广义拉盖尔多项式及碱金属原子径向方程的求解

广义拉盖尔多项式及碱金属原子径向方程的求解 Vol . 16 No . 5 第 16 卷第 5 期 大 学 物 理 COLL E GE P H YSICS May. 1997 1 9 9 7 年 5 月 Ξ 广义拉盖尔多项式及碱金属原子径向方程的求解 王明泉陈向炜 ?() 商丘师范高等专科学校物理系 ,河南商丘 476000 摘 要 将碱金属原子径向方程化为广义拉盖尔多项式微分方程 ,方便地求出了碱金属原子体系的能级及广 义拉盖尔多项式表示的径向波函数. 所得结果不仅适用于碱金属原子 ,也适用于氢原子 、类氢离子 . ;碱金属原子 ;径向方程广义拉盖尔多项式 关键词 O562 . 1 ;O413 . 1 分类号 这就是缔合拉盖尔多项式 . 1 引言 ) 2广义拉盖尔微分方程1 ,3α α α在一般教材中 对于氢原子和类氢离( ) (α) ( ) ( ) , x Lx + + 1 - x Lx + nLx = 0n n n 子径向方程的求解 ,均是用缔合拉盖尔多项式 ( )2 来表示其径向波函数 . 然而 ,对于碱金属原子 , ) 3广义拉盖尔多项式的正交性 α ? 由于 n 、l 都不再是整数 , 故 缔 合 拉 盖 尔 多 项 xα α( ( ) ) L x L x d xm n x ?0 e 式不再适用于碱金属原子问题. 本文将在给出 α0 ?n ,> - 1m 碱金属原子价电子与原子实相互作用势能的基 ( )= 3 Γ( α)n + + 1础上 , 通过求解非相对论径向方程 , 得到体系的 αm = n ,> - 1 n ! 能级及用广义拉盖尔多项式表示的径向波函 在了解上述广义拉盖尔多项式的有关知识 数 . 的基础上 , 我们将对碱金属原子体系的径向方 [ 4 ]程进行求解 . 2 广义拉盖尔多项式 ) 1广义拉盖尔多项式的表达式 3 碱金属原子价电子与原子实的相互作用 αn +x n x e d α ( ) Lx = 碱金属原子可看作是由价电子与原子实构 n xαn e n ! xd x n 成的体系 , 价电子受库仑场作用绕原子实运动 . k αn + x k( ) = - 16 由于原子实所占空间体积很大 , 因而价电子出 k ! k = 0 n - k 现在原子实内的概率并不为零 , 这就是原子实 Γ(α)+ 1 + n α)( )( = F -n ;+ 1 ; x 1 Γ( α) n ! 1 + 的贯穿. 由于价电子的贯穿作用 , 原子体系的势 α这是一个 n 次多项式 . 其中 是不等于负整数 能为 α ( ) n ;+ 1 ; x 是库末函2的任意实数或复数 ; F - Z e ( ) )( 4 0 U r= - 1 ( ) ( ) α 数 . 若 = 0 ,L x = L x , 这就是拉盖尔多 πε 4rn n 0 αm α( ) ( ) 项式. 若 = m , m 为正整数 ,Lx = L x , n n Z 为原子实对价电子作用的有效电荷数. 又因 2 μ2e 为价电子产生的电场作用到原子实上 , 将排斥 ) ) ( ( λ( )l l + 1= l l + 1- a11 0 2πε 4h0 它的负电荷而吸引它的正电荷 , 使原子实的电 ( ) 则式 10变为 荷偏离球对称分布 , 形成一电偶极子 , 其电矩指 2 μ( ) 2E Zl l + 12 d R R2 d 向价电 子 . 设 电 偶 极 矩 大 小 的 平 均 值 为p = + - + R = 0 +2 2 2 ar r d r hr0 d r λ ae , 其电偶极势能为0 ( )12 2λae 0 2 2 πε μ式中 a = 4/ 为玻尔第一轨道半径 . he0 0 ( )( ) 5 U r= - 2 2 πεr40 ( ) 由式 11知 , l〈 l , 故可令 λ式中 a为玻尔第一轨道半径 ;为无量纲的可 ( )δ13 0 l = l - l 变系数 , 它与原子实的极化程度有关.( ) ( ) δ其中 可由式 13代入式 11求得为 l 2 一般而言 , 价电子与原子实之间的相互作 μλ ea0δ( )?14 l 2 πε( )4hl + 1/ 2 用比较复杂 , 略去其它较弱的作用 , 仅考虑到原 0 ( ) 当r ϖ ?时 , 式 12 趋近于 子实极化与贯穿效应 , 可以认为碱金属原子中 2 μdR 2E ( ) 价电子在势场 U r中运动 ( )+ R = 015 2 2 d r h 2 2 ae Z e 0 ( ) ( ) ( ) λ - U r= U r+ U r= - 1 2 2它的合理化渐近解为πε4rπε 4r0 0 - Cr ( )16 R ,e ( )6 2 2 μ( )其中 C= - 2E/ h. 这样 , 我们可设方程 12 的解为 4 碱金属原子径向方程的求解 - Cr ( ) ( ) ( ) R r= e F r17( ) F r 满足的 ( ) ( ) 将式 17代入式 12中 , 可得到 ( ) 利用式 6, 碱金属原子的定态薛定谔方程 微分方程为 为 2 2 2 2 Z h Z e e 22 2 ( ) ( ) ( ) C - 2 λ- -rF r+ 2 r - 2 C rF r+ - a ψ r 02a μ πε24r πε0 0 4r0 ( ) ( ) ( )- l l + 1F r= 0 18 ψ( )= E 7 ( ) 由于方程 18在 r = 0 时具有正则奇点 , 因而 显然 , 上式在球极坐标下可分离变量 , 且分离变 可进一步设 θ量后所得到的关于 、< 的方程与氢原子的相 s( ) ( )( )F r= rL r 19 ( ) 应方程相同 , 故式 7关于角度部分的解与氢原 ? 2 j ( ) L r= b+ br + br +式中= br 0 1 2 j (θ) 子的相应解相同 , 仍是球谐函数 Y, <. 设 6 l , m j = 0 b?0 0 ( ) ( ) 其径向部分的解为 R r, 则式 7的解为 ( )20 ( )ψ( ) (θ)8 = R rY, < l , m ( ) ( ) 将式 19代入式 18中 , 可得 ( ) R r满足的径向方程为 2 2 ( ) ( ) ( )rL r+ [ 2 s + 1r - 2 Cr] L r 2 Z e μ2 1 d d R ( ) ( ) 2 s s + 1- l l + 1+ 2 [ Z / a 0 E + + r 2 2 πε+ ( ) 4rL r= 0 d r d r 0 rh( ) - C s + 1] r 2 ( )e l l + 1λ( )+ a 21 ( )0- R = 0 9 22 πε4r 0 r( ) ) ( ( 若在式 21中令)r = 0 , 则 s s + 1-l l + 1 ( ) 将式 9改写为 = 0 , 这个 s 的二次方程有两个根2 μZ e 2 1 d d R 2 E + + r 22 s = l ( )22 πε 4rd r d r 0 hr 2 ( )( )s = - l + 1 23 μ 2e1( ) λl l + 1- a ( )- 0R = 0 10 22 ( ) 由于在 r = 0 处 R r应是有限的 , 故应选取 s πε 4hr0 令 ( ) = l . 于是 , 关于 L r的微分方程变为 ( ) ( ) ( ) ( )k 为正整数 , 故式 34可写成rL r+ [ 2 l + 1- 2 Cr ] L r 2 ( )24 ( ) ( ) d L d L + 2 [ Z / a- C l + 1] L r= 0 0 ρ (ξρ) ( ) + + 1 - + n - l - 1L = 02ρd ρd ( ) ( ) 将式 20代入方程式 24中 , 并经归纳后得 ? ( ) 37 ) ( ) ( ) ( j j + 1b+ 2 l + 1j + 1b ( ) j + 1 j + 1可见 , 式 37正是广义拉盖尔多项式的微分方 6 j = 0 ( ) 程 , 因而式 37的解为 Z 2 j ( )+ 25 Cl - 2 C - 2 Cj b - 2 r= 0 j ( )ξ2 l + 1 a 0(ρ) ( ))( A L= A L 2 C r 38 ( )( )n - l - 1 n - l - 1 j 若令 r的系数等于零 , 就可得到递推公式 ( ) 于是 , 原方程式 10的解可表示为 - Cr l ()2 l + 1 ( )2 Cl + 2 C + 2 Cj - 2 Z / a 0 ( ) ( )R r= A e rL 2 C r n , l n - l - 1 ( )b26b= j j + 1 ( ) ( )j + 1j + 2 l + 2 Z Z r - l 2 l + 1 r n a 2 = A e rL n - l - 10 ( ) ( ) 由式 20知 , 当 r ϖ ?时 , L r 将变为无 n a0 限大 , 这与波函数的有限性相矛盾. 所以 , 必须 ( ) 39 ( ) 式中 A 为波函数的归一化系数 . 式 39即为碱 ( ) 让无穷级数 L r变为多项式 , 即在达到 j = k 金属原子体系径向波函数的表达式 . 若求得各 项之后级数中断 , 于是有 状态下的 n 、l 值 , 即可得 到 具 体 的 径 向 波 函 ( )27 2 Cl + 2 C + 2 Ck - 2 Z / a= 0 0 数形式. 因而得 ( ) ( )28 2 C k + l + 1= 2 Z / a 0 5 结语 ( ) n = k + l + 1 29若令 ( ) 30 则得Cn = Z / a 由上述讨论可知 , 碱金属原子体系的径向0 1 2 2 2 方程可化为广义拉盖尔多项式的微分方程 , 并 2 πεμ( μ) 将 a= 4h/ e及 C = - 2E/ h代入 0 0 能够方便的求出碱金属原子体系的能量及径向 ( ) 式 30中 , 可得到碱金属原子体系能量公式为 4 2 2 ( ) 波函 数 的 表 达 式 . 本 文 所 得 结 果 式 31 和 式 μe Z R h C Z ( )E = - = - 31 2 2 2 2( ) 39 也完全适用于氢原子以及类氢原子问题 ,( πε) n2 4hn 0 ( ) 即当 Z = Z 、l = l 、n = n 时 , 式 31即为氢原式中 n 为有效主量子数. Z r ( ) ( ) 2 l + 1 为了 求 解 方 程 式 24 , 将 式 30 代 入 式( ) 2 子体系的能量 , 式 39 中 的 L 为 n - l - 1 n a0( ) 24中并作如下代换缔合拉盖尔多项式. 因此 , 本文给出了一种求解 ρ( )= 2 Cr 32 多电子原子问题的新方法 , 这对于多电子原子 ξ= 2 l + 1 ( )33 问题的研究是非常有用的 . ( ) 则式 24将变成如下形式 2 参考文献6 dL d L ρ (ξρ) ( ) + + 1 - + n- l - 1L = 0 2ρd ρd 1 席夫. 量子力学. 北京 :人民教育出版社 , 1982 . 101,107 ( )34 2 Д. И. 布洛欣采夫. 量子力学原理. 吴伯泽译. 北京 : 人民 δ( ) 由于 l = l - , 则由式 29得 l 教育出版社 , 1965 . 220 δδ n = k + l + 1 = k + l + 1 - = n - 3 周世勋. 量子力学教程. 北京 :人民教育出版社 , 1979 , 66,l l 70 ( )35 4 《数 学 手 册》编 写 组. 数 学 手 册. 北 京 : 人 民 教 育 出 版 社 , n 为主量子数 , 而 1979 . 610 δδn - l - 1 = n - - l + - 1 = n - l - 1 = k l l ( )下转 23 页 ( )36 ( ) Erase 反复擦写和重画 . 这种方法简单易行 ,但容易 5 仿真系统的运行环境 造成闪烁现象 ,只能用于速度要求不高的动画 ,如电表 指针的转动 . 操作系统 : MS DOS3 . 3 以上版本 2() 帧动画 CPU :80286 以上 包括 286实现时可分为屏显到帧存储 , 帧重现 到屏幕显示 . 这样可得到较好的显示效果 ,但需要较大内存 :至少具有 640 K 常规内存 . 的存储空间及较复杂的处理过程 .此软件亦能装入文件服务器 , 供网络上的工作站 调色板变换法 一次性用不同颜色值画出物体的 共享 . 对网络无特殊要求 . 运动轨迹 . 但仅使一种颜色值可见 ,然后依次改变可见 结束语 6 的颜色值 . 这种方法同样有较好的显示效果 ,但需要有 本文所述的实验教学中的计算机仿真系统于 1995较高的显示模式的支持 . 在该部分的模拟实现中 , 我们综合选用了以上几 年通过国家教委鉴定 ,同时获得中国科技大学科技成 种方法 . 为了更好更自然地控制油滴 ,获得比较好的图 果一等奖 . 其 DOS 版本由高等教育出版社于 1996 年正 ( 象效果 ,在油滴结构中加入标志 m nowspeed 累加速式出版 . 目前 ,该系统的 Windows 升级版本及系统的完- ) 率. 下面是此部分的伪代码 :善优化工作及图形显示控制系统和计算机动画等有关 For 第 1 个油滴 to 第 n 个油滴技术研究工作正在进行中 ,并已取得初步成果 . if 该油滴的 m nowspeed ?可移动速率 - 7 参考文献 移动该油滴 ; 1 吴 华主编. 大学近代物理实验. 合肥 : 中国科学技术大学 该油滴的 m nowspeed = 该油滴的 m nowspeed -- - 出版社 ,1992 可移动速率 L ee Adams. Visual Basic 动画编程. 施小龙 ,葛玉宝 ,邓明辉 2 else 该 油 滴 的 m nowspeed = 该 油 滴 的 m - -译. 北京 :学苑出版社 ,1994 nowspeed + 该油滴的 m - speed COMP UTER SIM UL ATIO N SYSTEM FO R EXPERIM ENTS ED UCATIO N ))))1231 Wang Xiaop uYang BoYin ZhimingHuo J ianqing( ) ( ) 1Cent re for Fundamental Physics , U niversity of Science and Technology of China U S TC, Hefei , Anhui , 230026 , ) ) China ;2Depart ment of Co mp uter Science and Technology , U S TC , Hefei , Anhui , 230026 , China ;3Depart ment of In2 )formatio n , Management and Decisio n Making , U S TC , Hefei , Anhui , 230026 , China The co mp uter simulatio n system fo r experiment s educatio n is int ro duced. The st ruc2 Abstract t ure , characters , realizing p rinciple and it s applicatio ns are described. Key words experiment s educatio n ; co mp uter simulatio n ; grap hics simulatio n ( )上接 10 页 GENERAL IZED L A GUERRE POLY NOM IAL A ND THE SOL UTIO N OF RAD IAL EQUATIO N OF AL KAL I NE - M ETAL ATOM Wang Mingquan Chen Xiangwei ()Departent of Physics , Shangqiu Teacher’s College , Shangqiu , Henan , 476000 , China Abstract The energy level and t he radial wave - f unctio n of alkaline - metal ato m system are solved simply by using generalized L aguerre polyno mials. Key words generalized L aguerre polyno mial ; alkaline - metal ato m ; radial equatio n