梯形对角线交点的性质 正n边形对角线在形内交点的计数公式

梯形对角线交点的性质 正n边形对角线在形内交点的计数公式 30数学通讯 1998年第11期 正n边形对角线在形内交点的计数公式 樊益武 (陕西蓝田县北关中学 710500) 1986年张忠辅先生提出“寻求正n边形在形内交点的计数公式”问题,杨之猜想:当n为奇数时,任何三条或三条以上对角线在形内不共点[1].1997年罗增儒先生在他的专著《数学解题学引论》一书中,将其列为第8个待解决的问题wwW.wenku1.com.本文用解析法解答了这一问题. 引理 设l1:a1x+b1y+c1=0,l2:a2x+b2y+c2=0,l3:a3x+b3y+c3=0,则由l1,2 l2,l3所围成的三角形面积为S=2?1?2?3的绝对值.其中 1 a1 ?= a2a3 b1b2b3 c1c2c3 [2] (cos ,sin)(i=0,1,2,…,n-1).nn 这里我们仅研究n?6的情况.任取六个顶点A0,Ah,Ap,Aj,Ak,Aq,其中 0如图1,不妨设 ?A0OAj??AhOAk?c?ApOAq??AhOAk?c 直线 A0Aj,AhAk, ?? ?1,?2,?3分别为c1,c2,c3的代数余子式. 推论 两两相交的三条直线共点的充要条件是?=0. 为解决所述问题,我们以正n边形A0A1 …An-1的中心O为原点,OA0为x轴建立直角坐标系xOy, 不失一般性,设其外接圆的半iApAq的方程分别为xcos+ysin-nncosn=0, +xcosn 2 图1 -ysinncos=0,n xcos+ysin-cos nnn =0. 考虑系数行列式 1998年第11期 数学通讯 cos ?= n sin n -cos n 31 共点.由于这三条对角线的任意性,可知正n边形A0A1…An-1在形内无三条或三条以上对角线共点.这就了杨之的猜想. (2)当n为偶数时,注意到在k-h=n/2时,?AhOAk=c,类似于?的讨论有 cosA?cosC?0,cosA-cosUcosC?0,cosB?cosC?0,cosB-cosTcosC?0,由?得 -??0. 3 当且仅当cosA=cosB=cosC=0时,?=0,此时对角线A0Aj,AhAk,ApAq均为正n边形A0A1…An-1外接圆的直径. 由(1),(2)可得如下 定理 记正n(?4)边形对角线在形内的交点数为f(n),则 f(n)= Cn 4 cossin-cos nnncos sin-cos nnn =-[sin cos+nn sincos+ nnsincos]. nn 令T=(h+k-j)c/n, U=(p+q-h-k)c/n, V=(j-p-q)c/n, A=(q-p)c/n, B=jc/n, C=(k-h)c/n,则T+U+V=0,这样 (n为奇数); 42 Cn-Cn/2+1(n为偶数). -?=sinTcosA+sinUcosB+sinVcosC= 4 sinTcosA+sinUcosB-sin(T+U)cosC= 证 从n个顶点中任取4个得一个四边形,它有1个在形内的交点,因此 (1)当n为奇数时,没有3条或3条以上对角线共点,所以 4 f(n)=Cn. (cosA-cosUsinTcosC)+sinU(cosB-cosTcosC).由?可知 0?00,sin>0TU得0?ApOAq??AhOAk=C? (1)当n为奇数时,?AhOAk?c,由? 条对角线为外2 接圆的直径,它们两两相交于一点即中心,所 (2)当n为偶数时,有以此时 42 f(n)=Cn-Cn/2+1. 证毕. 参 考 文 献 可知cosA?cosC>0, 所以cosA-cosUcosC>0; 同理cosB-cosTcosC>0,由?得-?>0. 5 由推论知,对角线A0Aj,AhAk,ApAq不 1 杨之.近年中国初等数学研究的若干新成果.数学通讯,1994(7), 2 周华生.三线形面积公式及其推广.数学通报, 1996(9) 百度搜索“就爱阅读”,专业,生活学习,尽在就爱阅读网92to.com,您的在线图书馆 6