求极限之数列极限

求极限之数列极限 数列极限 ?求数列极限的方式主要有两种:一是夹逼定理;一是递推公式直接求值(如已 lim2知，a,2a,1,则)运用夹逼定理要注意放缩。 a,1a,annnn,, ?证数列极限的方式有两种:一是单调有界(单调递减有下界，单调递增有上界);二是柯西收敛原理(一般用于非单调数列)，证明单调可做差、做商(同正同负)。构造(如证明) x,a,x,a，a,？,x,a，a，？，a,a,012n 2,x,a，x,,,,，，1xx,1nn,1nn,1？x,a，x,，，，， 1,2,,,0 ,nn,12xxxx,，，，xax2,，,,,,n,1n,2nn,1n,1n,2, ,,则证明单调，又，单调递增。 x,,？xx,xnn21 axx?当时，一下各函数趋于的速度:(由，,x,，,lnx,x(a,0),a(a,1),x,慢到快) ann 当时，一下各数列趋于的速度:(由，,lnn,n(a,0),a(a,1),n!,n,n,, 慢到快) 常用不等式 0x,y,x,y,x，y绝对值不等式: 1 a，a，，an？12nn,a,a,,a,？12n111n，，？，0aaa均值不等式: 2n12 a，b222222a，b,2ab,2(a，b),(a，b),(),ab2 b,cbb，cb,cb0“糖水变甜”: a,b,0,a,0,,,(,要求c,a)3a,caa，ca,ca0二项式展开去掉某些值形成的不等式 4 221222(k，1,k),,,,,,2(k,k,1)0 k，k，12kk2kk，k,15 a,b,a,b,a，b,a，b 0伯努利不等式:(1，x)(1，x),？,(1，x),1，x，x，？，x ，其中612n12n n,1x,x,x,？,x同号且大于【特别地，有】 (1，x),1，nx(x,,1)123n 2220(a)(b),(ab)柯西不等式: 7,,,iiii 111001，，，？，,n(n,2)，(用裂项相消再放缩) 8523n 1nn，1n (相当于证n,(1，)) n,(n，1)(n,3)n 1n？(1，),e？n,3的不等式成立n 22n22n2(2n)!,2(n!)((2n)!,(2n)!!(2n,1)!!,,,(2n)!!,2(n!))1111nn，1enn，,,，,，,,，，(1)(1)ln(1)1(1)ln(1)nnnn0 9111,,，,ln(1)nnn，1 x，x，，x？limlim12nx,a重要结论:?若，则 ,ann,,n,,n xxx，，，？limlim12nx,，, ，则 ,，,nn,,n,,n nklimlimlimnna,1n,1n,1 ?若 ， ， a,0n,,n,,n,, 1111nnnlimlimlim ? ， ， (1，),e(1，),e(1,),n,,n,,n,,nenn，2 一，夹逼定理: aa，a，，a？0limlim12nn,,设数列a满足，证明: ,a,01nn,,n,,nn aaaaaaa，，，n，，，,1？？n12n12n,1,,nnnn,1 aaanaaa，，，,1，，，？？limlimlim12,112nnaa？,,1, n,,n,,n,,nnn,1 alimn？,0n,,n 10limlim(a，a，？，a)设存在，证明(1)(2)(a，2a，？，na),0212n12nn,,n,,n 1limn (n!aa,？,a),0(a,0)ni12n,, nn,1 设a，a，？，a,Ska,nS,S证明:(1)， ,,12nnknkk,1k,in1S，S，，S？limlimlimlim12n,1ka,(S,),S,S,0 ,knnn,1n,,n,,n,,n,,nnk,1 11limlimnn(n!aa,？,a),(a,2a,？,na)(2) nn1212n,,n,, 1a，2a，？，nan12n又0,(a,2a,？,na),n12n 1a，2a，？，nalimlimn12n？,0？由夹逼定理可得(a,2a,？,na),0n12n,,n,,n alimlimlim0，1nn 设，?，证明 ?,a，则a,0a,aaa,？,a,a3nn12nn,,n,,n,,an nlimlimn,e，? a,annn,,n,,!n 1(Ix，Ix，？，Ix)nn1n2nnlimIxx,？,xn12nnx,a,a,0,e,e?讨论 nn,, limlim？x,a(a,0)？Ix,Iannnnn,,n,, nlimlimlim,？,IxxxIxn12nnn？e,e,x,ann,,n,,n,, limlim当a,0时，x,0,(,Ix),，, nnnn,,n,, ,Ix1nn,,,,？,,(IxIxIx)nn1n2nnlimlimlimlim,,？Ixxxn12nnne,e,e,xnn,,n,,n,,n,, limlimn？综上，xx,？,x,x12nnn,,n,, aaan，，？，12nn法二，利用均值不等式aaa ,,,？,,12n111n，，？，aaan12 0利用夹逼定理，也需讨论极限是否为。 (2) xxxxxxxxlimlimlimlimlimnnnnnn,1,1，122nnnnxx,,,？,,,,,？,,,n1n,,n,,n,,n,,n,,xxxxxxxxnnnnnn,1,21,1,21,1 nnx,(n,1,2,？,n)(3)设数列 nn! x1xnlimlimlimlimlimnnn，1，1n(1)ex,，,,, nnn,,n,,n,,n,,n,,xnxn!nn 0夹逼定理求极限。 5 2(n，1)limlimlim1,3,5,？,(2n,1)111n(1，，)(1)(2)(3) ,2n,,n,,2,4,6,？,2nnnn,,2kk,n 2122(k，1,k),,,,2(k,k,1)(1) k，k，1kk，k,1 2(n，1)222(k，1,k),2((n，1)，1,n),2,2k,n 2(n，1)2n，14222(k，1,k),2((n，1),n,1),2,,,n，1，n,1n,12k,n1，，n1 2(n，1)limlim144,,？,,即有222,n,,n,,2kn,1n,1k,n1，1，n，1n，1 2(n，1)lim1 由夹逼定理可得，,2 ,n,,2kk,n 法二:因为是分数求和，考虑到又要用放缩法，所以想到对分母 11122，，？进行放缩然后化简。n,k,n，1,？,,,n，1nk 22222，，n，1，，，，，,，,n1n1n1n？,,夹逼定理可得极限为2,2n，1nkk,n 1，33，5(2) 2,,1,34,,3,5,？,2n,2n,1,2n，122 1,3,5,？,(2n,1)1,3,5,？,(2n,1)1？0,,,2,4,6,？,2n1,3,3,5,？,2n,1,2n，12n，1 limlimlim11,3,5,？,(2n,1)？0,,0由夹逼定理可得,0n,,n,,n,,2,4,6,？,2n2n，1 22111n，n，1n，nn1nnnnnn(1，),(1，，),(),(),(),(1，)(3) 222nnnnn,1n,1n,1limlimlim1111nn1n,(1，),[(1，),(1，)],e,(1，)n,,n,,n,,n,1n,1nn lim11n由夹逼定理可得(1，，),e2n,,nn lim111111(，，，),,？？111n，1n，1nn,,2nn2nn(n，1)(n，1)(n，1) nn1n？,,，夹逼定理可得极限为1,1n，1nk,1kk，，n，1 二、单调有界 11,,,,nn，10(1)，(1，)(1)证明:数列单调递增，单调递减，两者收敛于1,,,,nn,,,, 同一极限。 11nn，1令x,(1，)y,(1，)nnnn 1n(1，)，1？a，a，，a1nnn，1n12n利用？x,(1，),1,[],x(aaa,)nn，n112nn，1n n(n，1)，11n1n，1n，1,(),1,[],yn，1n，2ynn，1 ,,,,即证单调递增，单调递减？xynn lim11？？y,x(1，)(1，),1nnn,,nn limlimlim1y,x(1，),xnnnn,,n,,n,,n 1,1，(1)limlimlimlim1111nnn,1推论:,,,,,(1)()n11n,,n,,n,,n,,nenn,1，，(1)(1)n,1n,1n,1 1n，2，(1)limlim12n，2，,,e(1)1n,,n,,n，22，(1)n，2 111(2)记,,。 b,1，，，？，,In,证明数列b收敛nnn23n 1111，1nn，,,，,，,,，，(1)e(1)nI(1)1(n1)I(1)nnnnnn111,,，,I(1)n，n1nn ，11n1,,,，，,,,bbI(n1)InI0，1nnnnn，，n1n1n ，1n1 ？,又Innn ，11123n1？？？,，，，，,,，，，,b1InIIIInnnnnnn23n12n ,，,,I(n1)In0nn ,,,,即证明b单调递减有下界，则b收敛nn lim111n，1[1,，,？，(,1)],I2(3)证明 nn,,23n 111n，1记d,1,，,？，(,1)n23n 111b,1，，，？，,In,a(n,,已证单调有界)nn23n 11111b,b,1,，,，？，,,I2n，In2nnnn2342n,12n ,d,I2,0(n,,)2nn lim11d,d，又,02n，12nn,,2n，12n，1 lim即d,I2nnn,, 02设数列,, x满足0,x,,,x,sinx(n,1,2,？)n1n，1n 1limlimx，1xnnx存在 (1)证明，并求该极限;(2)计算 ()nn,,n,,xn ,,,,,,,,,,(1)0xsinxx0xsinxx211322 易归纳证明？,,,0xsinxx，nnn1 lim,,即对数列单调递减有下界，设x？x,annn,, 对同时取极限有x,sinxa,sina，nn1 令在上递增，有唯一零点f(x),x,sinx(,,,，,)x,0？a,0 xsin111nI()n222limlimlimxsinxxxxxn，nn1nnn,,(2)()()en,，,n,,n,,xxnn ,x0limlimlim1sinx1sinx1sinxnnnn又I,I(1，,1)(,1)nn222n,,n,,n,,,,xxnxxxxnnnnnn limlimlim,,1sinxsinxxcosx11,,,,,,(1)232,,,n0n0n0xxx3x6 三、其他问题 aa，a，，a？0limlim12nn,,设数列a满足，证明: ,a,01nn,,n,,nn aaaaaaa，，，n，，，,1？？n12n12n,1,,nnnn,1 aaanaaa，，，,1，，，？？limlimlim12,112nnaa？,,1, n,,n,,n,,nnn,1 alimn？,0n,,n limlimlim02a，a,则证明a存在且求出a(2)0,已知 nn,1nnn,,n,,n,, lim,？(2a，a),0,,0,，N,当n,N时nn,1n,, ,,2a，a,,2a,a,nn,1nn,1 ,,,,,,aaan,1n,2N,a,，,，，,,,,,,，，,,,,， n22n,N2n,N222222222,,,,？，,,,,，,,a,M,M为一固定的数N2n,N222 lim？n,N时,a,2,,a,0nnn,, 0,,3.设函数f(x)在(,,,，,)内单调有界，x为数列，下列命题正确的是(B)n ,,,,A.若x收敛，则f(x)收敛B.若x单调，则f(x)收敛nnnn ,,,,C.若f(x)收敛，则x收敛D.若f(x)单调，则x收敛nnnn n9x,0,(,1)取f(x),,x,可排除A,n,1x,0n, 取f(x),arctanx,x,n可排除C.Dn