在下列区间中函数y,sin(x，)的单调增区间是( ) 4 ,,,,A(,，, B(,0，, C(,,，0, D(,，, ,,2442 ,,,,解析:函数y,sin(x，)的对称轴方程是:xk=k，,=k，(k,,4244 ,3?Z)，照选择支，分别取k,,1、0、1，得一个递增或递减区间分别是,,，4 ,,,5,或,，,，对照选择支思考即知应选择答案:B。 444 4(函数性质问题 例4(设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象f(x),sin,x ,C的对称轴上的距离的最小值，则的最小正周期是( ) f(x)4 ,,A(2π B(π C( D( 24 解析:设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象f(x),sin,x ,C的对称轴上的距离的最小值，而图象的对称中心到一条对称轴的距离的最4 1,小值等于周期，?最小正周期为T=×4=π，即选择答案:B。 44 ,2k函数y=Asin(,,x，,)的对称轴有无数条，它们的周期不是T=，而是,,kT=，可以理解为对称轴的周期是函数周期的一半。 , 4