向量组的秩和最大线性无关组

向量组的秩和最大线性无关组 对于方程组 21xxx,，,,,123,xx，,,221 ,123 ,xx,，,,332123, 容易发现其有效方程的个数为2个，因为第3个方程可由第1个方程减去第2个方程得到（或者第3个方程是第1个方程和第2个方程的线性组合）； 由于本章的内容是用向量的关系来研究方程组解的情况，进而从方程 组3个方程对应的3个向量来说“有用”（或者也可以说成等价有效）的最 少的向量是2个。 因此，对于一个给定的向量组，其中“有用”（或者也可以说成等价有 效）的最少的向量应该有多少个呢？在此我们提出最大线性无关组的概念： 在,,,,？,,,,,,？,,中，存在满足： 1i2iip12s ,,,,？,,（1）线性无关； 1i2iip ,,,,？,,（2）在中再添加一个向量就线性相关。 1i2iip ,,,,？,,,,,,？,,则称是的一个最大线性无关组， 1i2iip12s ,,,,？,,?、不难看出条件（2）等价的说法还有中任一向量均可由12s,,,,？,,,,,,？,,p，1线性表示；或者亦可以说成中任意个向量均线性1i2iip12s 相关； ?、从最大线性无关组的定义可以看出最大线性无关组与原先的向量 组可以相互线性表示，进而最大线性无关组与原先的向量组是等价的（即 有效的最少的方程构成的方程组与原先的方程组是等价的）； ?、从上面的方程组可以看出同解的有效方程组可以是第1、2两个方程构成，也可以是第2、3两个方程构成（因为第1个方程可以看成第2、3两个方程的和），因此从其对应的向量组来说， ?、可以发现，虽然同解的有效方程组的形式可以不一样，但是同解 的有效方程组中所含的方程的个数是唯一的，即从其对应的向量组来说， 最大线性无关组虽然不唯一， 这是从数的角度反映了向量组的性质，在此给出向量组的秩的概念： 称最大线性无关组中所含向量的个数为向量组的秩，如 ,,,,？,,,,,,？,,是的一个最大线性无关组，则称上面定义中1i2iip12s ,,,,？,,Rp(,,,),,,,的秩为，记为。 p12s12s TTT,,,,,,,,,,,(3,6,4,2,1),(2,4,3,1,0),(1,2,1,2,3),求向量组 123 T,,,(1,2,1,3,1)的秩及一个最大线性无关组，并将其余的向量用最大线性无4 关组表示。 ：容易发现用定义的形式很难求秩和最大线性无关组，为此我们 从方程组和矩阵之间的关系以及方程组和向量组之间的关系可以得到，向 量组的秩及其最大线性无关组应该与其对应的矩阵的秩以及矩阵的最高阶 非零子式之间有某种关系，为此我们给出： 矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩. 略证：设D,0Drrr的秩为，则在中存在阶子式，从而所在的列AArr D,0线性无关，又中的所有的阶子式，因此中的任意个列向量Ar，1Ar，1r，1 Dr所在的列是的列向量组的最大线性无关组，所以列A都线性相关，因此r 向量组的秩等于r。 类似可证矩阵r的行向量组的秩等于。 A D同时从的过程可以发现：若是矩阵的一个最高阶非零子式，Ar DD则rr所在的列即是的列向量组的一个最大线性无关组；同时所在的Arr行即是的行向量组的一个最大线性无关组。 A 我们现在求解上面的问题，把上面的4个向量看成某矩阵的4列进行A求解。 321110311031,,,,,,,, ,,,,,,642264220141,,,,,,,,,,, ,,,,,, A,,,,,,,,,,,,,,,431143110010，，1234,,,,,,212321230000,,,,,,,,,,,,103132110000,,,,,,,, 所以RRA(,,,)()3,,,,,,， 1234 ,,,,,,,,,,,,,,,,,是的一个最大线性无关组。（当然易见亦是1231234124,,,,,,,的一个最大线性无关组） 1234 ,,,,,,为了把用线性表示，把再变成行最简形矩阵 A4123 1001,, ,,0101,, ,, A,0010 ,,0000,,,,0000,, ,,,,，易见。 412 （初等变换前后列向量组之间的线性表示形式是保持不变的） 同时可以验证上面的线性表示的结果是正确的。 由于我们现在教学正好讲到向量组的秩和最大线性无关组这一部分， 作为其定义形式很难引入，通过此次，可以从方程组的“有效”（同解 并是最少的）方程组的形式及个数（就像李老师所说的“打假”后剩下的 方程组）来提出向量组的最大线性无关组以及向量组的秩的概念，避免了 向量的抽象性，而且学生对方程组十分熟悉，进而很容易过渡到最大线性 豆丁无关组以及向量组的秩的概念。学生听课效果以及接受情况相当不错！ 网（DocIn）是全球优秀的C2C文档销售与分享社区。 豆丁允许用户上传包括 .pdf, .doc, ., .txt 在内的数十种的文档文件，并以Flash Player的形式在网页中直接展示给读者。简而言之，豆丁就如同文档版的Youtube。现在每天都有数以万计的文档会上传到豆丁，正基于此，豆丁将致力构建全球最大的中文图书馆。 豆丁努力使世界上任何人都能够自由地发挥他们的创造力。文档资料只通过少数、单一 的出版物来传播的时代已经结束。现在，互联网给文档资料提供了世界范围内的传播渠道， 豆丁希望能够给每个独立的文档持有者利用这个新机会的方法。现在，我们为原创人群提供 安全、自由、民主、便利的文档发布与营销平台。借助豆丁，你可以为你的文档定价，并通 过豆丁发表到不同博客、论坛、联盟中，进行广泛传播，在分享的同时获得收入回报。 豆丁致力于构建全球领先的文档发布与销售平台，面向世界范围提供便捷、安全、专业、 有效的文档营销服务。包括中国、日本、韩国、北美、欧洲等在内的豆丁全球分站，将面向 全球各地的文档拥有者和代理商提供服务，帮助他们把文档发行到世界的每一个角落。豆丁 正在全球各地建立便捷、安全、高效的支付与兑换渠道，为每一位用户提供优质的文档交易 和账务服务。 现在，已经有成千上万的用户在豆丁上传Word、PDF、PPT等各种格式的文档，分享给全世界，每个月超过4000万的用户，会来豆丁浏览文档。 豆丁全球Alexa排名已进入1500以内，并稳步攀升。