问非所答 答非所问2010年福建省高考文科数学压轴题

问非所答 答非所问2010年福建省高考文科数学压轴 问非所答 答非所问2010年福建省高 考文科数学压轴题 问非所答答非所问 --2010年福建省高考文科数学压轴题的探究 福州华侨中学数学组李文明 2010年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷文科数学第22题本小题满分14分) 已知函数f(x)=的图像在点P(0,f(0))处的切线方程为y=3x-2 (?)求实数a,b的值; (?)设g(x)=f(x)+是[]上的增函数。 (i)求实数m的最大值; (ii)当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标;若不存在，说明理由。 命题者的命题目的是:本小题主要考察函数、导数等基础知识，考察推力论证能力、抽象概况能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、数形结合思想、化归与转换思想、分类与整合思想。 命题者提供的参考答案是: 解法一: (?)由及题设得即。 (?)(?)由 得。 是上的增函数，在上恒成立， 即在上恒成立。 设。 ， 即不等式在上恒成立 当时，不等式在上恒成立。 当时，设， 因为，所以函数在上单调递增， 因此。 ，即。 又，故。 综上，的最大值为3。 (?)由(?)得，其图像关于点成中心对称。 证明如下: 因此，。 上式明，若点为函数在图像上的任意一点，则点也一定在函数的图像上。 而线段中点恒为点，由此即知函数的图像关于点成中心对称。这也就表明，存 在点，使得过点的直线若能与函数的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图 形的面积总相等。 解法二: (?)同解法一。 (?)(?)由， 得。 是上的增函数，在上恒成立， 即在上恒成立。 设。 ， 即不等式在上恒成立。 所以在上恒成立。 令，，可得，故，即的最大值为3. (?)由(?)得， 将函数的图像向左平移1个长度单位，再向下平移个长度单位，所得图像 相应的函数解析式为，。 由于，所以为奇函数，故的图像关于坐标原点成中心对称。 由此即得，函数的图像关于点成中心对称。 这也表明，存在点，是得过点的直线若能与函数的图像围成两个封闭图形， 则这两个封闭图形的面积总相等。 别解: (1)略 (2)(i)解由(1)得， ， 因为是[2,上的增函数,所以 即 也就是 设 所以因此 所以故,所以的最大值是3. (ii)解:当m取最大值时，假设存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。则有函数的图象关于点Q中心对称，即 又， 令，当所以点Q， 感悟: 1.提供的参考答案在(2)(?)的两种解法中都采用了"换元法"进行转化;并且在解法一中还要"分类讨论"，最后再"综上"进行"整合"这种解法可能就是为了说明本题要考查"化归与转化思想、分类与整合思想"。高考试题有两个最显著的特点:一是答题时间的限定性;二是评分的阶段性。在别解中，既恰当的 也回避了多项式函数求导超过3次的"超纲"嫌运用了两个函数积的求导公式，( 疑)又有效避免了盲目分类讨论;既考查了考生的思维品质和运用基础知识的能力，又提高了解题效率与质量。充分体现数学的简约美与自然美。(简洁是智慧的灵魂，冗长是肤浅的藻饰--莎士比亚)由此不难看出"化归与转化"不是必须要用"换元法";"分类与整合"显然是不必要的，所以命题的目的-考查"分类与整合的思想"就会落空。 2.提供的参考答案(2)(?)的两种解法看似简约自然，实则总有一种感觉就象"帽子里边突然蹦出一只兔子来"(波利亚语)，解法一中的点Q的坐标是如何想到的?解法二的平移规则又是如何想出来的?让人莫明其妙，匪夷所思;即使是"猜想"也需要有"合情推理"的过程;更重要的是这本是一道结论"开放性"的探索性试题，它可以有效的考查学生的创新思维和探究能力，参考答案的解法是知道答案后所进行的一种验证;这是命题者根据已知结果编制题目，然后进行验证的一个无意流露。点Q的坐标到底是怎样探究出来的避而不谈;却用大量的笔墨证明和说明这个点就是对称中心;其实函数的图象关于点Q中心对称的代数特征就是;而几何特征就是图象上的任意两个对应点连成的线段被点Q平分;这两种特征是同一个问题在数与形上的不同表现,是等价的,函数图象若关于某个点中心对称,就同时具有上述两个特征;我们再来仔细看看题目的: ，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两"当m取最大值时，是否存在点Q 个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标;若不存在，说明理由。"这个问题一要回答存在不存在,二是要求这样的点的坐标是什么;也就是一要回答符合条件的点到底有没有?二是要回答有几个?有那些?再看看参考答案:(?)由(?)得，其图像关于点成中心对称。 证明如下: 因此，。 上式表明，若点为函数在图像上的任意一点，则点也一定在函数的图像上。而线段中点恒为点，由此即知函数的图像关于点成中心对称。这也就表明，存在点，使得过点的直线若能与函数的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。 为了说明问题我们不妨再看看2010年福建高考数学(文科)19题及答案做一个比较19.(本小题满分12分) 已知抛物线C的方程C:y 2=2 px(p>0)过点A(1，-2). (I)求抛物线C的方程，并求其准线方程; (II)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于?若存在，求出直线l的方程;若不存在，说明理由。 19.本小题主要考查直线、抛物线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.满分12分. 解:(?)将(1,-2)代入，所以. 故所求的抛物线C的方程为，其准线方程为. (?)假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t， 由，得y2+2 y-2 t=0. 因为直线l与抛物线C有公共点，所以得Δ=4+8 t，解得t?-1/2. 另一方面，由直线OA与l的距离d=，可得=，解得t=?1. 因为-1[-,+?)，1?[-，+?)，所以符合题意的直线l存在，其方程为2x+y-1=0. 这两题显然都是结论"开放型"试题，但解法却迥然不同，19题是先假设存在，然后根据题设条件探究出符合题意直线方程，而22题(2)(?)既没有"假设" 也没有"探究"直接就写出了这道题目的答案点Q的坐标(未知突然变成了已知)然后证明它如何符合题设条件(已知又变成了未知)，如果按着这样的"标准答案"评分，还能考查出"考生的探究能力吗"?这不明明是"已知"与"未知"颠倒吗，这样混淆是非，颠倒黑白的"标准答案"怎么可以作为评分依据呢 1.既然已经知道对称中心是点Q,那还有证明的必要吗?我们为什么要证明"对称中心"就是"对称中心"呢? 2.证明就是要根据已知条件通过一系列的推理,直至推出要求证的结论的过程.因为点Q的坐标并不是已知,并不是知道了这个点去证明它有什么性质.这个坐标恰恰是我们要求解才能得出的,验证某个已知点是对称中心,也并不能确认其他的点就一定不是对称中心. 3.当然我们也不反对直觉思维与合理猜想,也就是说如果有考生直接给出点Q的坐标,没有猜想过程和推理过程,也要给一定的分数,但不是全部,因为解答题是要有推理过程的,而不是只看结果.不给满分是因为缺少探究坐标的过程,如果有了如何探求坐标的过程和正确的结果,就无需再作证明. 4.如果按着答案本题(2)(?)应改为:"当m取最大值时，已知点Q，证明过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等".然而这并不是命题者的本意,这道题目也就成了平铺直叙的传统题目,毫无新意可言也就失去了考查考生探究能力的功能. 5.也许答案提供者会辩解说，我是先"猜想"+"演绎推理论证成立"=探究出结论 问题这是解决这类问题的"通性通法"吗，"猜想"要不要以"合情推理"作依托呢，其实这个点恰是函数图象的"间断点";答案提供者也许会说，我就是根据"经验和智慧"猜想"间断点"就是对称中心的;如果是这样的话，请猜猜函数图象的"间断点"是对称中心吗，其结果是"猜想"+"演绎推理论证不成立"=没有探究出结论，这时你只能说这个函数的"间断点"不是对称中心，它是否存在对称中心呢?显然"猜想"+"演绎推理论证"是无法回答探究结果"不存在"的探究性题目的。 别解看似繁锁，其实是对考生探究能力和运算能力的绝好考查。这也是新课程理念的充分体现。反璞归真，无技巧就是最好的技巧。 引申: (1)从上述证明不难看出，对于，,函数的图象都是关于点Q中心对称。即对于，存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则 这两个封闭图形的面积总相等。(值得注意的是即使,函数的定义域仍是,它与函数并不是同一个函数) 这说明(2)(?)当取得最大值这个条件是可有可无的，有了这个条件"门槛"给考生错觉是只有完成(?)才能完成(?)，好像是"阶梯性题目"影响了考生的选择性和答题效率。 (2)本题也可以有如下的一般性结论: 函数图象 关于点Q中心对称。证明过程如下: 设对称中心是Q，由题意得 所以点Q坐标为, 上述(2)(?)只是这里的特例而已.上述论证还表明函数，图象存在对称中心的充要条件是，这时图象的"间断点"就是对称中心，其坐标是, 否则，若函数图象不存在对称中心，当然"间断点"也不是对称中心。试想如果还是像答案提供者那样去"猜想"+"验证"=失败，那要"猜想"多少次才能回答对称中心是否存在呢?由此不难看出，"猜想"+"演绎推理成立"=探究出结论，只是一个偶然 结语:高考命题的参考答案不仅是高考评分标准的主要依据;应该是数学问题解答的典范;对中学数学教学有着举足轻重的导向作用;理应科学严谨,标准规范,无懈可击.命题者在深刻理解课改理念的基础上,精心设计的好题,不能因答题者的疏忽,颠倒是非，混淆黑白，造成"问非所答""答非所问",高考试题的参考答案也要充分体现课程改革的精神和理念. 备注:福建省高考大纲的描述:P128,3推理论证能力 推理论证能力:根据已知的实事和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题真实性的初步的推理能力。 推理是思维的基本形式之一，它由前提和结论两部分组成;论证是由已有的正确的前提到被论证的结论的一连串的推理过程。推理既包括演绎推理，也包括合情推理;论证方法既包括按形式化分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法化分的直接证法和间接证法，一般用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明。 (1)演绎推理。演绎推理是从定义、定理出发进行、推理、论证，其重点是三段论推理，是进行数学证明的有力工具。它把一般前提下蕴含的性质揭露出来，使这些性质间的内在联系更清楚，对数学的形成和发展有重要的作用，因此演绎推理能力是数学能力的一个重要方面，高考对推理论证能力的考查主要体现在演绎推理的考查上，试卷查演绎推理的题型，既可使用选择题、填空题的形式。也可以使用解答题的形式进行重点考查。 (2)合情推理。合情推理是根据已有的实事和正确的结论，实践和实验的结果，以及个人的经验和直觉等猜测某些结果的推理过程。归纳和类比均属于合情推理，在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路、发现结论;演绎推理用来验证结论的正确性。表面上看，学生在解决问题时的合情推理是不按逻辑程序去思考，但实际上是学生把自己的经验与逻辑推理的方法有机地整合在一起的一种跳跃性的思维表现形式。 命题的指导思想是:(1)贯彻课程理念，推进素质教育 (2)强化基础知识，注重整体设计 (3)淡化特殊技巧，强调思想方法 (4)强调能力立意，突出问题解决 (5)倡导学以致用，强化应用意识 (6)倡导开放探索，关注创新意识 (7)体现层次要求，控制试卷难度 MSN空间完美搬家到新浪博客～