已知平行六面体的底面是边长为2的菱形

已知平行六面体的底面是边长为2的菱形 ????? 1、如图，已知平行六面体ABCDABCD,的底面ABCD1111 D1C1 A是边长为2的菱形，，又顶点在底面，,:BAD601 A1B1 AA上的射影恰好是边中点，而和底面所成ABCDADH1 角的正切值为2． CD （?）求AC和底面所成角； ABCD1H AB（?）问线段DMAC,上是否存在一点，使成ABM11 立．若存在，求出线段之长；否则说明理由． MA 解：?过顶点A作底面的垂线交于点，依题意为中点，连接和ABCDADADHBHH1 ，HCAAC，则为和底面所成的角。…………………… 1分 HCABCD11 是菱形，且， ABCD，,:DAB60 222HC,7？,,，,,,,:,在中HDCHC,12212cos1207，即， 又在,，,,AHAAAHAH中则,tan2,2，…………………… 3分 111 227 ？,,,在中AHCACH,tan1177 27？ACABCD与底面所成角为arctan．…………………… 5分 17 ?D1依题意面又AHABCDAHHB,,,, C11z 如图建立空间直角坐标系，且已知点的坐标如下： A1B1 ABDA(1,0,0),(0,3,0),(2,0,2),(0,0,2),,1 C(2,3,0),．…………………… 6分 CDH A B MABMxxDM在上故设于是,(,3(1),0),,,M1yx ．………… 8分 (2,3(1),2),(23,2)xxAC，,,,,,1 设， DMAC,,011 于是有：,，，,,，,,,，,，,2(2)33(1)40,243340xxxx即． 332…………………… 10分 ？,xM,(,3,0)于是点555 32422AM,,，,(1)(3)． 555 故线段DMAC,上存在点，使成立。…………………… 12分 ABM11 2、一个四面体，其一个顶点出发的三条棱两两互相垂直，其长分别为1,6,3，且四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为 A． B． C． D． 16,32,36,64,P答：A 3、如图（1）在直角梯形中，?AP, ABCPBCFEABBCCDAPADDCPD,,,,,,,2, 分别EFG,,DC是线段PCPDBC,,的中点，现将折起， ,ABCG使平面PDCABCD,平面（如图2）． BA(1) （?）求证?平面； EFGAP （?）求二面角的大小； GEFD,,P （?）在线段上确定一点，使?平面ADQ，QPCPB EF试给出证明． 解：（?）取HHGHF,,,连的中点 ADDC G EFG,,分别是线段PCPDBC,,的中点， AB(2) DCHG,??， DC？EF EFEFHG,,,,?四点共面． ？HG ？,HFEFGH面. P APAPEFGH,,,面? HF EF EFGHAD,即?面?平面．………………… 4分 ？AP DC （?）PDDCEFDC,,,， GH AB ？,,,DFEFPDCABCDHDDC,,又平面平面且， ？,,HDPDCEFPDC平面平面,HFEF,,，由三垂线定理得 就是二面角的平面角．…………………… 6分 GEFD,,？，DFH 11 在， RtHDFDFPDDHAD,,,,,中,1,122 ，即二面角的大小为45?．…………………… 8分 ？，,:DFH45GEFD,, （?）法1，当点PCADQ,平面.是线段中点时，有 QPB 证明如下： P 取PCSQSDSQS中点连则有,,,?， BC 又?， BCADS ？QS?， AD Q ？ADSQ,,,四点共面． DC PDDCSPC,,为中点， AB ？,PCDS. 又PDABCDADCD,,平面,， ？,,PCADSQPCADQ平面即平面,．…………………… 12分 法2，建立如图所示的空间直角坐标系， z 设P是线段上的一点， QPB 令PQPB,,,,,(01)． ， PDAD,,2Q？PABC(0,0,2),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)， DCy？,,,,,,APPBPC(2,0,2),(2,2,2),(0,2,2)， ABx？,,PQ(2,2,2),,,． ？,，,,，,AQAPPQ(22,2,22),,,． 令AQPC,,,,,,0,222(22)0设,,， 1解得,,， 2 1？,,当时即点是线段中点时,,QPBAQPC,有． 2 又PDABCDADCD,,平面,， ． ？,ADPC ？,当点是线段中点时有平面EPBPCADQ,．…………………… 12分 4、如图，已知四棱锥的底面是边长为4SABCD,z的正方形，在底面的射影落在正方形SOABCDS OABAD到,内，且的距离分别为2和1． P （?）求证：ABSC,是定值； （?）已知EPSC是的中点，且，问在棱SO,3SADC OyQPBQ与上是否存在一点，使异面直线所成的角Q ABx为90?？若存在，请给出证明，并求出的长，AQ 若不存在，请说明理由． 解证：（?）在,,SDCSECDCDEOE内作交于连结,,.…………………… 1分 SOABCDSOCD,？,平面, ？,CDSOE平面 ？,CDOE ? ？OEAD ？,,DECE1,3从而．…………………… 4分 ABSCDCSCDCSCSCDDCEC,,,,，,,cos12， ？,ABSC是定值．…………………… 6分 （?）以为坐标原点，以所在直线为轴，以过且平行于的直线为轴，OOSOzOOxAD 以过Oy且平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．…………… 7分 OAB 33 于是，…………………… 8分 ABCSP(2,1,0),(2,3,0),(2,3,0),(0,0,3),(1,,),,,22 设点,,使AQAS,Qxyz(,,)，则存在（这是关键！将点的坐标用一个变量表示） 即(2,1,)(2,1,3)xyz,，,,,， xx,,,,,，2222,,,, ,, 得即yy，,,,11,,…………… 10分 ,, ,,zz,,33,,,, 33 令OPBQ,,,,,,,,,(1,,)(2,4,3)860,,,, 22 3 得 …………… 11分 ,,4 11933 由．………… 12分 01,,(,,),14,,,,,,知点在棱上且QSAQAQAS24444 5、已知正三棱锥内接于半径为6的球，过侧棱及SABC,SAS球心的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥O 的侧面积为 ． O答：A275 CD6、一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中 MN,分别是AFBC,的中点）． N （?）求证：E?平面； MNCDEFF （?）求二面角的余弦值的绝对值． DMNB,,M解：由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的AB直三棱柱，………2分 ADEBCF, 直观图 且ABBCBFDECF,,,,,2,22， 2, ．……………… 3分 ？，,CBF22222 （?）取BFGMGNGMN中点连由分别为,,,, 2AFBC,中点可得， 2 三视图 2?CFMG,?． NGEF ？面MNG?面， CDEF ?面． ……………… 6分 ？MNCDEFz （?）建立空间直角坐标系，如图：则CD ABDFM(0,0,0,),(2,0,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0), yNCNDMBN(2,0,2),(2,0,1),(1,1,2),(0,0,1),,,, EF GMMN,,(1,1,1)， ……………… 8分 ABx设平面m,(1,,)yz的法向量为，则DMN DMMN,,,,mm0,0， 120,3,，,,,yzy,, 即？,,10,2,,，,,yzz,, ； ……………… 9分 ？,m(1,3,2) 设平面MNBN,,,,nn0,0n,(1,,)yz的法向量为，则， MNB11 10,，,yz,11即？,n(1,1,0) ……………… 10分 ,z,0,1 设二面角的平面角为，则 DMNB,,, mn,427cos,,,,． mn728 27所以二面角的余弦的绝对值为．……………… 12分 DMNB,,7 豆丁致力于构建全球领先的文档发布与销售平台，面向世界范围提供便捷、安全、专业、有效 的文档营销服务。包括中国、日本、韩国、北美、欧洲等在内的豆丁全球分站，将面向全球各地 的文档拥有者和代理商提供服务，帮助他们把文档发行到世界的每一个角落。豆丁正在全球各地 建立便捷、安全、高效的支付与兑换渠道，为每一位用户提供优质的文档交易和账务服务。